1.5E: Exercícios para a Seção 1.5

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Nos exercícios 1 a 4, avalie as funções exponenciais dadas conforme indicado, com precisão de dois dígitos significativos após o decimal.

1)$f(x)=5^x$

uma.$x=3$

b.$x=\frac{1}{2}$

c.$x=\sqrt{2}$

Responda: a.$125$
b.$2.24$
c.$9.74$

2)$f(x)=(0.3)^x$

uma.$x=−1$

b.$x=4$

c.$x=−1.5$

3)$f(x)=10^x$

uma.$x=−2$

b.$x=4$

c.$x=\frac{5}{3}$

Responda: a.$0.01$
b.$10,000$
c.$46.42$

4)$f(x)=e^x$

uma.$x=2$

b.$x=−3.2$

c.$x=π$

Nos exercícios 5 a 10, combine a equação exponencial com o gráfico correto.

uma.$y=4^{−x}$

b.$y=3^{x−1}$

c.$y=2^{x+1}$

d.$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x+2$

e.$y=−3^{−x}$

f.$y=1−5^x$

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -5 a 5 e o eixo y vai de -2 a 8. O gráfico é de uma função curva decrescente. A função diminui até se aproximar da linha “y = 2”, mas nunca toca nessa linha. O intercepto y está no ponto (0, 3) e não há interceptação x.$

Responda: d

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -4 a 4 e o eixo y vai de -9 a 2. O gráfico é de uma função que começa um pouco abaixo da linha “y = 1” e começa a diminuir rapidamente em uma curva. O intercepto x e o intercepto y estão ambos na origem.$

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -5 a 5 e o eixo y vai de -5 a 5. O gráfico é de uma função crescente curva que começa um pouco acima do eixo x e começa a aumentar rapidamente. Não há interceptação x e a interceptação y está no ponto (0, (1/3)). Outro ponto do gráfico está em (1, 1).$

Responda: b

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -5 a 5 e o eixo y vai de -5 a 5. O gráfico é de uma função decrescente curva que diminui até chegar perto do eixo x sem tocá-lo. Não há interceptação x e a interceptação y está no ponto (0, 1). Outro ponto do gráfico está em (-1, 4).$

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -5 a 5 e o eixo y vai de -5 a 5. O gráfico é de uma função crescente curva que aumenta até chegar perto do eixo x sem tocá-lo. Não há interceptação x e a interceptação y está no ponto (0, -1). Outro ponto do gráfico está em (-1, -3).$

Responda: e

10)

Nos exercícios 11 a 17, esboce o gráfico da função exponencial. Determine o domínio, o alcance e a assíntota horizontal.

11)$f(x)=e^x+2$

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -5 a 5 e o eixo y vai de -5 a 5. O gráfico é de uma função crescente curva que começa um pouco acima da linha “y = 2” e começa a aumentar rapidamente. Não há interceptação x e a interceptação y está no ponto (0, 3).$

Responda: Domínio: todos os números reais, Alcance:$(2,∞),\; y=2$

12)$f(x)=−2^x$

$alt$

13)$f(x)=3^{x+1}$

Responda: Domínio: todos os números reais, Alcance:$(0,∞),\; y=0$

14)$f(x)=4^x−1$

$alt$

15)$f(x)=1−2^{−x}$

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -5 a 5 e o eixo y vai de -5 a 5. O gráfico é de uma função crescente curva que aumenta até chegar perto da linha “y = 1” sem tocá-la. O intercepto x e o intercepto y estão ambos na origem. Outro ponto do gráfico está em (-1, -1).$

Responda: Domínio: todos os números reais, Alcance:$(−∞,1),\; y=1$

16)$f(x)=5^{x+1}+2$

$alt$

17)$f(x)=e^{−x}−1$

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -5 a 5 e o eixo y vai de -5 a 5. O gráfico é de uma função decrescente curva que diminui até chegar perto da linha “y = -1” sem tocá-la. O intercepto x e o intercepto y estão ambos na origem. Há um ponto aproximado no gráfico em (-1, 1,7).$

Responda: Domínio: todos os números reais, Alcance:$(−1,∞), \;y=−1$

Nos exercícios 18 a 25, escreva a equação na forma exponencial equivalente.

18)$\log_3 81=4$

19)$\log_8 2=\frac{1}{3}$

Responda: $8^{1/3}=2$

20)$\log_5 1=0$

21)$\log_5 25=2$

Responda: $5^2=25$

22)$\log 0.1=−1$

23)$\ln\left(\frac{1}{e^3}\right)=−3$

Responda: $e^{−3}=\dfrac{1}{e^3}$

24)$\log_9 3=0.5$

25)$\ln 1=0$

Responda: $e^0=1$

Nos exercícios 26 a 35, escreva a equação na forma logarítmica equivalente.

26)$2^3=8$

27)$4^{−2}=\frac{1}{16}$

Responda: $\log_4\left(\frac{1}{16}\right)=−2$

28)$10^2=100$

29)$9^0=1$

Responda: $\log_9 1=0$

30)$\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$

31)$\sqrt[3]{64}=4$

Responda: $\log_{64}4=\frac{1}{3}$

32)$e^x=y$

33)$9^y=150$

Responda: $\log_9 150=y$

34)$b^3=45$

(35)$4^{-3/2}=0.125$

Responda: $\log_4 0.125=−\frac{3}{2}$

Nos exercícios 36 a 41, esboce o gráfico da função logarítmica. Determine o domínio, o alcance e a assíntota vertical.

36)$f(x)=3+\ln x$

$alt$

37)$f(x)=\ln(x−1)$

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -5 a 5 e o eixo y vai de -5 a 5. O gráfico é de uma função curva crescente que começa ligeiramente à direita da linha vertical “x = 1”. Não há intercepto y e o intercepto x está no ponto aproximado (2, 0).$

Responda: Domínio:$(1,∞)$, Intervalo:$(−∞,∞),\; x=1$

38)$f(x)=\ln(−x)$

$alt$

39)$f(x)=1−\ln x$

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -1 a 9 e o eixo y vai de -5 a 5. O gráfico é de uma função curva decrescente que começa ligeiramente à direita do eixo y. Não há intercepto y e o intercepto x está no ponto (e, 0).$

Responda: Domínio:$(0,∞)$, Intervalo:$(−∞,∞),\; x=0$

40)$f(x)=\log x−1$

$221$

41)$f(x)=\ln(x+1)$

$Uma imagem de um gráfico. O eixo x vai de -5 a 5 e o eixo y vai de -5 a 5. O gráfico é de uma função curva crescente que começa ligeiramente à direita da linha vertical “x = -1”. O intercepto y e o intercepto x estão ambos na origem.$

Responda: Domínio:$(−1,∞)$, Intervalo:$(−∞,∞)$,$x=−1$

Nos exercícios 42 a 47, use as propriedades dos logaritmos para escrever as expressões como soma, diferença e/ou produto dos logaritmos.

(42)$\log x^4y$

43)$\log_3\frac{9a^3}{b}$

Responda: $2+3\log_3 a−\log_3 b$

44)$\ln a\sqrt[3]{b}$

45)$\log_5\sqrt{125xy^3}$

Responda: $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\log_5 x+\frac{3}{2}\log_5 y$

(46)$\log_4 \frac{\sqrt[3]{xy}}{64}$

47)$\ln\left(\frac{6}{\sqrt{e^3}}\right)$

Responda: $−\frac{3}{2}+\ln 6$

Nos exercícios 48 a 55, resolva a equação exponencial com exatidão.

48)$5^x=125$

49)$e^{3x}−15=0$

Responda: $\frac{\ln 15}{3}$

50)$8^x=4$

51)$4^{x+1}−32=0$

Responda: $\frac{3}{2}$

52)$3^{x/14}=\frac{1}{10}$

53)$10^x=7.21$

Responda: $\log 7.21$

54)$4⋅2^{3x}−20=0$

55)$7^{3x−2}=11$

Responda: $\frac{2}{3}+\frac{\log 11}{3\log 7}$

Nos exercícios 56 a 63, resolva a equação logarítmica exatamente, se possível.

(56)$\log_3 x=0$

57)$\log_5 x=−2$

Responda: $x=\frac{1}{25}$

(58)$\log_4(x+5)=0$

(59)$\log(2x−7)=0$

Responda: $x=4$

60)$\ln\sqrt{x+3}=2$

61)$\log_6(x+9)+\log_6 x=2$

Responda: $x=3$

62)$\log_4(x+2)−\log_4(x−1)=0$

63)$\ln x+\ln(x−2)=\ln 4$

Responda: $1+\sqrt{5}$

Nos exercícios 64 a 69, use a fórmula de mudança de base e base$10$ ou base$e$ para avaliar as expressões dadas. Responda na forma exata e na forma aproximada, arredondando para quatro casas decimais.

64)$\log_5 47$

65)$\log_7 82$

Responda: $\dfrac{\log 82}{\log 7}≈2.2646$

66)$\log_6 103$

67)$\log_{0.5}211$

Responda: $\dfrac{\log 211}{\log 0.5}≈−7.7211$

68)$\log_2 π$

69)$\log_{0.2}0.452$

Responda: $\dfrac{\log 0.452}{\log 0.2}≈0.4934$

70) Reescreva as seguintes expressões em termos de exponenciais e simplifique.

a.$2\cosh(\ln x)$ b.$\cosh 4x+\sinh 4x$ c.$\cosh 2x−\sinh 2x$ d.$\ln(\cosh x+\sinh x)+\ln(\cosh x−\sinh x)$

71) [T] O número de bactérias$N$ em uma cultura após$t$ dias pode ser modelado pela função$N(t)=1300⋅(2)^{t/4}$. Encontre o número de bactérias presentes após$15$ dias.

Responda: $\sim 17,491$

72) [T] A demanda$D$ (em milhões de barris) por petróleo em um país rico em petróleo é dada pela função$D(p)=150⋅(2.7)^{−0.25p}$, onde$p$ está o preço (em dólares) de um barril de petróleo. Encontre a quantidade de petróleo exigida (até o milhão de barris mais próximo) quando o preço estiver entre $15 e $20.

73) [T] O valor$A$ de um investimento de $100.000 pago continuamente e composto por t anos é dado por$A(t)=100,000⋅e^{0.055t}$. Encontre o valor$A$ acumulado em$5$ anos.

Responda: Aproximadamente $131.653 são acumulados em 5 anos.

74) [T] Um investimento é composto mensal, trimestral ou anual e é dado pela função$A=P\left(1+\frac{j}{n}\right)^{nt}$, onde$A$ é o valor do investimento no momento$t$,$P$ é o princípio inicial que foi investido,$j$ é a taxa de juros anual e$n$ é o número de tempo os juros são compostos por ano. Dada uma taxa de juros anual de 3,5% e um princípio inicial de $100.000, determine o valor$A$ acumulado em 5 anos para juros compostos a. diariamente, b., mensalmente, c. trimestralmente e d. anual.

75) [T] A concentração de íons de hidrogênio em uma substância é indicada por$[H+]$, medida em moles por litro. O pH de uma substância é definido pela função logarítmica$pH=−\log[H+]$. Essa função é usada para medir a acidez de uma substância. O pH da água é 7. Uma substância com pH menor que 7 é um ácido, enquanto uma que tem um pH superior a 7 é uma base.

a. Determine o pH das seguintes substâncias. Respostas arredondadas para um dígito.

b. Determine se a substância é um ácido ou uma base.

i. Ovos:$[H+]=1.6×10^{−8}$ mol/L

ii. Cerveja:$[H+]=3.16×10^{−3}$ mol/L

iii. Suco de tomate:$[H+]=7.94×10^{−5}$ mol/L

Responda: i. a. pH = 8 b. Base
ii. a. pH = 3 b. Ácido
iii. a. pH = 4 b. Ácido

76) [T] O iodo-131 é uma substância radioativa que decai de acordo com a função$Q(t)=Q_0⋅e^{−0.08664t}$, onde$Q_0$ é a quantidade inicial de uma amostra da substância e$t$ é em dias. Determine quanto tempo leva (até o dia mais próximo) para que 95% de uma quantidade se decomponha.

77) [T] De acordo com o Banco Mundial, no final de 2013,$(t=0)$ a população dos EUA era de 316 milhões e estava aumentando de acordo com o seguinte modelo:

\[P(t)=316e^{0.0074t}, \nonumber \]

onde$P$ é medido em milhões de pessoas e$t$ é medido em anos após 2013.

a. Com base nesse modelo, qual será a população dos Estados Unidos em 2020?

b. Determine quando a população dos EUA será o dobro do que é em 2013.

Responda: a.$\sim 333$ milhão
b. 94 anos a partir de 2013, ou em 2107

78) [T] O valor$A$ acumulado após o investimento de$1000$ dólares por$t$ anos a uma taxa de juros de 4% é modelado pela função$A(t)=1000(1.04)^t$.

a. Encontre o valor acumulado após$5$ anos e$10$ anos.

b. Determine quanto tempo leva para o investimento original triplicar.

79) [T] Sabe-se que uma colônia bacteriana cultivada em laboratório dobra em número em$12$ horas. Suponha, inicialmente, que haja$1000$ bactérias presentes.

a. Use a função exponencial$Q=Q_0e^{kt}$ para determinar o valor$k$, que é a taxa de crescimento da bactéria. Arredonde para quatro casas decimais.

b. Determine aproximadamente quanto tempo é necessário para que$200,000$ as bactérias cresçam.

Responda: a.$k≈0.0578$
b. ≈$92$ horas

80) [T] A população de coelhos em uma reserva de caça dobra a cada$6$ mês. Suponha que inicialmente houvesse$120$ coelhos.

a. Use a função exponencial$P=P_0a^t$ para determinar a constante da taxa de crescimento$a$. Arredonde para quatro casas decimais.

b. Use a função na parte a. para determinar aproximadamente quanto tempo a população de coelhos leva para atingir 3500.

81) [T] O terremoto de 1906 em San Francisco teve uma magnitude de 8,3 na escala Richter. Ao mesmo tempo, no Japão, um terremoto de magnitude 4,9 causou apenas pequenos danos. Aproximadamente, quanto mais energia foi liberada pelo terremoto de São Francisco do que pelo terremoto japonês?

Responda: O terremoto de São Francisco teve$10^{3.4}$ ou$\sim 2512$ vezes mais energia do que o terremoto no Japão.

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