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2.1E: Exercícios para a Seção 2.1

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Para os exercícios 1 a 3, pontos\(P(1,2)\) e\(Q(x,y)\) estão no gráfico da função\(f(x)=x^2+1\).

    1) [T] Complete a tabela a seguir com os valores apropriados:\(y\) -coordenada de\(Q\)\(Q(x,y)\), o ponto e a inclinação da linha secante passando pelos pontos\(P\)\(Q\) e. Arredonde sua resposta para oito dígitos significativos.

    \(x\) \(y\) \(Q(x,y)\) \(m_{sec}\)
    \ (x\)” style="text-align:center; ">1.1 \ (y\)” style="text-align:center; ">a. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">e. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">i.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">1.01 \ (y\)” style="text-align:center; ">b. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">f. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">j.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">1.001 \ (y\)” style="text-align:center; ">c. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">g. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">k.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">1.0001 \ (y\)” style="text-align:center; ">d. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">h. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">l.
    Responda
    a. 2.2100000
    b. 2.0201000
    c. 2.0020010
    d. 2.0002000
    e. (1.1000000, 2.2100000)
    f. (1.0100000, 2.0201000)
    g. (1,0010000, 2.0020010)
    h. (1.0001000, 2.0002000)
    i. 2. 1000000
    j. 2.0100000
    k. 2.0010000
    l. 2.0001000

    2) Use os valores na coluna direita da tabela no exercício anterior para adivinhar o valor da inclinação da reta tangente a\(f\) at\(x=1\).

    3) Use o valor do exercício anterior para encontrar a equação da reta tangente no ponto\(P\). Gráfico\(f(x)\) e a reta tangente.

    Responda
    \(y=2x\)

    Para os exercícios 4-6, pontos\(P(1,1)\) e\(Q(x,y)\) estão no gráfico da função\(f(x)=x^3\).

    4) [T] Complete a tabela a seguir com os valores apropriados:\(y\) -coordenada de\(Q\)\(Q(x,y)\), o ponto e a inclinação da linha secante passando pelos pontos\(P\)\(Q\) e. Arredonde sua resposta para oito dígitos significativos.

    \(x\) \(y\) \(Q(x,y)\) \(m_{sec}\)
    \ (x\)” style="text-align:center; ">1.1 \ (y\)” style="text-align:center; ">a. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">e. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">i.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">1.01 \ (y\)” style="text-align:center; ">b. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">f. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">j.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">1.001 \ (y\)” style="text-align:center; ">c. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">g. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">k.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">1.0001 \ (y\)” style="text-align:center; ">d. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">h. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">l.2

    5) Use os valores na coluna direita da tabela no exercício anterior para adivinhar o valor da inclinação da reta tangente em relação a\(f\) at\(x=1\).

    Responda
    \(3\)

    6) Use o valor do exercício anterior para encontrar a equação da reta tangente no ponto\(P\). Gráfico\(f(x)\) e a reta tangente.

    Para os exercícios 7 a 9, pontos\(P(4,2)\) e\(Q(x,y)\) estão no gráfico da função\(f(x)=\sqrt{x}\).

    7) [T] Complete a tabela a seguir com os valores apropriados:\(y\) -coordenada de\(Q\)\(Q(x,y)\), o ponto e a inclinação da linha secante passando pelos pontos\(P\)\(Q\) e. Arredonde sua resposta para oito dígitos significativos.

    \(x\) \(y\) \(Q(x,y)\) \(m_{sec}\)
    \ (x\)” style="text-align:center; ">4.1 \ (y\)” style="text-align:center; ">a. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">e. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">i.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">4.01 \ (y\)” style="text-align:center; ">b. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">f. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">j.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">4.001 \ (y\)” style="text-align:center; ">c. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">g. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">k.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">4.0001 \ (y\)” style="text-align:center; ">d. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">h. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">l.
    Responda
    a. 2.0248457
    b. 2.0024984
    c. 2.0002500
    d. 2.0000250
    e. (4.1000000,2.0248457)
    f. (4.0100000, 2.0024984)
    g. (4.0010000,2.0002500) h. (4.00010000,2.0002500)
    h. (4.00010000,2.0000250)
    i. 0. 24845673
    j. 0,24984395
    k. 0,24998438
    l. 0,24999844

    8) Use os valores na coluna direita da tabela no exercício anterior para adivinhar o valor da inclinação da reta tangente em relação a\(f\) at\(x=4\).

    9) Use o valor do exercício anterior para encontrar a equação da reta tangente no ponto\(P\).

    Responda
    \(y=\frac{x}{4}+1\)

    Para os exercícios 10 a 12, pontos\(P(1.5,0)\) e\(Q(ϕ,y)\) estão no gráfico da função\(f(ϕ)=\cos(πϕ)\).

    10) [T] Complete a tabela a seguir com os valores apropriados:\(y\) -coordenada de\(Q\)\(Q(ϕ,y)\), o ponto e a inclinação da linha secante passando pelos pontos\(P\)\(Q\) e. Arredonde sua resposta para oito dígitos significativos.

    \(x\) \(y\) \(Q(ϕ,y)\) \(m_{sec}\)
    \ (x\)” style="text-align:center; ">1.4 \ (y\)” style="text-align:center; ">a. \ (Q (, y)\)” style="text-align:center; ">e. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">i.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">1,49 \ (y\)” style="text-align:center; ">b. \ (Q (, y)\)” style="text-align:center; ">f. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">j.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">1.499 \ (y\)” style="text-align:center; ">c. \ (Q (, y)\)” style="text-align:center; ">g. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">k.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">1.4999 \ (y\)” style="text-align:center; ">d. \ (Q (, y)\)” style="text-align:center; ">h. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">l.

    11) Use os valores na coluna direita da tabela no exercício anterior para adivinhar o valor da inclinação da reta tangente a f em\(ϕ=1.5\).

    Responda
    \( π \)

    12) Use o valor do exercício anterior para encontrar a equação da reta tangente no ponto\(P\).

    Para os exercícios 13 a 15, pontos\(P(−1,−1)\) e\(Q(x,y)\) estão no gráfico da função\(f(x)=\frac{1}{x}\).

    13) [T] Complete a tabela a seguir com os valores apropriados:\(y\) -coordenada de\(Q\)\(Q(x,y)\), o ponto e a inclinação da linha secante passando pelos pontos\(P\)\(Q\) e. Arredonde sua resposta para oito dígitos significativos.

    \(x\) \(y\) \(Q(x,y)\) \(m_{sec}\)
    \ (x\)” style="text-align:center; ">-1,05 \ (y\)” style="text-align:center; ">a. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">e. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">i.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">-1,01 \ (y\)” style="text-align:center; ">b. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">f. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">j.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">-1.005 \ (y\)” style="text-align:center; ">c. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">g. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">k.
    \ (x\)” style="text-align:center; ">-1.001 \ (y\)” style="text-align:center; ">d. \ (Q (x, y)\)” style="text-align:center; ">h. \ (m_ {sec}\)” style="text-align:center; ">l.
    Responda
    a. −0,95238095
    b. −0,99009901
    c. −0,99502488
    d. −0,99900100
    e. (−1; .0500000, −0; .95238095)
    f. (−1; .0100000, −0; .9909901)
    g. (−1; .0050000, −0; .99502488)
    h. (1,9 0010000, −0; .99900100)
    i. −0,95238095
    j. −0,99009901
    k. −0,99502488
    l. −0,99900100

    14) Use os valores na coluna direita da tabela no exercício anterior para adivinhar o valor da inclinação da reta tangente a\(f\) at\(x=−1\).

    15) Use o valor do exercício anterior para encontrar a equação da reta tangente no ponto\(P\).

    Responda
    \(y=−x−2\)

    Para os exercícios 16 a 17, a função de posição de uma bola lançada do topo de um prédio de 200 metros de altura é dada por\(s(t)=200−4.9t^2\), onde a posição\(s\) é medida em metros e o tempo\(t\) é medido em segundos. Arredonde sua resposta para oito dígitos significativos.

    16) [T] Calcule a velocidade média da bola em determinados intervalos de tempo.

    uma. [4,99,5]

    b. [5.5.01]

    c. [4.999,5]

    d. [5.05.001]

    17) Use o exercício anterior para adivinhar a velocidade instantânea da bola em\(t=5\) segundos.

    Responda
    \(−49\)m/seg (a velocidade da bola é de 49 m/seg para baixo)

    Para os exercícios 18 a 19, considere uma pedra lançada no ar do nível do solo com uma velocidade inicial de 15 m/seg. Sua altura em metros por vez t segundos é de 0\(h(t)=15t−4.9t^2\).

    18) [T] Calcule a velocidade média da pedra em determinados intervalos de tempo.

    a. [1,1,05]

    b. [1,1,01]

    c. [1.005]

    d. [1.001]

    19) Use o exercício anterior para adivinhar a velocidade instantânea da pedra em\(t=1\) segundos.

    Responda
    \(5.2\)m/seg

    Para os exercícios 20 a 21, considere um foguete lançado no ar que depois retorna à Terra. A altura do foguete em metros é dada por\(h(t)=600+78.4t−4.9t^2\), onde\(t\) é medida em segundos.

    20) [T] Calcule a velocidade média do foguete em determinados intervalos de tempo.

    a. [9,9,01]

    b. [8,99,9]

    c. [9.9.001]

    d. [8.999,9]

    21) Use o exercício anterior para adivinhar a velocidade instantânea do foguete em\(t=9\) segundos.

    Responda
    \(-9.8\)m/seg

    Para exercícios, considere um atleta correndo uma corrida de 40 m. A posição do atleta é dada por\(d(t)=\frac{t^3}{6}+4t\), onde\(d\) está a posição em metros e\(t\) é o tempo decorrido, medido em segundos.

    22) [T] Calcule a velocidade média do corredor em determinados intervalos de tempo.

    a. [1,95, 2,05]

    b. [1.995.2.005]

    c. [1.9995, 2.0005]

    d. [2.00001]

    23) Use o exercício anterior para adivinhar a velocidade instantânea do corredor em\(t=2\) segundos.

    Responda
    \(6\)m/seg

    Para os exercícios 24 a 25, considere a função\(f(x)=|x|\).

    24) Esboce o gráfico de\(f\) sobre o intervalo [\(−1,2\)] e sombreie a região acima do\(x\) eixo.

    25) Use o exercício anterior para encontrar o valor exato da área entre o\(x\) eixo -e o gráfico do\(f\) intervalo [\(−1,2\)] usando retângulos. Para os retângulos, use as unidades quadradas e aproxime tanto acima quanto abaixo das linhas. Use a geometria para encontrar a resposta exata.

    Responda
    Abaixo, 1\(unit^2\); acima: 4\(unit^2\).
    A área exata dos dois triângulos é\(\frac{1}{2}(1)(1)+\frac{1}{2}(2)(2)=2.5 units^2\).

    Para os exercícios 26 a 27, considere a função\(f(x)=\sqrt{1−x^2}\). (Dica: Essa é a metade superior de um círculo de raio 1 posicionado em (\(0,0\)).)

    26) Esboce o gráfico de f no intervalo [\(−1,1\)].

    27) Use o exercício anterior para encontrar a área exata entre o\(x\) eixo -e o gráfico do\(f\) intervalo [\(−1,1\)] usando retângulos. Para os retângulos, use quadrados de 0,4 por 0,4 unidades e aproxime tanto acima quanto abaixo das linhas. Use a geometria para encontrar a resposta exata.

    Responda
    Abaixo,\(0.96 \;\text{units}^2\); sobre,\(1.92 \;\text{units}^2\)).
    A área exata do semicírculo com raio 1 é\(\frac{π(1)^2}{2}=\frac{π}{2} \;\text{units}^2\)

    Para os exercícios 28 a 29, considere a função\(f(x)=−x^2+1\).

    28) Esboce o gráfico de\(f\) over the interval [\(−1,1\)].

    29) Aproxime a área da região entre o\(x\) eixo -e o gráfico do\(f\) intervalo [\(−1,1\)].

    Responda
    Aproximadamente\(1.3333333 \;\text{units}^2\)