Skip to main content
Global

2.6: Exercícios de revisão do capítulo 2

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    188657

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Verdadeiro ou falso. Nos exercícios 1 a 4, justifique sua resposta com uma prova ou um contra-exemplo.

    1) Uma função tem que ser contínua em\(x=a\) se\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) existir.

    2) Você pode usar a regra do quociente para avaliar\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x}{x}\).

    Resposta
    Falso, pois não podemos ter\(\displaystyle \lim_{x→0}x=0\) no denominador.

    3) Se houver uma assíntota vertical em\(x=a\) para a função\(f(x)\), então\(f\) é indefinida no ponto\(x=a\).

    4) Se\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) não existe, então\(f\) é indefinido no ponto\(x=a\).

    Resposta
    Falso. É possível uma descontinuidade do salto.

    5) Usando o gráfico, encontre cada limite ou explique por que o limite não existe.

    uma.\(\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)\)

    b.\(\displaystyle \lim_{x→1}f(x)\)

    c.\(\displaystyle \lim_{x→0^+}f(x)\)

    d.\(\displaystyle \lim_{x→2}f(x)\)

    Um gráfico de uma função por partes com vários segmentos. A primeira é uma curva ascendente côncava decrescente existente para x < -1. Ele termina em um círculo aberto em (-1, 1). A segunda é uma função linear crescente começando em (-1, -2) e terminando em (0, -1). A terceira é uma curva descendente côncava crescente existente de um círculo aberto em (0,0) para um círculo aberto em (1,1). O quarto é um círculo fechado em (1, -1). A quinta é uma linha sem inclinação existente para x 1, começando no círculo aberto em (1,1)." style="width: 192px; height: 272px;" width="192px" height="272px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_05_207.jpeg">

    Nos exercícios 6 a 15, avalie o limite algebricamente ou explique por que o limite não existe.

    6)\(\displaystyle \lim_{x→2}\frac{2x^2−3x−2}{x−2}\)

    Resposta
    \(5\)

    7)\(\displaystyle \lim_{x→0}3x^2−2x+4\)

    8)\(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^3−2x^2−1}{3x−2}\)

    Resposta
    \(8/7\)

    9)\(\displaystyle \lim_{x→π/2}\frac{\cot x}{\cos x}\)

    10)\(\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{x^2+25}{x+5}\)

    Resposta
    DNE

    11)\(\displaystyle \lim_{x→2}\frac{3x^2−2x−8}{x^2−4}\)

    12)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{x^3−1}\)

    Resposta
    \(2/3\)

    13)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{\sqrt{x}−1}\)

    14)\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{4−x}{\sqrt{x}−2}\)

    Resposta
    \(−4\)

    15)\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{1}{\sqrt{x}−2}\)

    Nos exercícios 16 a 17, use o teorema da compressão para provar o limite.

    16)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0\)

    Resposta
    Desde\(−1≤\cos(2πx)≤1\) então\(−x^2≤x^2\cos(2πx)≤x^2\). Desde então\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2=0=\lim_{x→0}−x^2\), segue isso\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0\).

    17)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3\sin\left(\frac{π}{x}\right)=0\)

    18) Determine o domínio de forma que a função\(f(x)=\sqrt{x−2}+xe^x\) seja contínua sobre seu domínio.

    Resposta
    \([2,∞]\)

    Nos exercícios 19 a 20, determine o valor de\(c\) tal forma que a função permaneça contínua. Desenhe a função resultante para garantir que ela seja contínua.

    19)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1, & \text{if } x>c\\2^x, & \text{if } x≤c\end{cases}\)

    20)\(f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+1}, & \text{if } x>−1\\x^2+c, & \text{if } x≤−1\end{cases}\)

    Nos exercícios 21 a 22, use a definição precisa de limite para provar o limite.

    21)\(\displaystyle \lim_{x→1}\,(8x+16)=24\)

    22)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3=0\)

    Resposta
    \(δ=\sqrt[3]{ε}\)

    23) Uma bola é lançada no ar e a posição vertical é dada por\(x(t)=−4.9t^2+25t+5\). Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a bola deve cair no chão em algum momento entre 5 s e 6 s após o lançamento.

    24) Uma partícula que se move ao longo de uma linha tem um deslocamento de acordo com a função\(x(t)=t^2−2t+4\), onde\(x\) é medida em metros e\(t\) é medida em segundos. Encontre a velocidade média ao longo do período\(t=[0,2]\).

    Resposta
    \(0\)m/seg

    25) A partir dos exercícios anteriores, estime a velocidade instantânea em\(t=2\) verificando a velocidade média em\(t=0.01\) segundos.