3: Derivados
- Page ID
- 188384
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Calcular a velocidade e as mudanças na velocidade são usos importantes do cálculo, mas é muito mais difundido do que isso. O cálculo é importante em todos os ramos da matemática, ciências e engenharia, e também é fundamental para a análise nos negócios e na saúde. Neste capítulo, exploramos uma das principais ferramentas de cálculo, a derivada, e mostramos maneiras convenientes de calcular derivadas. Aplicamos essas regras a uma variedade de funções neste capítulo para que possamos então explorar as aplicações dessas técnicas.
- 3.0: Prelúdio aos derivados
- Calcular a velocidade e as mudanças na velocidade são usos importantes do cálculo, mas é muito mais difundido do que isso. O cálculo é importante em todos os ramos da matemática, ciências e engenharia, e também é fundamental para a análise nos negócios e na saúde. Neste capítulo, exploramos uma das principais ferramentas de cálculo, a derivada, e mostramos maneiras convenientes de calcular derivadas. Aplicamos essas regras a uma variedade de funções neste capítulo para que possamos então explorar as aplicações do
- 3.1: Definindo a derivada
- A inclinação da reta tangente a uma curva mede a taxa instantânea de variação de uma curva. Podemos calculá-lo encontrando o limite do quociente de diferença ou o quociente de diferença com incremento h. A derivada de uma função f (x) em um valor a é encontrada usando qualquer uma das definições para a inclinação da reta tangente. A velocidade é a taxa de mudança de posição. Assim, a velocidade v (t) no tempo t é a derivada da posição s (t) no tempo t.
- 3.3: Regras de diferenciação
- A derivada de uma função constante é zero. A derivada de uma função de potência é uma função na qual a potência em x se torna o coeficiente do termo e a potência em x na derivada diminui em 1. A derivada de uma constante c multiplicada por uma função f é a mesma que a constante multiplicada pela derivada. A derivada da soma de uma função f e uma função g é a mesma que a soma da derivada de f e da derivada de g.
- 3.4: Derivativos como taxas de variação
- Nesta seção, examinamos algumas aplicações da derivada, focando na interpretação da derivada como a taxa de variação de uma função. Essas aplicações incluem aceleração e velocidade na física, taxas de crescimento populacional em biologia e funções marginais em economia.
- 3.5: Derivadas de funções trigonométricas
- Podemos encontrar as derivadas de sin x e cos x usando a definição de derivada e as fórmulas de limite encontradas anteriormente. Com essas duas fórmulas, podemos determinar as derivadas de todas as seis funções trigonométricas básicas.
- 3.6: A regra da cadeia
- Conceitos principais A regra da cadeia nos permite diferenciar composições de duas ou mais funções. Ele afirma que, para\(h(x)=f(g(x)),\)\(h′(x)=f′(g(x))g′(x).\) nós, podemos usar a regra da cadeia com outras regras que aprendemos e podemos derivar fórmulas para algumas delas. A regra da cadeia se combina com a regra do poder para formar uma nova regra: Se\(h(x)=(g(x))^n\), então\(h′(x)=n(g(x))^{n−1}g′(x)\).
- 3.7: Derivadas de funções inversas
- O teorema da função inversa nos permite calcular derivadas de funções inversas sem usar a definição de limite da derivada. Podemos usar o teorema da função inversa para desenvolver fórmulas de diferenciação para as funções trigonométricas inversas.
- 3.8: Diferenciação implícita
- Usamos a diferenciação implícita para encontrar derivadas de funções definidas implicitamente (funções definidas por equações). Usando a diferenciação implícita, podemos encontrar a equação de uma reta tangente ao gráfico de uma curva.
- 3.9: Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas
- Nesta seção, exploramos derivadas de funções exponenciais e logarítmicas. Conforme discutimos em Introdução às Funções e Gráficos, as funções exponenciais desempenham um papel importante na modelagem do crescimento populacional e da decomposição de materiais radioativos. As funções logarítmicas podem ajudar a redimensionar grandes quantidades e são particularmente úteis para reescrever expressões complicadas.
Miniatura: Derivativos (CC BY; OpenStax)