4: Aplicações de derivadas
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O lançamento de um foguete envolve duas quantidades relacionadas que mudam com o tempo. Ser capaz de resolver esse tipo de problema é apenas uma aplicação de derivadas introduzidas neste capítulo. Também analisamos como as derivadas são usadas para encontrar valores máximos e mínimos das funções. Como resultado, poderemos resolver problemas de otimização aplicados, como maximizar a receita e minimizar a área de superfície. Além disso, examinamos como as derivadas são usadas para avaliar limites complicados, aproximar raízes de funções e fornecer gráficos precisos de funções.
- 4.0: Prelúdio às aplicações de derivadas
- O lançamento de um foguete envolve duas quantidades relacionadas que mudam com o tempo. Ser capaz de resolver esse tipo de problema é apenas uma aplicação de derivadas introduzidas neste capítulo. Também analisamos como as derivadas são usadas para encontrar valores máximos e mínimos das funções. Como resultado, poderemos resolver problemas de otimização aplicados, como maximizar a receita e minimizar a área de superfície. Além disso, examinamos como as derivadas são usadas para avaliar limites complicados, para aproximar raízes de f
- 4.1: Tarifas relacionadas
- Se duas quantidades relacionadas mudarem ao longo do tempo, as taxas nas quais as quantidades mudam estão relacionadas. Por exemplo, se um balão estiver sendo preenchido com ar, tanto o raio do balão quanto o volume do balão estão aumentando. Nesta seção, consideramos vários problemas nos quais duas ou mais quantidades relacionadas estão mudando e estudamos como determinar a relação entre as taxas de variação dessas quantidades.
- 4.2: Aproximações lineares e diferenciais
- Nesta seção, examinamos outra aplicação de derivadas: a capacidade de aproximar funções localmente por funções lineares. As funções lineares são as funções mais fáceis de trabalhar, portanto, elas fornecem uma ferramenta útil para aproximar os valores das funções. Além disso, as ideias apresentadas nesta seção são generalizadas posteriormente no texto, quando estudamos como aproximar funções por polinômios de maior grau. Introdução às séries de potências e funções.
- 4.3: Máxima e Mínima
- Encontrar os valores máximo e mínimo de uma função tem significado prático porque podemos usar esse método para resolver problemas de otimização, como maximizar o lucro, minimizar a quantidade de material usado na fabricação de uma lata de alumínio ou encontrar a altura máxima que um foguete pode alcançar. Nesta seção, veremos como usar derivadas para encontrar os maiores e os menores valores de uma função.
- 4.4: O teorema do valor médio
- O Teorema do Valor Médio é um dos teoremas mais importantes do cálculo. Examinamos algumas de suas implicações no final desta seção. Primeiro, vamos começar com um caso especial do Teorema do Valor Médio, chamado teorema de Rolle.
- 4.5: Derivadas e a forma de um gráfico
- Usando os resultados da seção anterior, agora podemos determinar se um ponto crítico de uma função realmente corresponde a um valor extremo local. Nesta seção, também vemos como a segunda derivada fornece informações sobre a forma de um gráfico ao descrever se o gráfico de uma função se curva para cima ou para baixo.
- 4.6: Limites no infinito e nas assíntotas
- Mostramos como usar a primeira e a segunda derivadas de uma função para descrever a forma de um gráfico. Para representar graficamente uma função f definida em um domínio ilimitado, também precisamos conhecer o comportamento de f como x→±∞. Nesta seção, definimos limites no infinito e mostramos como esses limites afetam o gráfico de uma função. No final desta seção, descrevemos uma estratégia para representar graficamente uma função arbitrária f.
- 4.7: Problemas de otimização aplicados
- Uma aplicação comum do cálculo é calcular o valor mínimo ou máximo de uma função. Por exemplo, as empresas geralmente querem minimizar os custos de produção ou maximizar a receita. Na fabricação, muitas vezes é desejável minimizar a quantidade de material usado para embalar um produto com um determinado volume. Nesta seção, mostramos como configurar esses tipos de problemas de minimização e maximização e resolvê-los usando as ferramentas desenvolvidas neste capítulo.
- 4.8: Regra do L'Hôpital
- Nesta seção, examinamos uma ferramenta poderosa para avaliar limites. Essa ferramenta, conhecida como regra de L'Hôpital, usa derivadas para calcular limites. Com essa regra, poderemos avaliar muitos limites que ainda não conseguimos determinar. Em vez de confiar em evidências numéricas para conjecturar que existe um limite, poderemos mostrar definitivamente que existe um limite e determinar seu valor exato.
- 4.9: Método de Newton
- Em muitas áreas da matemática pura e aplicada, estamos interessados em encontrar soluções para uma equação na forma f (x) =0. Para a maioria das funções, no entanto, é difícil — se não impossível — calcular seus zeros explicitamente. Nesta seção, examinamos uma técnica que fornece uma maneira muito eficiente de aproximar os zeros das funções. Essa técnica faz uso de aproximações de linha tangente e está por trás do método usado frequentemente por calculadoras e computadores para encontrar zeros.
- 4.10: Antiderivados
- Neste ponto, vimos como calcular derivadas de muitas funções e fomos apresentados a uma variedade de suas aplicações. Agora fazemos uma pergunta que inverte esse processo: Dada uma função f, como podemos encontrar uma função com a derivada f e por que estaríamos interessados em tal função?