1.6: Exercícios de revisão do capítulo 1

Last updated
Save as PDF

Page ID: 188636

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta com uma prova ou um contra-exemplo.

1) Uma função é sempre individual.

2)$f∘g=g∘f$, assumindo$f$ e$g$ são funções.

Responda: Falso

3) Uma relação que passa nos testes de linha horizontal e vertical é uma função individual.

4) Uma relação que passa no teste da linha horizontal é uma função.

Responda: Falso

Indique o domínio e o alcance das funções fornecidas:

$f=x^2+2x−3$,$g=\ln(x−5)$,$h=\dfrac{1}{x+4}$

5) h

6) g

Responda: Domínio:$x>5$, Intervalo: todos os números reais

7)$h∘f$

8)$g∘f$

Responda: Domínio:$x>2$ e$x<−4$, Intervalo: todos os números reais

Encontre o grau, o$y$ intercepto e os zeros para as seguintes funções polinomiais.

9)$f(x)=2x^2+9x−5$

10)$f(x)=x^3+2x^2−2x$

Responda: Grau de 3,$y$ -interceptação:$(0,0),$ Zeros:$0, \,\sqrt{3}−1,\, −1−\sqrt{3}$

Simplifique as seguintes expressões trigonométricas.

11)$\dfrac{\tan^2x}{\sec^2x}+{\cos^2x}$

12)$\cos^2x-\sin^2x$

Responda: $\cos(2x)$

Resolva$θ=[−2π,2π]$ exatamente as seguintes equações trigonométricas no intervalo.

13)$6\cos 2x−3=0$

14)$\sec^2x−2\sec x+1=0$

Responda: $0,±2π$

Resolva as seguintes equações logarítmicas.

15)$5^x=16$

16)$\log_2(x+4)=3$

Responda: $4$

As seguintes funções estão individuais sobre seu domínio de existência? A função tem um inverso? Em caso afirmativo, encontre o inverso$f^{−1}(x)$ da função. Justifique sua resposta.

17)$f(x)=x^2+2x+1$

18)$f(x)=\dfrac{1}{x}$

Responda: Um para um; sim, a função tem um inverso; inverso:$f^{−1}(x)=\dfrac{1}{x}$

Para os problemas a seguir, determine o maior domínio no qual a função é individual e encontre o inverso nesse domínio.

19)$f(x)=\sqrt{9−x}$

20)$f(x)=x^2+3x+4$

Responda: $x≥−\frac{3}{2},\quad f^{−1}(x)=−\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{4x−7}$

21) Um carro está correndo ao longo de uma pista circular com diâmetro de 1 mi. Um treinador parado no centro do círculo marca seu progresso a cada 5 segundos. Após 5 s, o treinador tem que girar 55° para acompanhar o carro. Quão rápido o carro está viajando?

Para os problemas a seguir, considere o dono de um restaurante que queira vender camisetas anunciando sua marca. Ele lembra que há um custo fixo e um custo variável, embora ele não se lembre dos valores. Ele sabe que a empresa de impressão de camisetas cobra $440 por 20 camisas e $1000 por 100 camisas.

22) a. Encontre a equação$C=f(x)$ que descreve o custo total em função do número de camisas e

b. determine quantas camisas ele deve vender para quebrar, mesmo que ele venda as camisas por $10 cada.

Responda: $100$camisas a.$C(x)=300+7x$
b.

23) a. Encontre a função inversa$x=f^{−1}(C)$ e descreva o significado dessa função.

b. Determine quantas camisas o proprietário pode comprar se tiver $8000 para gastar.

Para os problemas a seguir, considere a população de Ocean City, Nova Jersey, que é cíclica por temporada.

24) A população pode ser modelada por$P(t)=82.5−67.5\cos[(π/6)t]$, onde$t$ é o tempo em meses ($t=0$representa 1º de janeiro) e$P$ sua população (em milhares). Durante um ano, em que intervalos a população é inferior a 20.000? Em quais intervalos a população é superior a 140.000?

Responda: A população é inferior a 20.000 de 8 de dezembro a 23 de janeiro e mais de 140.000 de 29 de maio a 2 de agosto

25) Na realidade, a população geral provavelmente está aumentando ou diminuindo ao longo de cada ano. Vamos reformular o modelo como$P(t)=82.5−67.5\cos[(π/6)t]+t$, onde t é o tempo em meses ($t=0$representa 1º de janeiro) e$P$ sua população (em milhares). Quando é a primeira vez que a população chega a 200.000?

Para os seguintes problemas, considere a datação radioativa. Um esqueleto humano é encontrado em uma escavação arqueológica. A datação por carbono é implementada para determinar a idade do esqueleto usando a equação$y=e^{rt}$, onde$y$ está a porcentagem de radiocarbono ainda presente no material,$t$ é o número de anos passados, e$r=−0.0001210$ é a taxa de decaimento do radiocarbono.

26) Se se espera que o esqueleto tenha 2000 anos, qual porcentagem de radiocarbono deve estar presente?

Responda: 78,51%

27) Encontre o inverso da equação de datação por carbono. O que isso significa? Se houver 25% de radiocarbono, quantos anos tem o esqueleto?

Colaboradores

Template:ContribOpenStaxCalc