2: Limites
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A ideia de um limite é fundamental para todo o cálculo. Começamos este capítulo examinando por que os limites são tão importantes. Em seguida, descrevemos como encontrar o limite de uma função em um determinado ponto. Nem todas as funções têm limites em todos os pontos, e discutimos o que isso significa e como podemos saber se uma função tem ou não um limite em um determinado valor. Este capítulo foi criado de forma informal e intuitiva, mas isso nem sempre é suficiente se precisarmos provar uma afirmação matemática envolvendo limites. A última seção deste capítulo apresenta a definição mais precisa de um limite e mostra como provar se uma função tem um limite.
- 2.0: Prelúdio aos limites
- Começamos este capítulo examinando por que os limites são tão importantes. Em seguida, descrevemos como encontrar o limite de uma função em um determinado ponto. Nem todas as funções têm limites em todos os pontos, e discutimos o que isso significa e como podemos saber se uma função tem ou não um limite em um determinado valor. A última seção deste capítulo apresenta a definição mais precisa de um limite e mostra como provar se uma função tem um limite.
- 2.1: Uma prévia do cálculo
- Ao embarcarmos em nosso estudo de cálculo, veremos como seu desenvolvimento surgiu a partir de soluções comuns para problemas práticos em áreas como a física da engenharia, como o problema de viagens espaciais apresentado na abertura do capítulo. Dois problemas principais levaram à formulação inicial do cálculo: (1) o problema da tangente, ou como determinar a inclinação de uma reta tangente a uma curva em um ponto; e (2) o problema da área, ou como determinar a área sob uma curva.
- 2.2: O limite de uma função
- Uma tabela de valores ou gráfico pode ser usada para estimar um limite. Se o limite de uma função em um ponto não existir, ainda é possível que os limites da esquerda e da direita nesse ponto possam existir. Se os limites de uma função da esquerda e da direita existirem e forem iguais, o limite da função será esse valor comum. Podemos usar limites para descrever o comportamento infinito de uma função em um ponto.
- 2.3: As leis de limite
- Nesta seção, estabelecemos leis para calcular limites e aprendemos como aplicá-las. No Projeto Estudantil no final desta seção, você tem a oportunidade de aplicar essas leis de limite para derivar a fórmula para a área de um círculo, adaptando um método desenvolvido pelo matemático grego Arquimedes. Começamos reafirmando dois resultados de limite úteis da seção anterior. Esses dois resultados, junto com as leis de limites, servem como base para o cálculo de muitos limites.
- 2.4: Continuidade
- Para que uma função seja contínua em um ponto, ela deve ser definida nesse ponto, seu limite deve existir no ponto e o valor da função nesse ponto deve ser igual ao valor do limite naquele ponto. As descontinuidades podem ser classificadas como removíveis, de salto ou infinitas. Uma função é contínua em um intervalo aberto se for contínua em todos os pontos do intervalo. É contínuo em um intervalo fechado se for contínuo em todos os pontos de seu interior e contínuo em seus pontos finais.
- 2.5: A definição precisa de um limite
- Nesta seção, convertemos essa ideia intuitiva de limite em uma definição formal usando uma linguagem matemática precisa. A definição formal de limite é possivelmente uma das definições mais desafiadoras que você encontrará no início de seu estudo de cálculo; no entanto, vale a pena fazer qualquer esforço para conciliá-la com sua noção intuitiva de limite. Entender essa definição é a chave que abre as portas para uma melhor compreensão do cálculo.
Miniatura: A função\(f(x)=1/(x−a)^n\) tem limites infinitos em\(a\). (CC BY; OpenStax)