6.8E: Exercícios para a Seção 6.8

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Nos exercícios 1 a 2, responda Verdadeiro ou Falso? Se for verdade, prove isso. Se for falso, encontre a resposta verdadeira.

1) O tempo de duplicação para$y=e^{ct}$ é$\dfrac{\ln 2}{\ln c}$.

2) Se você investir$$500$, uma taxa anual de juros$3\%$ rende mais dinheiro no primeiro ano do que uma taxa de juros$2.5\%$ contínua.

Responda: É verdade

3) Se você deixar uma$100°C$ panela de chá em temperatura ambiente ($25°C$) e uma panela idêntica na geladeira$(5°C)$$k=0.02$, com, o chá na geladeira atinge uma temperatura potável$(70°C)$ mais de$5$ minutos antes do chá em temperatura ambiente.

4) Se for dada uma meia-vida de t anos, a constante$k$ for$y=e^{kt}$ é calculada por$k=\frac{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}{t}$.

Responda: Falso;$k=\dfrac{\ln 2}{t}$

Nos exercícios 5 a 18, use$y=y_0e^{kt}.$

5) Se uma cultura de bactérias dobra em$3$ horas, quantas horas são necessárias para se multiplicar$10$?

6) Se as bactérias aumentarem$10$ em um fator de$10$ horas, quantas horas são necessárias para aumentar$100$?

Responda: $20$horas

7) Quantos anos tem um crânio que contém um quinto do radiocarbono de um crânio moderno? Observe que a meia-vida do radiocarbono é de$5730$ anos.

8) Se uma relíquia contém tanto radiocarbono$90\%$ quanto material novo, ela pode ter vindo da época de Cristo (aproximadamente$2000$ anos atrás)? Observe que a meia-vida do radiocarbono é de$5730$ anos.

Responda: Não. A relíquia tem aproximadamente$871$ anos.

9) A população do Cairo cresceu de$5$ milhões para$10$ milhões em$20$ anos. Use um modelo exponencial para descobrir quando a população era$8$ de milhões.

10) As populações de Nova York e Los Angeles estão crescendo em um ano$1\%$ e$1.4\%$ um ano, respectivamente. Começando com$8$ milhões (Nova York) e$6$ milhões (Los Angeles), quando as populações são iguais?

Responda: $71.92$anos

11) Suponha que o valor de$$1$ em ienes japoneses diminua$2\%$ por ano. A partir de$$1=¥250$, quando será$$1=¥1$?

12) O efeito da publicidade diminui exponencialmente. Se a população se lembrar$40\%$ de um novo produto depois de$3$ dias, por quanto tempo$20\%$ se lembrará dele?

Responda: $5$dias$6$ horas$27$ minutos

13) Se$y=1000$ em$t=3$ e$y=3000$ em$t=4$, o que foi$y_0$ em$t=0$?

14) Se$y=100$ às$t=4$ e$y=10$ às$t=8$, quando acontece$y=1$?

Responda: Em$t = 12$

15) Se um banco oferece juros anuais$7.5\%$ ou juros$7.25\%,$ contínuos com melhor rendimento anual?

16) Qual taxa de juros contínua tem o mesmo rendimento de uma taxa anual de$9\%$?

Responda: $8.618\%$

17) Se você$$5000$ depositar com juros$8\%$ anuais, quantos anos você pode sacar$$500$ (começando após o primeiro ano) sem ficar sem dinheiro?

18) Você está tentando economizar$$50,000$ em$20$ anos para as mensalidades universitárias de seu filho. Se o interesse for contínuo,$10\%,$ quanto você precisa investir inicialmente?

Responda: 6766,76 dólares

19) Você está resfriando um perú que foi retirado do forno com uma temperatura interna de$165°F$. Depois de$10$ minutos descansando o perú em um$70°F$ apartamento, a temperatura chegou$155°F$. Qual é a temperatura do perú$20$ minutos depois de tirá-lo do forno?

20) Você está tentando descongelar alguns vegetais que estão a uma temperatura de$1°F$. Para descongelar os vegetais com segurança, você deve colocá-los na geladeira, que tem uma temperatura ambiente de$44°F$. Você verifica seus vegetais$2$ horas depois de colocá-los na geladeira para descobrir que estão agora$12°F$. Faça um gráfico da curva de temperatura resultante e use-a para determinar quando os vegetais chegam$33°$.

Responda: $9$horas$13$ minutos

21) Você é arqueólogo e recebe um osso que supostamente é de um Tiranossauro Rex. Você sabe que esses dinossauros viveram durante a Era Cretácea ($146$milhões de anos a$65$ milhões de anos atrás), e você descobre por datação por radiocarbono que existe$0.000001\%$ a quantidade de radiocarbono. Esse osso é do Cretáceo?

22) O combustível usado de um reator nuclear contém plutônio-239, que tem meia-vida de$24,000$ anos. Se o$1$ barril contendo$10$ kg de plutônio-239 for selado, quantos anos devem passar até que restem apenas$10$ g de plutônio-239?

Responda: $239,179$anos

Para os exercícios 23 a 26, use a tabela a seguir, que apresenta a população mundial por década.

Anos desde 1950	População (milhões)
0	2.556
10	3.039
20	3.706
30	4.453
40	5.279
50	6.083
60	6.849

Fonte: http:/www.factmonster.com/ipka/A0762181.html.

23) [T] A curva exponencial de melhor ajuste aos dados do formulário$P(t)=ae^{bt}$ é dada por$P(t)=2686e^{0.01604t}$. Use uma calculadora gráfica para representar graficamente os dados e a curva exponencial juntos.

24) [T] Encontre e represente graficamente a derivada$y′$ de sua equação. Onde está aumentando e qual é o significado desse aumento?

Responda: $P'(t)=43e^{0.01604t}$. A população está sempre aumentando.

25) [T] Encontre e represente graficamente a segunda derivada de sua equação. Onde está aumentando e qual é o significado desse aumento?

26) [T] Encontre a data prevista em que a população atinge$10$ bilhões. Usando suas respostas anteriores sobre a primeira e a segunda derivada, explique por que o crescimento exponencial não consegue prever o futuro.

Responda: A população atinge$10$ bilhões de pessoas em$2027$.

Para os exercícios 27 a 29, use a tabela a seguir, que mostra a população de São Francisco durante o século XIX.

Anos desde 1850	População (milhares)
0	21,00
10	56,80
20	149,5
30	234,0

Fonte: http:/www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm.

27) [T] A curva exponencial de melhor ajuste aos dados do formulário$P(t)=ae^{bt}$ é dada por$P(t)=35.26e^{0.06407t}$. Use uma calculadora gráfica para representar graficamente os dados e a curva exponencial juntos.

28) [T] Encontre e represente graficamente a derivada$y′$ de sua equação. Onde está aumentando? Qual é o significado desse aumento? Existe um valor em que o aumento é máximo?

Responda: $P'(t)=2.259e^{0.06407t}$. A população está sempre aumentando.

29) [T] Encontre e represente graficamente a segunda derivada da sua equação. Onde está aumentando? Qual é o significado desse aumento?

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