5.4: Fórmulas de integração e o teorema da mudança líquida

objetivos de aprendizagem

• Aplique as fórmulas básicas de integração.
• Explique a importância do teorema da mudança líquida.
• Use o teorema da mudança líquida para resolver problemas aplicados.
• Aplique as integrais de funções pares e ímpares.

Nesta seção, usamos algumas fórmulas básicas de integração estudadas anteriormente para resolver alguns dos principais problemas aplicados. É importante observar que essas fórmulas são apresentadas em termos de integrais indefinidos. Embora integrais definidos e indefinidos estejam intimamente relacionados, há algumas diferenças importantes a serem lembradas. Uma integral definida é um número (quando os limites de integração são constantes) ou uma única função (quando um ou ambos os limites de integração são variáveis). Uma integral indefinida representa uma família de funções, todas as quais diferem por uma constante. À medida que você se familiariza com a integração, você terá uma ideia de quando usar integrais definidos e quando usar integrais indefinidos. Naturalmente, você selecionará a abordagem correta para um determinado problema sem pensar muito sobre isso. No entanto, até que esses conceitos estejam cimentados em sua mente, pense cuidadosamente se você precisa de uma integral definida ou de uma integral indefinida e certifique-se de usar a notação correta com base em sua escolha.

Fórmulas básicas de integração

Lembre-se das fórmulas de integração fornecidas na seção sobre Antiderivadas e as propriedades das integrais definidas. Vejamos alguns exemplos de como aplicar essas fórmulas e propriedades.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Integrating a Function Using the Power Rule

Use a regra de potência para integrar a função\( \displaystyle ∫^4_1\sqrt{t}(1+t)\,dt\).

Solução

O primeiro passo é reescrever a função e simplificá-la para que possamos aplicar a regra de potência:

\[ \begin{align*} ∫^4_1\sqrt{t}(1+t)\,dt &=∫^4_1t^{1/2}(1+t)\,dt \\[4pt] &=∫^4_1(t^{1/2}+t^{3/2})\,dt. \end{align*}\]

Agora aplique a regra de potência:

\[ \begin{align*} ∫^4_1(t^{1/2}+t^{3/2})\,dt &= \left . \left(\frac{2}{3}t^{3/2}+\frac{2}{5}t^{5/2}\right) \right|^4_1 \\[4pt] &= \left[\frac{2}{3}(4)^{3/2}+\frac{2}{5}(4)^{5/2} \right]− \left[\frac{2}{3}(1)^{3/2}+\frac{2}{5}(1)^{5/2}\right] \\[4pt] &=\frac{256}{15}. \end{align*}\]

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Encontre a integral definida de\( f(x)=x^2−3x\) ao longo do intervalo\([1,3].\)

Dica

Siga o processo do Exemplo\(\PageIndex{1}\) para resolver o problema.

Responda

\[ \int_1^3 \left(x^2 - 3x\right) \, dx = −\frac{10}{3} \nonumber \]

O Teorema da Mudança Líquida

O teorema da mudança líquida considera a integral de uma taxa de variação. Diz que quando uma quantidade muda, o novo valor é igual ao valor inicial mais a integral da taxa de variação dessa quantidade. A fórmula pode ser expressa de duas maneiras. A segunda é mais familiar; é simplesmente a integral definida.

Teorema da Mudança Líquida

O novo valor de uma quantidade variável é igual ao valor inicial mais a integral da taxa de variação:

\[F(b)=F(a)+∫^b_aF'(x)dx \label{Net1} \]

ou

\[∫^b_aF'(x)dx=F(b)−F(a). \label{Net2} \]

\(F(a)\)Subtraindo de ambos os lados da Equação\ ref {Net1} produz a Equação\ ref {Net2}. Como são fórmulas equivalentes, a que usamos depende da aplicação.

A importância do teorema da mudança líquida está nos resultados. A mudança líquida pode ser aplicada à área, distância e volume, para citar apenas algumas aplicações. O câmbio líquido contabiliza automaticamente as quantidades negativas, sem a necessidade de escrever mais de uma integral. Para ilustrar, vamos aplicar o teorema da mudança líquida a uma função de velocidade na qual o resultado é deslocamento.

Vimos um exemplo simples disso na seção A Integral Definida. Suponha que um carro esteja se movendo para o norte (a direção positiva) a 40 mph entre 14h e 16h, então o carro se mova para o sul a 30 mph entre 16h e 17h. Podemos representar graficamente esse movimento conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): O gráfico mostra a velocidade versus tempo para um determinado movimento de um carro.

Assim como fizemos antes, podemos usar integrais definidos para calcular o deslocamento líquido, bem como a distância total percorrida. O deslocamento líquido é dado por

\[ ∫^5_2v(t)\,dt=∫^4_240\,dt+∫^5_4−30\,dt=80−30=50. \nonumber \]

Assim, às 17h, o carro está 50 milhas ao norte de sua posição inicial. A distância total percorrida é dada por

\[ ∫^5_2|v(t)|\,dt=∫^4_240\,dt+∫^5_430\,dt=80+30=110. \nonumber \]

Portanto, entre 14h e 17h, o carro percorreu um total de 110 milhas.

Para resumir, o deslocamento líquido pode incluir valores positivos e negativos. Em outras palavras, a função de velocidade é responsável pela distância para frente e para trás. Para encontrar o deslocamento líquido, integre a função de velocidade no intervalo. A distância total percorrida, por outro lado, é sempre positiva. Para determinar a distância total percorrida por um objeto, independentemente da direção, precisamos integrar o valor absoluto da função de velocidade.

Exemplo\(\PageIndex{2}\): Finding Net Displacement

Dada uma função de velocidade\(v(t)=3t−5\) (em metros por segundo) para uma partícula em movimento de tempos\(t=0\) em tempos,\(t=3,\) determine o deslocamento líquido da partícula.

Solução

Aplicando o teorema da mudança de rede, temos

\[ ∫^3_0(3t−5)\,dt=\left(\frac{3t^2}{2}−5t\right)\bigg|^3_0=\left[\frac{3(3)^2}{2}−5(3)\right]−0=\frac{27}{2}−15=\frac{27}{2}−\frac{30}{2}=−\frac{3}{2}. \nonumber \]

O deslocamento líquido é\( −\frac{3}{2}\) m (Figura\(\PageIndex{2}\)).

Figura\(\PageIndex{2}\): O gráfico mostra a velocidade versus tempo para uma partícula se movendo com uma função de velocidade linear.

Exemplo\(\PageIndex{3}\): Finding the Total Distance Traveled

Use o Exemplo\(\PageIndex{2}\) para encontrar a distância total percorrida por uma partícula de acordo com a função de velocidade\(v(t)=3t−5\) m/seg em um intervalo de tempo\([0,3].\)

Solução

A distância total percorrida inclui os valores positivos e negativos. Portanto, devemos integrar o valor absoluto da função de velocidade para encontrar a distância total percorrida.

Para continuar com o exemplo, use duas integrais para encontrar a distância total. Primeiro, encontre o\(t\) intercepto -da função, pois é aí que ocorre a divisão do intervalo. Defina a equação igual a zero e resolva para\(t\). Assim,

\[ \begin{align*} 3t−5 &=0 \\[4pt] 3t &=5 \\[4pt] t &=\frac{5}{3}. \end{align*}\]

Os dois subintervalos são\( \left[0,\frac{5}{3}\right]\)\( \left[\frac{5}{3},3\right]\) e. Para encontrar a distância total percorrida, integre o valor absoluto da função. Como a função é negativa no intervalo\(\left[0,\frac{5}{3}\right]\), temos\(\big|v(t)\big|=−v(t)\) acima desse intervalo. Acabou\(\left[ \frac{5}{3},3\right]\), a função é positiva, então\(\big|v(t)\big|=v(t)\). Assim, temos

\ [\ begin {align*} ^3_0|v (t) |\, dt &=^ {5/3} _0−v (t)\, dt+^3_ {5/3} v (t)\, dt\\ [4pt]
&=^ {5/3} _0 5−3t\, dt+^3_ {5/3} 3t−5\, dt\\ [4pt]
&=\ left (5t−\ frac {3t^2} {2}\ direita)\ bigg|^ {5/3} _0+\ left (\ frac {3t^2} {2} −5t\ direita)\ bigg|^3_ {5/3}\\ [4pt]
&=\ left [5} {5} 3}) −\ frac {3 (5/3) ^2} {2}\ direita] −0+\ left [\ frac {27} {2} −15\ direita] −\ left [\ frac {3 (5/3) ^2} {2} −\ frac {25} {3}\ direita]\\ [4pt]
&=\ frac {25} {3} −\ frac {25} {6} +\ frac {27} {2} −15−\ frac {25} {6} +\ frac {25} {3}\\ [4pt]
&=\ frac {41} {6}\ end {align*}\]

Portanto, a distância total percorrida é\( \frac{14}{6}\) m.

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Encontre o deslocamento líquido e a distância total percorrida em metros, dada a função\(f(t)=\frac{1}{2}e^t−2\) de velocidade no intervalo\([0,2]\).

Dica

Siga os procedimentos de Exemplos\(\PageIndex{2}\)\(\PageIndex{3}\) e. Observe que\(f(t)≤0\) para\(t≤\ln 4\) e\(f(t)≥0\) para\(t≥\ln 4\).

Responda

Deslocamento líquido:\( \frac{e^2−9}{2}≈−0.8055\) m; distância total percorrida:\( 4\ln 4−7.5+\frac{e^2}{2}≈1.740\) m.

Aplicando o Teorema da Mudança de Net

O teorema da mudança líquida pode ser aplicado ao fluxo e consumo de fluidos, conforme mostrado no Exemplo\(\PageIndex{4}\).

Exemplo\(\PageIndex{4}\): How Many Gallons of Gasoline Are Consumed?

Se o motor de uma lancha for ligado\(t=0\) e o barco consumir gasolina na taxa de\(5−t^3\) gal/h, quanta gasolina é usada nas primeiras\(2\) horas?

Solução

Expresse o problema como uma integral definida, integre e avalie usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Os limites da integração são os pontos finais do intervalo [0,2]. Nós temos

\[ \begin{align*} ∫^2_0\left(5−t^3\right)\,dt &=\left(5t−\frac{t^4}{4}\right)∣^2_0 \\[4pt] &=\left[5(2)−\frac{(2)^4}{4}\right]−0 \\[4pt] &=10−\frac{16}{4} \\[4pt] &=6. \end{align*} \nonumber \]

Assim, a lancha usa\(6\) galões de gasolina em\(2\) horas.

Exemplo\(\PageIndex{5}\): Chapter Opener: Iceboats

Como vimos no início do capítulo, os melhores pilotos de barco de gelo podem atingir velocidades de até cinco vezes a velocidade do vento. No entanto, Andrew é um barco de gelo intermediário, então ele atinge velocidades iguais a apenas duas vezes a velocidade do vento.

Figura\(\PageIndex{3}\): (crédito: modificação da obra de Carter Brown, Flickr)

Suponha que Andrew saia com seu barco de gelo uma manhã, quando uma leve brisa de\(5\) mph soprar durante toda a manhã. Quando Andrew monta seu barco de gelo, porém, o vento começa a aumentar. Durante sua primeira meia hora de passeio de barco no gelo, a velocidade do vento aumenta de acordo com a função.\(v(t)=20t+5.\) Durante a segunda meia hora do passeio de Andrew, o vento permanece estável em\(15\) mph. Em outras palavras, a velocidade do vento é dada por

\[ v(t)=\begin{cases}20t+5, & \text{for } 0≤t≤\frac{1}{2}\\15, & \text{for } \frac{1}{2}≤t≤1\end{cases} \nonumber \]

Lembrando que o barco de gelo de Andrew viaja com o dobro da velocidade do vento, e supondo que ele se mova em linha reta longe de seu ponto de partida, a que distância Andrew está de seu ponto de partida após\(1\) hora?

Solução

Para descobrir até onde Andrew viajou, precisamos integrar sua velocidade, que é o dobro da velocidade do vento. Então

\[\text{Distance} = ∫^1_02v(t)\,dt. \nonumber \]

Substituindo as expressões que nos foram dadas\(v(t)\), obtemos

\ [\ begin {align*} ^1_02v (t)\, dt &=^ {1/2} _02v (t)\, dt+^1_ {1/2} 2v (t)\, dt\\ [4pt]
&=^ {1/2} _02 (20t+5)\, dt+^1_ {1/3} 2 (15)\, dt\\ [4pt]
&=^ {1/2} _0 (40t+10)\, dt+^1_ {1/2} 30\, dt\\ [4pt]
&=\ grande [20t^2+10t\ grande]\ bigg|^ {1/2} _0+\ grande [30t\ big]\ bigg|^1_ {1/2}\\ [4pt]
&=\ left (\ frac {20} {4} +5\ right) −0+ (30−15)\\ [4pt]
&=25. \ end {align*}\]

Andrew está a 40 km de seu ponto de partida após 1 hora.

Exercício\(\PageIndex{3}\)

Suponha que, em vez de permanecer estável durante a segunda meia hora do passeio de Andrew, o vento comece a diminuir de acordo com a função.\(v(t)=−10t+15.\) Em outras palavras, a velocidade do vento é dada por

\[ v(t)=\begin{cases}20t+5, & \text{for } 0≤t≤\frac{1}{2}\\−10t+15, &\text{for } \frac{1}{2}≤t≤1\end{cases}. \nonumber \]

Sob essas condições, a que distância de seu ponto de partida está Andrew após 1 hora?

Dica

Não se esqueça de que o barco de gelo de Andrew se move duas vezes mais rápido que o vento.

Responda

\(17.5\)mi

Integrando funções pares e ímpares

Vimos em Funções e Gráficos que uma função par é uma função na qual,\(f(−x)=f(x)\) para todos\(x\) no domínio, ou seja, o gráfico da curva permanece inalterado quando\(x\) é substituído por\(−x\). Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao\(y\) eixo y. Uma função ímpar é aquela em que\(f(−x)=−f(x)\) para todos\(x\) no domínio, e o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Integrais de funções pares, quando os limites de integração são de\(−a\) a\(a\), envolvem duas áreas iguais, porque são simétricas em relação ao\(y\) eixo. Integrais de funções ímpares, quando os limites de integração são\([−a,a],\) avaliados de forma semelhante a zero porque as áreas acima e abaixo do\(x\) eixo -são iguais.

Integrais de funções pares e ímpares

Para funções contínuas e uniformes, como\(f(−x)=f(x),\)

\[∫^a_{−a}f(x)\,dx=2∫^a_0f(x)\,dx. \nonumber \]

Para funções ímpares contínuas, como\(f(−x)=−f(x),\)

\[∫^a_{−a}f(x)\,dx=0. \nonumber \]

Exemplo\(\PageIndex{6}\): Integrating an Even Function

Integre a função par\(\displaystyle ∫^2_{−2}(3x^8−2)\,dx\) e verifique se a fórmula de integração para funções pares é válida.

Solução

A simetria aparece nos gráficos da Figura\(\PageIndex{4}\). O gráfico (a) mostra a região abaixo da curva e acima do\(x\) eixo. Temos que ampliar muito esse gráfico para ver a região. O gráfico (b) mostra a região acima da curva e abaixo do\(x\) eixo. A área assinada desta região é negativa. Ambas as visualizações ilustram a simetria sobre o\(y\) eixo -de uma função par. Nós temos

\ [\ begin {align*} ^2_ {−2} (3x^8−2)\, dx &=\ left (\ frac {x^9} {3} −2x\ direita) ^2_ {−2}\\ [4pt]
&=\ left [\ frac {(2) ^9} {3} −2 (2)\ direita −]\ esquerda\ frac {(−2) ^9} {3} −2 (−2)\ direita]\\ [4pt]
&=\ left (\ frac {512} {3} −4\ direita) −\ left (−\ frac {512} {3} +4\ direita)\\ [4pt]
&=\ frac {1000} {3} . \ end {align*}\]

Para verificar a fórmula de integração para funções pares, podemos calcular a integral de\(0\) até\(2\) e dobrá-la e, em seguida, verificar se obtemos a mesma resposta.

\[ ∫^2_0(3x^8−2)\,dx=\left(\frac{x^9}{3}−2x\right)\bigg|^2_{0}=\frac{512}{3}−4=\frac{500}{3} \nonumber \]

Uma vez que\( 2⋅\frac{500}{3}=\frac{1000}{3},\) verificamos a fórmula para funções pares neste exemplo específico.

Figura\(\PageIndex{4}\): O gráfico (a) mostra a área positiva entre a curva e o\(x\) eixo -, enquanto o gráfico (b) mostra a área negativa entre a curva e o\(x\) eixo. Ambas as visualizações mostram a simetria sobre o\(y\) eixo y.

Exemplo\(\PageIndex{7}\): Integrating an Odd Function

Calcule a integral definida da função ímpar\(−5 \sin x\) ao longo do intervalo\([−π,π].\)

Solução

O gráfico é mostrado na Figura\(\PageIndex{5}\). Podemos ver a simetria sobre a origem pela área positiva acima do\(x\) eixo -acima\([−π,0]\), e a área negativa abaixo do\(x\) eixo -acima do que\([0,π].\) temos

\[ \begin{align*} ∫^π_{−π}−5\sin x \,dx &=−5(−\cos x)\bigg|^π_{−π} \\[4pt] &=5\cos x\,\bigg|^π_{−π} \\[4pt] &=[5\cos π]−[5\cos(−π)] \\[4pt] &=−5−(−5)=0. \end{align*}\]

Figura: O\(\PageIndex{5}\) gráfico mostra as áreas entre uma curva e o eixo\(x\) -para uma função ímpar.

Exercício\(\PageIndex{4}\)

Integre a função\(\displaystyle ∫^2_{−2}x^4\,dx.\)

Dica

Integre uma função uniforme.

Responda

\(\dfrac{64}{5}\)

Conceitos-chave

• O teorema da mudança líquida afirma que quando uma quantidade muda, o valor final é igual ao valor inicial mais a integral da taxa de variação. A variação líquida pode ser um número positivo, um número negativo ou zero.
• A área sob uma função uniforme em um intervalo simétrico pode ser calculada dobrando a área sobre o\(x\) eixo positivo. Para uma função ímpar, a integral em um intervalo simétrico é igual a zero, porque metade da área é negativa.

Equações-chave

• Teorema da Mudança Líquida\[F(b)=F(a)+∫^b_aF'(x)\,dx\nonumber \] ou\[∫^b_aF'(x)\,dx=F(b)−F(a) \nonumber \]

Glossário

teorema da mudança líquida

se soubermos a taxa de variação de uma quantidade, o teorema da mudança líquida diz que a quantidade futura é igual à quantidade inicial mais a integral da taxa de variação da quantidade