2.4E: Exercícios para a Seção 2.4

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Para os exercícios 1 a 8, determine o (s) ponto (s), se houver, nos quais cada função é descontínua. Classifique qualquer descontinuidade como salto, removível, infinita ou outra.

1)$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

Resposta: A função é definida para todos$x$ no intervalo$(0,∞)$.

2)$f(x)=\dfrac{2}{x^2+1}$

3)$f(x)=\dfrac{x}{x^2−x}$

Resposta: Descontinuidade removível em$x=0$; descontinuidade infinita em$x=1$.

4)$g(t)=t^{−1}+1$

5)$f(x)=\dfrac{5}{e^x−2}$

Resposta: Descontinuidade infinita em$x=\ln 2$

6)$f(x)=\dfrac{|x−2|}{x−2}$

7)$H(x)=\tan 2x$

Resposta: Descontinuidades infinitas em$x=\dfrac{(2k+1)π}{4}$, para$k=0,\,±1,\,±2,\,±3,\,…$

8)$f(t)=\dfrac{t+3}{t^2+5t+6}$

Para os exercícios 9 a 14, decida se a função é contínua no ponto determinado. Se for descontínuo, que tipo de descontinuidade é?

9)$\dfrac{2x^2−5x+3}{x−1}$ em$x=1$

Resposta: Não. É uma descontinuidade removível.

10)$h(θ)=\dfrac{\sin θ−\cos θ}{\tan θ}$ em$θ=π$

11)$g(u)=\begin{cases}\dfrac{6u^2+u−2}{2u−1}, & \text{if }u≠ \frac{1}{2} \\ \frac{7}{2}, & \text{if }u= \frac{1}{2} \end{cases}$, em$u=\frac{1}{2}$

Resposta: Sim. É contínuo.

12)$f(y)=\dfrac{\sin(πy)}{\tan(πy)}$, em$y=1$

13)$f(x)=\begin{cases}x^2−e^x, & \text{if } x<0\\x−1, & \text{if }x≥0\end{cases}$, em$x=0$

Resposta: Sim. É contínuo.

14)$f(x)=\begin{cases}x\sin(x), & \text{if }x≤π\\ x\tan(x), & \text{if }x>π\end{cases}$, em$x=π$

Nos exercícios 15 a 19, determine o (s) valor (es)$k$ que torna cada função contínua ao longo do intervalo determinado.

15)$f(x)=\begin{cases}3x+2, & \text{if }x<k\\2x−3, & \text{if }k≤x≤8\end{cases}$

Resposta: $k=−5$

16)$f(θ)=\begin{cases}\sin θ, & \text{if }0≤θ<\frac{π}{2}\\ \cos(θ+k), & \text{if }\frac{π}{2}≤θ≤π\end{cases}$

17)$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+3x+2}{x+2}, & \text{if }x≠−2\\ k, & \text{if }x=−2\end{cases}$

Resposta: $k=−1$

18)$f(x)=\begin{cases}e^{kx}, & \text{if }0≤x<4\\x+3, & \text{if }4≤x≤8\end{cases}$

19)$f(x)=\begin{cases}\sqrt{kx}, & \text{if }0≤x≤3\\x+1, & \text{if }3<x≤10\end{cases}$

Resposta: $k=\frac{16}{3}$

Nos exercícios 20 a 21, use o Teorema do Valor Intermediário (IVT).

20)$h(x)=\begin{cases}3x^2−4, & \text{if }x≤2\\5+4x, & \text{if }x>2\end{cases}$ Salve o intervalo$[0,4]$, não há valor de$x$ tal que$h(x)=10$, embora$h(0)<10$$h(4)>10$ e. Explique por que isso não contradiz o IVT.

21) Uma partícula que se move ao longo de uma linha por tempo$t$ tem uma função de posição$s(t)$, que é contínua. Suponha$s(2)=5$$s(5)=2$ e. Outra partícula se move de tal forma que sua posição é dada por$h(t)=s(t)−t$. Explique por que deve haver um valor$c$ para$2<c<5$ isso$h(c)=0$.

Resposta: Como ambos$s$$y=t$ são contínuos em todos os lugares, então$h(t)=s(t)−t$ são contínuos em todos os lugares e, em particular, são contínuos no intervalo fechado [$2,5$]. Além disso,$h(2)=3>0$$h(5)=−3<0$ e. Portanto, pelo IVT, existe um valor$x=c$ tal que$h(c)=0$.

22) [T] Use a declaração “O cosseno de$t$ é igual ao$t$ cubo”.

a. Escreva uma equação matemática da afirmação.

b. Prove que a equação na parte a. tem pelo menos uma solução real.

c. Use uma calculadora para encontrar um intervalo de comprimento$0.01$ que contenha uma solução.

23) Aplique o IVT para determinar se$2^x=x^3$ tem uma solução em um dos intervalos [$1.25,1.375$] ou [$1.375,1.5$]. Explique brevemente sua resposta para cada intervalo.

Resposta: A função$f(x)=2^x−x^3$ é contínua ao longo do intervalo [$1.25,1.375$] e tem sinais opostos nas extremidades.

24) Considere o gráfico da função$y=f(x)$ mostrado no gráfico a seguir.

$Um diagrama ilustrando o teorema do valor intermediário. Há uma função curva contínua genérica mostrada no intervalo [a, b]. Os pontos fa. e fb. são marcados e as linhas pontilhadas são desenhadas de a, b, fa. e fb. até os pontos (a, fa.) e (b, fb.). Um terceiro ponto, c, é traçado entre a e b. Como a função é contínua, há um valor para fc. ao longo da curva, e uma linha é desenhada de c para (c, fc.) e de (c, fc.) para fc., que é rotulada como z no eixo y.$

a. Encontre todos os valores para os quais a função é descontínua.

b. Para cada valor na parte a., indique por que a definição formal de continuidade não se aplica.

c. Classifique cada descontinuidade como pular, removível ou infinita.

25) Deixe$f(x)=\begin{cases}3x, & \text{if }x>1\\ x^3, & \text{if }x<1\end{cases}$.

a. Esboce o gráfico de$f$.

b. É possível encontrar um valor$k$ como esse$f(1)=k$, o que torna$f(x)$ contínuo para todos os números reais? Explique brevemente.

Resposta

uma.

Um gráfico de uma determinada função por partes contendo dois segmentos. O primeiro, x^3, existe para x < 1 e termina com um círculo aberto em (1,1). O segundo, 3x, existe para x 1. Ele começa com um círculo aberto em (1,3)." style="width: 423px; height: 431px;" width="423px" height="431px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_202.jpeg">

b. Não é possível redefinir,$f(1)$ pois a descontinuidade é uma descontinuidade de salto.

26) Deixe$f(x)=\dfrac{x^4−1}{x^2−1}$ por$x≠−1,1$.

a. Esboce o gráfico de$f$.

b. É possível encontrar valores$k_1$ e$k_2$ tais que e$f(1)=k_2$,$f(−1)=k$ e isso torna$f(x)$ contínuo para todos os números reais? Explique brevemente.

27) Esboce o gráfico da função$y=f(x)$ com as propriedades i. a vii.

i. O domínio de$f$ is ($−∞,+∞$).

ii. $f$tem uma descontinuidade infinita em$x=−6$.

iii. $f(−6)=3$

iv. $\displaystyle \lim_{x→−3^−}f(x)=\lim_{x→−3^+}f(x)=2$

v.$f(−3)=3$

vi. $f$é deixado contínuo, mas não contínuo à direita em$x=3$.

vii. $\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=−∞$e$\displaystyle \lim_{x→+∞}f(x)=+∞$

Resposta

As respostas podem variar; veja o exemplo a seguir:

3." style="width: 419px; height: 422px;" width="419px" height="422px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_207.jpeg">

28) Esboce o gráfico da função$y=f(x)$ com as propriedades i. a iv.

i. O domínio de$f$ é [$0,5$].

ii. $\displaystyle \lim_{x→1^+}f(x)$e$\displaystyle \lim_{x→1^−}f(x)$ existem e são iguais.

iii. $f(x)$é esquerda contínua, mas não contínua em$x=2$, e direita contínua, mas não contínua em$x=3$.

iv. $f(x)$tem uma descontinuidade removível em$x=1$, uma descontinuidade de salto em$x=2$, e os seguintes limites são válidos:$\displaystyle \lim_{x→3^−}f(x)=−∞$$\displaystyle \lim_{x→3^+}f(x)=2$ e.

Nos exercícios 29 a 30, a$y=f(x)$ suposição é definida para todos$x$. Para cada descrição, desenhe um gráfico com a propriedade indicada.

29) Descontínuo$x=1$ com$\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)=−1$ e$\displaystyle \lim_{x→2}f(x)=4$

Resposta

As respostas podem variar; veja o exemplo a seguir:

O gráfico de uma função por partes com duas partes. A primeira parte é uma curva crescente que existe para x < 1. Ele termina em (1,1). A segunda parte é uma linha crescente que existe para x 1. Começa em (1,3)." style="width: 423px; height: 431px;" width="423px" height="431px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_205.jpeg">

30) Descontínuo em$x=2$, mas contínuo em outros lugares com$\displaystyle \lim_{x→0}f(x)=\frac{1}{2}$

Determine se cada uma das afirmações dadas é verdadeira. Justifique sua resposta com uma explicação ou um contra-exemplo.

31)$f(t)=\dfrac{2}{e^t−e^{−t}}$ é contínuo em todos os lugares.

Resposta: Falso. É contínuo sobre ($−∞,0$) ($0,∞$).

32) Se os limites esquerdo e direito de$f(x)$ as$x→a$ existem e são iguais, então$f$ não podem ser descontínuos em$x=a$.

33) Se uma função não for contínua em um ponto, ela não será definida nesse ponto.

Resposta: Falso. Considere$f(x)=\begin{cases}x, & \text{if }x≠0\\ 4, & \text{if }x=0\end{cases}$.

34) De acordo com o IVT,$\cos x−\sin x−x=2$ tem uma solução ao longo do intervalo [$−1,1$].

35) Se$f(x)$ é contínuo de tal forma que$f(a)$ e$f(b)$ tem sinais opostos, então$f(x)=0$ tem exatamente uma solução em [$a,b$].

Resposta: Falso. Considere$f(x)=\cos(x)$ em [$−π,2π$].

36) A função$f(x)=\dfrac{x^2−4x+3}{x^2−1}$ é contínua ao longo do intervalo [$0,3$].

37) Se$f(x)$ é contínuo em todos os lugares e$f(a),f(b)>0$, então, não há raiz de$f(x)$ no intervalo [$a,b$].

Resposta: Falso. O IVT não funciona ao contrário! Considere$(x−1)^2$ ao longo do intervalo [$−2,2$].

[T] Os problemas a seguir consideram a forma escalar da lei de Coulomb, que descreve a força eletrostática entre cargas de dois pontos, como elétrons. É dado pela equação$F(r)=k_e\dfrac{|q_1q_2|}{r^2}$, onde$k_e$ é a constante de Coulomb,$q_i$ são as magnitudes das cargas das duas partículas e$r$ é a distância entre as duas partículas.

38) Para simplificar o cálculo de um modelo com muitas partículas interagindo, após algum valor limite$r=R$,$F$ aproximamos zero.

a. Explique o raciocínio físico por trás dessa suposição.

b. O que é a equação da força?

c. Avalie a força$F$ usando a lei de Coulomb e nossa aproximação, assumindo que dois prótons com uma magnitude de carga de$1.6022×10^{−19}$ coulombs (C) e a constante de Coulomb$k_e=8.988×10^9Nm^2/C^2$ estão separados por 1 m. Além disso, suponha que$R<1$ m. Quanta imprecisão nossa aproximação gera? Nossa aproximação é razoável?

d. Existe algum valor finito de R para o qual esse sistema permaneça contínuo em R?

39) Em vez de fazer a força$0$ agir$R$, deixamos que a força seja$10−20$ para$r≥R$. Suponha dois prótons, que têm uma magnitude de carga$1.6022×10^{−19}\;C$, e a constante de Coulomb$k_e=8.988×10^9\;Nm^2/C^2$. Existe algum valor$R$ que possa tornar esse sistema contínuo? Se sim, encontre-o.

Resposta: $R=0.0001519$m

Relembre a discussão sobre naves espaciais na abertura do capítulo. Os problemas a seguir consideram o lançamento de um foguete da superfície da Terra. A força da gravidade no foguete é dada por$F(d)=−mk/d^2$, onde m é a massa do foguete,$d$ é a distância do foguete do centro da Terra e$k$ é uma constante.

40) [T] Determine o valor e as unidades,$k$ dado que a massa do foguete na Terra é de 3 milhões de kg. (Dica: A distância do centro da Terra até sua superfície é de 6378 km.)

41) [T] Depois de uma certa distância$D$ ter passado, o efeito gravitacional da Terra se torna bastante insignificante, então podemos aproximar a função de força em$F(d)=\begin{cases}−\dfrac{mk}{d^2}, & \text{if }d<D\\ 10,000, & \text{if }d≥D\end{cases}$. Encontre a condição$D$ necessária para que a função de força permaneça contínua.

Resposta: $D=63.78$km

42) À medida que o foguete se afasta da superfície da Terra, há uma distância D em que o foguete perde parte de sua massa, já que não precisa mais do excesso de armazenamento de combustível. Podemos escrever essa função como$F(d)=\begin{cases} −\dfrac{m_1k}{d^2}, & \text{if }d<D \\ −\dfrac{m_2k}{d^2}, & \text{if }d≥D\end{cases}$. Existe um valor de$D$ tal que essa função seja contínua, supondo$m_1≠m_2$?

Nos exercícios 43 a 44, prove que cada função é contínua em todos os lugares.

43)$f(θ)=\sin θ$

Resposta: Para todos os valores de$a$,$f(a)$ está definido,$\displaystyle \lim_{θ→a}f(θ)$ existe$\displaystyle \lim_{θ→a}f(θ)=f(a)$ e. Portanto,$f(θ)$ é contínuo em todos os lugares.

44)$g(x)=|x|$

45) Onde é$f(x)=\begin{cases} 0, & \text{if } x \text{ is irrational}\\ 1, & \text{if }x\text{ is rational}\end{cases}$ contínuo?

Resposta: Em lugar nenhum