Skip to main content
Global

6.4E: Exercícios para a Seção 6.4

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    187874

    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Para os exercícios 1 a 3, determine a duração das funções no intervalo determinado.

    1)\( y=5x\) de\( x=0\) para\( x=2\)

    Resposta
    \(s = 2\sqrt{26}\)unidades

    2)\( y=−\frac{1}{2}x+25\) de\( x=1\) para\( x=4\)

    3)\( x=4y\) de\( y=−1\) para\( y=1\)

    Resposta
    \( s = 2\sqrt{17}\)unidades

    4) Escolha uma função linear arbitrária\( x=g(y)\) em qualquer intervalo de sua escolha\( (y_1,y_2).\) Determine o comprimento da função e prove que o comprimento está correto usando a geometria.

    5) Encontre a área da superfície do volume gerado quando a curva\( y=\sqrt{x}\) gira em torno do\(x\) eixo -de\( (1,1)\) para\( (4,2)\), como visto aqui.

    Resposta
    \(A = \frac{π}{6}(17\sqrt{17}−5\sqrt{5})\)unidades 2

    6) Encontre a área da superfície do volume gerado quando a curva\( y=x^2\) gira em torno do\(y\) eixo\( (1,1)\) -de\( (3,9)\) a.

    Para os exercícios 7 a 16, determine os comprimentos das funções de\(x\) ao longo do intervalo determinado. Se você não conseguir avaliar a integral com exatidão, use a tecnologia para aproximá-la.

    7)\( y=x^{3/2}\) de\( (0,0)\) para\( (1,1)\)

    Resposta
    \(s= \frac{13\sqrt{13}−8}{27}\)unidades

    8)\( y=x^{2/3}\) de\( (1,1)\) para\( (8,4)\)

    9)\( y=\frac{1}{3}(x^2+2)^{3/2}\) de\( x=0\) para\( x=1\)

    Resposta
    \(s= \frac{4}{3}\)unidades

    10)\( y=\frac{1}{3}(x^2−2)^{3/2}\) de\( x=2\) para\( x=4\)

    11) [T]\( y=e^x\) em\( x=0\) cima\( x=1\)

    Resposta
    \(s \approx 2.0035\)unidades

    12)\( y=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1}{4x}\) de\( x=1\) para\( x=3\)

    13)\( y=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{8x^2}\) de\( x=1\) para\( x=2\)

    Resposta
    \(s= \frac{123}{32}\)unidades

    14)\( y=\dfrac{2x^{3/2}}{3}−\dfrac{x^{1/2}}{2}\) de\( x=1\) para\( x=4\)

    15)\( y=\frac{1}{27}(9x^2+6)^{3/2}\) de\( x=0\) para\( x=2\)

    Resposta
    \(s=10\)unidades

    16) [T]\( y=\sin x\) em\( x=0\) cima\( x=π\)

    Para os exercícios 17 a 26, determine os comprimentos das funções de\(y\) ao longo do intervalo determinado. Se você não conseguir avaliar a integral com exatidão, use a tecnologia para aproximá-la.

    17)\( y=\dfrac{5−3x}{4}\) de\( y=0\) para\( y=4\)

    Resposta
    \(s= \frac{20}{3}\)unidades

    18)\( x=\frac{1}{2}(e^y+e^{−y})\) de\( y=−1\) para\( y=1\)

    19)\( x=5y^{3/2}\) de\( y=0\) para\( y=1\)

    Resposta
    \(s= \frac{1}{675}(229\sqrt{229}−8)\)unidades

    20) [T]\( x=y^2\) de\( y=0\) para\( y=1\)

    21)\( x=\sqrt{y}\) de\( y=0\) para\( y=1\)

    Resposta
    \(s= \frac{1}{8}(4\sqrt{5}+\ln(9+4\sqrt{5}))\)unidades

    22)\( x=\frac{2}{3}(y^2+1)^{3/2}\) de\( y=1\) para\( y=3\)

    23) [T]\( x=\tan y\) de\( y=0\) para\( y=\frac{3}{4}\)

    Resposta
    \(s \approx 1.201\)unidades

    24) [T]\( x=\cos^2y\) de\( y=−\frac{π}{2}\) para\( y=\frac{π}{2}\)

    25) [T]\( x=4^y\) de\( y=0\) para\( y=2\)

    Resposta
    \(s \approx 15.2341\)unidades

    26) [T]\( x=\ln(y)\) em\( y=\dfrac{1}{e}\) cima\( y=e\)

    Para os exercícios 27 a 34, encontre a área da superfície do volume gerado quando as seguintes curvas giram em torno do\(x\) eixo -. Se você não conseguir calcular a integral com exatidão, use sua calculadora para aproximá-la.

    27)\( y=\sqrt{x}\) de\( x=2\) para\( x=6\)

    Resposta
    \(A= \frac{49π}{3}\)unidades 2

    28)\( y=x^3\) de\( x=0\) para\( x=1\)

    29)\( y=7x\) de\( x=−1\) para\( x=1\)

    Resposta
    \(A = 70π\sqrt{2}\)unidades 2

    30) [T]\( y=\frac{1}{x^2}\) de\( x=1\) para\( x=3\)

    31)\( y=\sqrt{4−x^2}\) de\( x=0\) para\( x=2\)

    Resposta
    \(A = 8π\)unidades 2

    32)\( y=\sqrt{4−x^2}\) de\( x=−1\) para\( x=1\)

    33)\( y=5x\) de\( x=1\) para\( x=5\)

    Resposta
    \(A = 120π\sqrt{26}\)unidades 2

    34) [T]\( y=\tan x\) de\( x=−\frac{π}{4}\) para\( x=\frac{π}{4}\)

    Para os exercícios 35 a 42, encontre a área da superfície do volume gerado quando as seguintes curvas giram em torno do\(y\) eixo -. Se você não conseguir calcular a integral com exatidão, use sua calculadora para aproximá-la.

    35)\( y=x^2\) de\( x=0\) para\( x=2\)

    Resposta
    \(A= \frac{π}{6}(17\sqrt{17}−1)\)unidades 2

    36)\( y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\) de\( x=0\) para\( x=1\)

    37)\( y=x+1\) de\( x=0\) para\( x=3\)

    Resposta
    \(A = 9\sqrt{2}π\)unidades 2

    38) [T]\( y=\dfrac{1}{x}\) de\( x=\dfrac{1}{2}\) para\( x=1\)

    39)\( y=\sqrt[3]{x}\) de\( x=1\) para\( x=27\)

    Resposta
    \(A = \frac{10\sqrt{10}π}{27}(73\sqrt{73}−1)\)unidades 2

    40) [T]\( y=3x^4\) de\( x=0\) para\( x=1\)

    41) [T]\( y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) de\( x=1\) para\( x=3\)

    Resposta
    \(A \approx 25.645\)unidades 2

    42) [T]\( y=\cos x\) de\( x=0\) para\( x=\frac{π}{2}\)

    43) A base de uma lâmpada é construída girando um quarto de círculo\( y=\sqrt{2x−x^2}\) em torno do\(y\) eixo -de\( x=1\) para\( x=2\), como visto aqui. Crie uma integral para a área da superfície dessa curva e calcule-a.

    Resposta
    \(A = 2π\)unidades 2

    44) Uma lâmpada é uma esfera com raio\(1/2\) pol. com a parte inferior cortada para caber exatamente em um cilindro de raio\(1/4\) pol. e comprimento\(1/3\) pol., como visto aqui. A esfera é cortada na parte inferior para caber exatamente no cilindro, então o raio do corte está\(1/4\) dentro. Encontre a área da superfície (não incluindo a parte superior ou inferior do cilindro).

    45) [T] Um abajur é construído girando\( y=1/x\) em torno do\(x\) eixo -de\( y=1\) para\( y=2\), como visto aqui. Determine quanto material você precisaria para construir esse abajur, ou seja, a área da superfície, com precisão de quatro casas decimais.

    Resposta
    \(10.5017\)unidades 2

    46) [T] Uma âncora se arrasta atrás de um barco de acordo com a função\( y=24e^{−x/2}−24\), onde\( y\) representa a profundidade abaixo do barco e\( x\) é a distância horizontal da âncora da parte de trás do barco. Se a âncora estiver\( 23\) pés abaixo do barco, quanta corda você precisa puxar para alcançar a âncora? Arredonde sua resposta para três casas decimais.

    47) [T] Você está construindo uma ponte que se estenderá por\( 10\) pés. Você pretende adicionar uma corda decorativa em forma de\( y=5|\sin((xπ)/5)|\), onde\( x\) está a distância em pés de uma extremidade da ponte. Descubra quanta corda você precisa comprar, arredondada para o pé mais próximo.

    Resposta
    \( 23\)pés

    Para o exercício 48, encontre o comprimento exato do arco para os seguintes problemas no intervalo especificado.

    48)\( y=\ln(\sin x)\) de\( x=\frac{π}{4}\) para\( x=\frac{3π}{4}\). (Dica: evite identidades trigonométricas.)

    49) Desenhe gráficos de\(y=x^2, y=x^6\),\(y=x^{10}\) e. \( y=x^n\)Pois, à medida que\( n\) aumenta, formule uma previsão sobre o comprimento do arco\( (0,0)\) de\( (1,1)\) a. Agora, calcule os comprimentos dessas três funções e determine se sua previsão está correta.

    Resposta
    \(2\)

    50) Compare os comprimentos da parábola\(x=y^2\) e a linha\(x=by\) de\((0,0)\) até à\((b^2,b)\) medida que\(b\) aumenta. O que você percebe?

    51) Resolva o comprimento de\(x=y^2\) de\((0,0)\) até\((1,1)\). Mostre que\( x=\dfrac{y^2}{2}\) de\((0,0)\) para\((2,2)\) é duas vezes mais longo. Faça um gráfico de ambas as funções e explique por que isso acontece.

    Resposta
    As respostas podem variar

    52) [T] Qual é o mais longo entre\((1,1)\) e\(\left(2,\frac{1}{2}\right)\): a hipérbole\(y=\dfrac{1}{x}\) ou o gráfico de\(x+2y=3\)?

    53) Explique por que a área da superfície é infinita quando\(y=1/x\) é girada em torno do\(x\) eixo\( 1≤x<∞,\) -, mas o volume é finito.

    Resposta
    Para obter mais informações, procure Gabriel's Horn.