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3.10: Exercícios de revisão do capítulo 3

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Exercícios de revisão de

    Verdadeiro ou falso? Justifique a resposta com uma prova ou um contra-exemplo.

    1) Cada função tem uma derivada.

    Responda
    Falso

    2) Uma função contínua tem uma derivada contínua.

    3) Uma função contínua tem uma derivada.

    Responda
    Falso

    4) Se uma função é diferenciável, ela é contínua.

    Nos exercícios 5 e 6, use a definição de limite da derivada para avaliar exatamente a derivada.

    5)\(f(x)=\sqrt{x+4}\)

    Responda
    \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}\)

    6)\(f(x)=\dfrac{3}{x}\)

    Nos exercícios 7 a 15, encontre as derivadas das funções dadas.

    7)\(f(x)=3x^3−\dfrac{4}{x^2}\)

    Responda
    \(f'(x) = 9x^2+\frac{8}{x^3}\)

    9)\(f(x)=(4−x^2)^3\)

    10)\(f(x)=e^{\sin x}\)

    Responda
    \(f'(x) = e^{\sin x}\cos x\)

    11)\(f(x)=\ln(x+2)\)

    12)\(f(x)=x^2\cos x+x\tan x\)

    Responda
    \(f'(x) = x\sec^2 x+2x\cos x+\tan x−x^2\sin x \)

    13)\(f(x)=\sqrt{3x^2+2}\)

    14)\(f(x)=\dfrac{x}{4}\sin^{−1}(x)\)

    Responda
    \(f'(x) = \frac{1}{4}\left(\frac{x}{\sqrt{1−x^2}}+\sin^{−1} x\right)\)

    15)\(x^2y=(y+2)+xy\sin x\)

    Nos exercícios 16 a 18, encontre as derivadas indicadas de várias ordens.

    16) Primeira derivada de\(y=x(\ln x)\cos x\)

    Responda
    \(\dfrac{dy}{dx} = \cos x⋅(\ln x+1)−x(\ln x)\sin x\)

    17) Terceira derivada de\(y=(3x+2)^2\)

    18) Segunda derivada de\(y=4^x+x^2\sin x\)

    Responda
    \(\dfrac{d^2y}{dx^2} = 4^x(\ln 4)^2+2\sin x+4x\cos x−x^2\sin x\)

    Nos exercícios 19 e 20, encontre a equação da reta tangente às seguintes equações no ponto especificado.

    19)\(y=\cos^{−1}(x)+x\) em\(x=0\)

    20)\(y=x+e^x−\dfrac{1}{x}\) em\(x=1\)

    Responda
    \(y = (2+e)x−2\)

    Nos exercícios 21 e 22, desenhe a derivada das funções com os gráficos fornecidos.

    21)

    A função começa em (−3, 0,5) e diminui para um mínimo local em (−2,3, −2). Em seguida, a função aumenta até (−1,5, 0) e retarda seu aumento até (0, 2). Em seguida, aumenta lentamente para um máximo local em (2,3, 6) antes de diminuir para (3, 3).

    22)

    A função diminui linearmente de (−1, 4) até a origem, momento em que aumenta como x^2, passando por (1, 1) e (2, 4).

    Resposta
    A função é a linha reta y = −4 até x = 0, ponto em que ela se torna uma linha reta começando na origem com inclinação 2. Não há valor atribuído para essa função em x = 0.

    As perguntas 22 e 23 dizem respeito ao nível da água em Ocean City, Nova Jersey, em janeiro, que pode ser aproximado por\(w(t)=1.9+2.9\cos(\frac{π}{6}t),\) onde\(t\) é medido em horas após a meia-noite, e a altura é medida em pés.

    22) Encontre e represente graficamente a derivada. Qual é o significado físico?

    23) Descubra\(w′(3).\) qual é o significado físico desse valor?

    Resposta
    \(w′(3)=−\frac{2.9π}{6}\). Às 3 da manhã, a maré está diminuindo a uma taxa de 1.514 pés/h.

    As perguntas 24 e 25 consideram as velocidades do vento do furacão Katrina, que afetou Nova Orleans, Louisiana, em agosto de 2005. Os dados são exibidos em uma tabela.

    Horas depois da meia-noite, 26 de agosto Velocidade do vento (mph)
    1 45
    5 75
    11 100
    29 115
    49 145
    58 175
    73 155
    81 125
    85 95
    107 35

    Velocidades do vento do furacão KatrinaFonte: news.nationalgeographic.com/n... _timeline.html.

    24) Usando a tabela, estime a derivada da velocidade do vento na hora 39. Qual é o significado físico?

    25) Estime a derivada da velocidade do vento na hora 83. Qual é o significado físico?

    Resposta
    \(−7.5.\)A velocidade do vento está diminuindo a uma taxa de 7,5 mph/h