3: Derivados

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Nov 1, 2022
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- 2.6: Exercícios de revisão do capítulo 2
- 3.0: Prelúdio aos derivados

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Calcular a velocidade e as mudanças na velocidade são usos importantes do cálculo, mas é muito mais difundido do que isso. O cálculo é importante em todos os ramos da matemática, ciências e engenharia, e também é fundamental para a análise nos negócios e na saúde. Neste capítulo, exploramos uma das principais ferramentas de cálculo, a derivada, e mostramos maneiras convenientes de calcular derivadas. Aplicamos essas regras a uma variedade de funções neste capítulo para que possamos então explorar as aplicações dessas técnicas.

3.0: Prelúdio aos derivados
Calcular a velocidade e as mudanças na velocidade são usos importantes do cálculo, mas é muito mais difundido do que isso. O cálculo é importante em todos os ramos da matemática, ciências e engenharia, e também é fundamental para a análise nos negócios e na saúde. Neste capítulo, exploramos uma das principais ferramentas de cálculo, a derivada, e mostramos maneiras convenientes de calcular derivadas. Aplicamos essas regras a uma variedade de funções neste capítulo para que possamos então explorar as aplicações do
3.1: Definindo a derivada
A inclinação da reta tangente a uma curva mede a taxa instantânea de variação de uma curva. Podemos calculá-lo encontrando o limite do quociente de diferença ou o quociente de diferença com incremento h. A derivada de uma função f (x) em um valor a é encontrada usando qualquer uma das definições para a inclinação da reta tangente. A velocidade é a taxa de mudança de posição. Assim, a velocidade v (t) no tempo t é a derivada da posição s (t) no tempo t.
- 3.1E: Exercícios para a Seção 3.1
3.2: A derivada como função
- 3.2E: Exercícios para a Seção 3.2
3.3: Regras de diferenciação
A derivada de uma função constante é zero. A derivada de uma função de potência é uma função na qual a potência em x se torna o coeficiente do termo e a potência em x na derivada diminui em 1. A derivada de uma constante c multiplicada por uma função f é a mesma que a constante multiplicada pela derivada. A derivada da soma de uma função f e uma função g é a mesma que a soma da derivada de f e da derivada de g.
- 3.3E: Exercícios para a seção
3.4: Derivativos como taxas de variação
Nesta seção, examinamos algumas aplicações da derivada, focando na interpretação da derivada como a taxa de variação de uma função. Essas aplicações incluem aceleração e velocidade na física, taxas de crescimento populacional em biologia e funções marginais em economia.
- 3.4E: Exercícios para a Seção 3.4
3.5: Derivadas de funções trigonométricas
Podemos encontrar as derivadas de sin x e cos x usando a definição de derivada e as fórmulas de limite encontradas anteriormente. Com essas duas fórmulas, podemos determinar as derivadas de todas as seis funções trigonométricas básicas.
- 3.5E: Exercícios para a Seção 3.5
3.6: A regra da cadeia
Conceitos principais A regra da cadeia nos permite diferenciar composições de duas ou mais funções. Ele afirma que, para $h(x)=f(g(x)),$ $h′(x)=f′(g(x))g′(x).$ nós, podemos usar a regra da cadeia com outras regras que aprendemos e podemos derivar fórmulas para algumas delas. A regra da cadeia se combina com a regra do poder para formar uma nova regra: Se $h(x)=(g(x))^n$ , então $h′(x)=n(g(x))^{n−1}g′(x)$ .
- 3.6E: Exercícios para a Seção 3.6
3.7: Derivadas de funções inversas
O teorema da função inversa nos permite calcular derivadas de funções inversas sem usar a definição de limite da derivada. Podemos usar o teorema da função inversa para desenvolver fórmulas de diferenciação para as funções trigonométricas inversas.
- 3.7E: Exercícios para a Seção 3.7
3.8: Diferenciação implícita
Usamos a diferenciação implícita para encontrar derivadas de funções definidas implicitamente (funções definidas por equações). Usando a diferenciação implícita, podemos encontrar a equação de uma reta tangente ao gráfico de uma curva.
- 3.8E: Exercícios para a Seção 3.8
3.9: Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas
Nesta seção, exploramos derivadas de funções exponenciais e logarítmicas. Conforme discutimos em Introdução às Funções e Gráficos, as funções exponenciais desempenham um papel importante na modelagem do crescimento populacional e da decomposição de materiais radioativos. As funções logarítmicas podem ajudar a redimensionar grandes quantidades e são particularmente úteis para reescrever expressões complicadas.
- 3.9E: Exercícios para a Seção 3.9
3.10: Exercícios de revisão do capítulo 3

Miniatura: Derivativos (CC BY; OpenStax)