2.3: As leis de limite
- Reconheça as leis básicas de limite.
- Use as leis de limite para avaliar o limite de uma função.
- Avalie o limite de uma função fatorando.
- Use as leis de limite para avaliar o limite de uma função polinomial ou racional.
- Avalie o limite de uma função fatorando ou usando conjugados.
- Avalie o limite de uma função usando o teorema de compressão.
Na seção anterior, avaliamos os limites examinando gráficos ou construindo uma tabela de valores. Nesta seção, estabelecemos leis para calcular limites e aprendemos como aplicá-las. No Projeto Estudantil no final desta seção, você tem a oportunidade de aplicar essas leis de limite para derivar a fórmula para a área de um círculo, adaptando um método desenvolvido pelo matemático grego Arquimedes. Começamos reafirmando dois resultados de limite úteis da seção anterior. Esses dois resultados, junto com as leis de limites, servem como base para o cálculo de muitos limites.
Avaliando limites com as leis de limites
As duas primeiras leis de limite foram estabelecidas anteriormente e as repetimos aqui. Esses resultados básicos, junto com as outras leis de limite, nos permitem avaliar os limites de muitas funções algébricas.
Para qualquer número reala e qualquer constantec,
- limx→ax=a
- limx→ac=c
Avalie cada um dos limites a seguir usando “Resultados de limite básicos”.
- limx→2x
- limx→25
Solução
- O limite dex conformex sea aproxima éa:limx→2x=2.
- O limite de uma constante é aquela constante:limx→25=5.
Agora vamos dar uma olhada nas leis de limites, nas propriedades individuais dos limites. As provas que essas leis sustentam são omitidas aqui.
Deixef(x) eg(x) seja definido para tudox≠a em algum intervalo aberto contendoa. LSuponha queM sejam números reais comolimx→af(x)=Llimx→ag(x)=M e. cSeja uma constante. Então, cada uma das seguintes afirmações é válida:
- Lei de soma para limites:
limx→a(f(x)+g(x))=limx→af(x)+limx→ag(x)=L+M
- Lei de diferença para limites:
limx→a(f(x)−g(x))=limx→af(x)−limx→ag(x)=L−M
- Lei múltipla constante para limites:
limx→acf(x)=c⋅limx→af(x)=cL
- Lei de produtos para limites:
limx→a(f(x)⋅g(x))=limx→af(x)⋅limx→ag(x)=L⋅M
- Lei do quociente para limites:
limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=LM
paraM≠0.
- Lei de potência para limites:
limx→a(f(x))n=(limx→af(x))n=Ln
para cada número inteiro positivon.
- Lei raiz para limites:
limx→an√f(x)=n√limx→af(x)=n√L
para todosL,n é estranho e paraL≥0 sen é par.
Agora praticamos a aplicação dessas leis de limite para avaliar um limite.
Use as leis de limite para avaliarlimx→−3(4x+2).
Solução
Vamos aplicar as leis de limite uma etapa de cada vez para ter certeza de que entendemos como elas funcionam. Precisamos ter em mente a exigência de que, em cada aplicação de uma lei de limites, os novos limites devem existir para que a lei de limites seja aplicada.
limx→−3(4x+2)=limx→−34x+limx→−32Apply the sum law.=4⋅limx→−3x+limx→−32Apply the constant multiple law.=4⋅(−3)+2=−10.Apply the basic limit results and simplify.
Use as leis de limite para avaliarlimx→22x2−3x+1x3+4.
Solução
Para encontrar esse limite, precisamos aplicar as leis de limite várias vezes. Novamente, precisamos ter em mente que, ao reescrevermos o limite em termos de outros limites, cada novo limite deve existir para que a lei de limites seja aplicada.
\ [\ begin {align*}\ lim_ {x→2}\ frac {2x^2−3x+1} {x^3+4} &=\ frac {\ displaystyle\ lim_ {x→2} (2x^2−3x+1)} {\ displaystyle\ lim_ {x→2} (x^3+4)} & &\ text {Aplicar a cota lei, certifique-se de que} (2) ^3+4△ 0.\\ [4pt]
&=\ frac {\ displaystyle 2‣\ lim_ {x→2} x^2−3△\ lim_ {x→2} x+\ lim_ {x→2} 1} {\ displaystyle\ lim_ {x→ 2} x^3+\ lim_ {x→2} 4} & &\ text {Aplique a lei da soma e a lei múltipla constante.}\\ [4pt]
&=\ frac {\ displaystyle 2:02\ left (\ lim_ {x→2} x\ right) ^2−3\ lim_ {x→2} x+\ lim_ {x→2} 1} {\ displaystyle\ left (\ lim_ {x→2} x\ right) ^3+\ lim_ {x→2} 4} & &\ text {Aplique a lei de potência.}\\ [4pt]
&=\ frac {2 (4) −3 (2) +1} {(2) ^3+4} =\ frac {1} {4}. & &\ text {Aplique as leis básicas de limite e simplifique.} \ end {align*}\]
Use as leis de limite para avaliarlimx→6(2x−1)√x+4. Em cada etapa, indique a lei de limite aplicada.
- Dica
-
Comece aplicando a lei do produto.
- Responda
-
11√10
Técnicas adicionais de avaliação de limites
Como vimos, podemos avaliar facilmente os limites dos polinômios e os limites de algumas (mas não de todas) funções racionais por substituição direta. No entanto, como vimos na seção introdutória sobre limites, certamente élimx→af(x) possível existir quandof(a) está indefinido. A observação a seguir nos permite avaliar muitos limites desse tipo:
Se for para todosx≠a,f(x)=g(x) em algum intervalo aberto contendoa, então
limx→af(x)=limx→ag(x).
Para entender melhor essa ideia, considere o limitelimx→1x2−1x−1.
A função
f(x)=x2−1x−1=(x−1)(x+1)x−1
e a funçãog(x)=x+1 é idêntica para todos os valores dex≠1. Os gráficos dessas duas funções são mostrados na Figura2.3.1.

Nós vemos isso
limx→1x2−1x−1=limx→1(x−1)(x+1)x−1=limx→1(x+1)=2.
O limite tem a formalimx→af(x)/g(x), ondelimx→af(x)=0limx→ag(x)=0 e. (Nesse caso, dizemos quef(x)/g(x) tem a forma indeterminada0/0.) A estratégia de resolução de problemas a seguir fornece um esboço geral para avaliar limites desse tipo.
- Primeiro, precisamos garantir que nossa função tenha a forma apropriada e não possa ser avaliada imediatamente usando as leis de limite.
- Em seguida, precisamos encontrar uma função que seja igual ah(x)=f(x)/g(x) for allx≠a em algum intervalo contendo a. Para fazer isso, talvez precisemos tentar uma ou mais das seguintes etapas:
- Sef(x) eg(x) forem polinômios, devemos fatorar cada função e cancelar quaisquer fatores comuns.
- Se o numerador ou denominador contiver uma diferença envolvendo uma raiz quadrada, devemos tentar multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado da expressão envolvendo a raiz quadrada.
- Sef(x)/g(x) for uma fração complexa, começamos por simplificá-la.
- Por fim, aplicamos as leis de limite.
Os próximos exemplos demonstram o uso dessa estratégia de solução de problemas. O exemplo2.3.4 ilustra a técnica de fatorar e cancelar; o exemplo2.3.5 mostra a multiplicação por um conjugado. No exemplo2.3.6, analisamos a simplificação de uma fração complexa.
Avalielimx→3x2−3x2x2−5x−3.
Solução
Etapa 1. A funçãof(x)=x2−3x2x2−5x−3 é indefinida parax=3. Na verdade, se substituirmos 3 na função que obtemos0/0, que é indefinida. Fatorar e cancelar é uma boa estratégia:
limx→3x2−3x2x2−5x−3=limx→3x(x−3)(x−3)(2x+1)
Etapa 2. Para todosx≠3,x2−3x2x2−5x−3=x2x+1. Portanto,
limx→3x(x−3)(x−3)(2x+1)=limx→3x2x+1.
Etapa 3. Avalie usando as leis de limite:
limx→3x2x+1=37.
Avalielimx→−3x2+4x+3x2−9.
- Dica
-
Siga as etapas da estratégia de solução de problemas
- Responda
-
13
Avalielimx→−1√x+2−1x+1.
Solução
Etapa 1. √x+2−1x+1tem a forma0/0 em −1. Vamos começar multiplicando por√x+2+1, o conjugado de√x+2−1, no numerador e no denominador:
limx→−1√x+2−1x+1=limx→−1√x+2−1x+1⋅√x+2+1√x+2+1.
Etapa 2. Em seguida, multiplicamos o numerador. Não multiplicamos o denominador porque esperamos que o valor(x+1) no denominador seja cancelado no final:
=limx→−1x+1(x+1)(√x+2+1).
Etapa 3. Em seguida, cancelamos:
=limx→−11√x+2+1.
Etapa 4. Por fim, aplicamos as leis de limite:
limx→−11√x+2+1=12.
Avalielimx→5√x−1−2x−5.
- Dica
-
Siga as etapas da estratégia de solução de problemas
- Responda
-
14
Avalielimx→11x+1−12x−1.
Solução
Etapa 1. 1x+1−12x−1tem o formulário0/0 em 1. Simplificamos a fração algébrica multiplicando por2(x+1)/2(x+1):
limx→11x+1−12x−1=limx→11x+1−12x−1⋅2(x+1)2(x+1).
Etapa 2. Em seguida, multiplicamos por meio dos numeradores. Não multiplique os denominadores porque queremos poder cancelar o fator(x−1):
=limx→12−(x+1)2(x−1)(x+1).
Etapa 3. Em seguida, simplificamos o numerador:
=limx→1−x+12(x−1)(x+1).
Etapa 4. Agora, calculamos −1 do numerador:
=limx→1−(x−1)2(x−1)(x+1).
Etapa 5. Em seguida, cancelamos os fatores comuns de(x−1):
=limx→1−12(x+1).
Etapa 6. Por fim, avaliamos usando as leis de limite:
limx→1−12(x+1)=−14.
Avalielimx→−31x+2+1x+3.
- Dica
-
Siga as etapas da estratégia de solução de problemas
- Responda
-
−1
2.3.7O exemplo não se encaixa perfeitamente em nenhum dos padrões estabelecidos nos exemplos anteriores. No entanto, com um pouco de criatividade, ainda podemos usar essas mesmas técnicas.
Avalielimx→0(1x+5x(x−5)).
Solução:
Ambos1/x e5/x(x−5) não conseguem ter um limite em zero. Como nenhuma das duas funções tem um limite em zero, não podemos aplicar a lei da soma para limites; devemos usar uma estratégia diferente. Nesse caso, encontramos o limite realizando a adição e aplicando uma de nossas estratégias anteriores. Observe que
1x+5x(x−5)=x−5+5x(x−5)=xx(x−5).
Assim,
limx→0(1x+5x(x−5))=limx→0xx(x−5)=limx→01x−5=−15.
Avalielimx→3(1x−3−4x2−2x−3).
- Dica
-
Use a mesma técnica do Example2.3.7. Não se esqueça de considerarx2−2x−3 antes de obter um denominador comum.
- Responda
-
14
Vamos agora rever os limites unilaterais. Modificações simples nas leis de limites nos permitem aplicá-las a limites unilaterais. Por exemplo, para aplicar as leis de limite a um limite do formuláriolimx→a−h(x), exigimos queh(x) a função seja definida em um intervalo aberto do formulário(b,a); para um limite do formuláriolimx→a+h(x), exigimos queh(x) a função seja definida em um intervalo aberto do formulário(a,c). O exemplo2.3.8A ilustra esse ponto.
Avalie cada um dos limites a seguir, se possível.
- limx→3−√x−3
- limx→3+√x−3
Solução
A figura2.3.2 ilustra a funçãof(x)=√x−3 e ajuda na nossa compreensão desses limites.

a. A funçãof(x)=√x−3 é definida ao longo do intervalo[3,+∞). Como essa função não está definida à esquerda de 3, não podemos aplicar as leis de limite para calcularlimx→3−√x−3. Na verdade, uma vez quef(x)=√x−3 é indefinido à esquerda de 3,limx→3−√x−3 não existe.
b. Uma vez quef(x)=√x−3 é definido à direita de 3, as leis de limite se aplicamlimx→3+√x−3 a. Ao aplicar essas leis de limite, obtemoslimx→3+√x−3=0.
No exemplo,2.3.8B examinamos os limites unilaterais de uma função definida por partes e usamos esses limites para tirar uma conclusão sobre um limite bilateral da mesma função.
Paraf(x)={4x−3,ifx<2(x−3)2,ifx≥2, avalie cada um dos seguintes limites:
- limx→2−f(x)
- limx→2+f(x)
- limx→2f(x)
Solução
A figura2.3.3 ilustra a funçãof(x) e ajuda na nossa compreensão desses limites.
a. Uma vez que,f(x)=4x−3 para todosx(−∞,2),f(x) substitua o limite por4x−3 e aplique as leis de limite:
limx→2−f(x)=limx→2−(4x−3)=5
b. Uma vez que,f(x)=(x−3)2 para todosx(2,+∞),f(x) substitua o limite por(x−3)2 e aplique as leis de limite:
limx→2+f(x)=limx→2−(x−3)2=1.
c. Desdelimx→2−f(x)=5 elimx→2+f(x)=1, concluímos que issolimx→2f(x) não existe.
Faça um gráficof(x)={−x−2,ifx<−12,ifx=−1x3,ifx>−1 e avalielimx→−1−f(x).
- Dica
-
Use o método em Exemplo2.3.8B para avaliar o limite.
- Responda
-
-1, que cruzou o eixo x e o eixo y na origem." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_03_004.jpeg">
limx→−1−f(x)=−1
Agora voltamos nossa atenção para avaliar um limite do formuláriolimx→af(x)g(x), ondelimx→af(x)=K, ondeK≠0limx→ag(x)=0 e. Ou seja,f(x)/g(x) tem o formulárioK/0,K≠0 ema.
Avalielimx→2−x−3x2−2x.
Solução
Etapa 1. Depois de substituirx=2, vemos que esse limite tem a forma−1/0. Ou seja, à medida quex se aproxima2 da esquerda, o numerador se aproxima−1; e o denominador se aproxima0. Consequentemente, a magnitude dex−3x(x−2) se torna infinita. Para ter uma ideia melhor de qual é o limite, precisamos fatorar o denominador:
limx→2−x−3x2−2x=limx→2−x−3x(x−2)
Etapa 2. Comox−2 é a única parte do denominador que é zero quando 2 é substituído, então nos separamos1/(x−2) do resto da função:
=limx→2−x−3x⋅1x−2
Etapa 3. Usando as Leis de Limite, podemos escrever:
=(limx→2−x−3x)⋅(limx→2−1x−2).
Etapa 4. limx→2−x−3x=−12limx→2−1x−2=−∞e. Portanto, o produto de(x−3)/x e1/(x−2) tem um limite de+∞:
limx→2−x−3x2−2x=+∞.
Avalielimx→1x+2(x−1)2.
- Solução
-
Use os métodos do Example2.3.9.
- Responda
-
+∞
O teorema de Squeeze
As técnicas que desenvolvemos até agora funcionam muito bem para funções algébricas, mas ainda não conseguimos avaliar os limites de funções trigonométricas muito básicas. O próximo teorema, chamado de teorema de compressão, se mostra muito útil para estabelecer limites trigonométricos básicos. Esse teorema nos permite calcular limites “comprimindo” uma função, com um limite em um pontoa desconhecido, entre duas funções com um limite conhecido comum ema. A figura2.3.4 ilustra essa ideia.

Sejaf(x),g(x), eh(x) seja definido para tudox≠a em um intervalo aberto contendoa. Se
f(x)≤g(x)≤h(x)
para todosx≠a em um intervalo aberto contendoa e
limx→af(x)=L=limx→ah(x)
ondeL está um número real, entãolimx→ag(x)=L.
Aplique o teorema da compressão para avaliarlimx→0xcosx.
Solução
Porque,−1≤cosx≤1 para todosx, temos−x≤xcosx≤x parax≥0 e−x≥xcosx≥x parax≤0 (sex for negativo, a direção das desigualdades muda quando multiplicamos). limx→0(−x)=0=limx→0xPois, a partir do teorema da compressão, obtemoslimx→0xcosx=0. Os gráficos def(x)=−x,g(x)=xcosx, eh(x)=x são mostrados na Figura2.3.5.
Use o teorema da compressão para avaliarlimx→0x2sin1x.
- Dica
-
Use o fato de que−x2≤x2sin(1/x)≤x2 para ajudá-lo a encontrar duas funções quex2sin(1/x) estejam espremidas entre elas.
- Responda
-
0
Agora usamos o teorema da compressão para abordar vários limites muito importantes. Embora essa discussão seja um pouco longa, esses limites são inestimáveis para o desenvolvimento do material na próxima seção e no próximo capítulo. O primeiro desses limites é\displaystyle \lim_{θ→0}\sin θ. Considere o círculo unitário mostrado na Figura\PageIndex{6}. Na figura, vemos que\sin θ é ay coordenada -no círculo unitário e corresponde ao segmento de linha mostrado em azul. A medida radiana do ânguloθ é o comprimento do arco que ele subtende no círculo unitário. Portanto, vemos que, pois0<θ<\dfrac{π}{2}, temos0<\sin θ<θ.

Porque\displaystyle \lim_{θ→0^+}0=0 e\displaystyle \lim_{x→0^+}θ=0, usando o teorema da compressão, concluímos que
\lim_{θ→0^+}\sin θ=0.\nonumber
Para ver isso\displaystyle \lim_{θ→0^−}\sin θ=0 também, observe isso por−\dfrac{π}{2}<θ<0,0<−θ<\dfrac{π}{2} e, portanto,0<\sin(−θ)<−θ. Consequentemente,0<−\sin θ<−θ. Daqui resulta isso0>\sin θ>θ. Uma aplicação do teorema da compressão produz o limite desejado. Assim, uma vez que\displaystyle \lim_{θ→0^+}\sin θ=0 e\displaystyle \lim_{θ→0^−}\sin θ=0,
\lim_{θ→0}\sin θ=0\nonumber
Em seguida, usando a identidade\cos θ=\sqrt{1−\sin^2θ} para−\dfrac{π}{2}<θ<\dfrac{π}{2}, vemos que
\lim_{θ→0}\cos θ=\lim_{θ→0}\sqrt{1−\sin^2θ}=1.\nonumber
Agora, examinamos um limite que desempenha um papel importante nos capítulos posteriores, a saber,\displaystyle \lim_{θ→0}\dfrac{\sin θ}{θ}. Para avaliar esse limite, usamos o círculo unitário na Figura\PageIndex{7}. Observe que esta figura adiciona um triângulo adicional à Figura\PageIndex{6}. Vemos que o comprimento do lado opostoθ nesse novo triângulo é\tan θ. Assim, vemos isso para0<θ<\dfrac{π}{2}, nós temos\sin θ<θ<\tanθ.

Ao dividir por\sin θ em todas as partes da desigualdade, obtemos
1<\dfrac{θ}{\sin θ}<\dfrac{1}{\cos θ}.\nonumber
Equivalentemente, temos
1>\dfrac{\sin θ}{θ}>\cos θ.\nonumber
Desde então\displaystyle \lim_{θ→0^+}1=1=\lim_{θ→0^+}\cos θ, concluímos que\displaystyle \lim_{θ→0^+}\dfrac{\sin θ}{θ}=1, pelo teorema da compressão. Ao aplicar uma manipulação semelhante à usada para demonstrar isso\displaystyle \lim_{θ→0^−}\sin θ=0, podemos mostrar isso\displaystyle \lim_{θ→0^−}\dfrac{\sin θ}{θ}=1. Assim,
\lim_{θ→0}\dfrac{\sin θ}{θ}=1. \nonumber
No exemplo\PageIndex{11}, usamos esse limite para estabelecer\displaystyle \lim_{θ→0}\dfrac{1−\cos θ}{θ}=0. Esse limite também se mostra útil em capítulos posteriores.
Avalie\displaystyle \lim_{θ→0}\dfrac{1−\cos θ}{θ}.
Solução
Na primeira etapa, multiplicamos pelo conjugado para que possamos usar uma identidade trigonométrica para converter o cosseno no numerador em um seno:
\ [\ begin {align*}\ lim_ {θ→0}\ dfrac {1−\ cos θ} {θ} &=\ estilo de exibição\ lim_ {θ→0}\ dfrac {1−\ cos θ} {θ},\ dfrac {1+\ cos θ} {1+\ cos θ}\\ [4pt]
&=\ lim_ {θ→0}\ dfrac {1−\ cos^2θ} {θ (1+\ cos θ)}\\ [4pt]
&=\ lim_ {θ→0}\ dfrac {\ sin^2θ} {θ (1+\ cos θ)}\\ [4pt]
&=\ lim_ {θ→0}\ dfrac {\ sin θ } {θ} ‣\ dfrac {\ sin θ} {1+\ cos θ}\\ [4pt]
&=\ left (\ lim_ {θ→0}\ dfrac {\ sin θ} {θ}\ direita)\ cdot\ left (\ lim_ {θ→0}\ dfrac {\ sin θ} {1+\ cos θ}\ direita)\\ [4pt]
= 12\ dfrac {0} {2} =0. \ end {align*}\]
Portanto,
\lim_{θ→0}\dfrac{1−\cos θ}{θ}=0. \nonumber
Avalie\displaystyle \lim_{θ→0}\dfrac{1−\cos θ}{\sin θ}.
- Dica
-
Multiplique o numerador e o denominador por1+\cos θ.
- Responda
-
0
Algumas das fórmulas geométricas que consideramos certas hoje foram derivadas pela primeira vez por métodos que antecipam alguns dos métodos de cálculo. O matemático grego Arquimedes (cerca de 287 a 212; a.C.) foi particularmente inventivo, usando polígonos inscritos em círculos para aproximar a área do círculo à medida que o número de lados do polígono aumentava. Ele nunca teve a ideia de um limite, mas podemos usar essa ideia para ver o que suas construções geométricas poderiam ter previsto sobre o limite.
Podemos estimar a área de um círculo computando a área de um polígono regular inscrito. Pense no polígono regular como sendo feito den triângulos. Ao considerar o limite conforme o ângulo do vértice desses triângulos vai para zero, você pode obter a área do círculo. Para ver isso, execute as seguintes etapas:
1. Expresse a alturah e a baseb do triângulo isósceles na Figura\PageIndex{8} em termos deθr e.

2. Usando as expressões que você obteve na etapa 1, expresse a área do triângulo isósceles em termos deθr e.
(Substitua\frac{1}{2}\sin θ por\sin\left(\frac{θ}{2}\right)\cos\left(\frac{θ}{2}\right) em sua expressão.)
3. Se um polígono regular den -face estiver inscrito em um círculo de raior, encontre uma relação entreθn e. Resolva isso paran. Lembre-se de que há2π radianos em um círculo. (Use radianos, não graus.)
4. Encontre uma expressão para a área don polígono lateral em termos derθ e.
5. Para encontrar uma fórmula para a área do círculo, encontre o limite da expressão na etapaθ 4 até zero. (Dica:\displaystyle \lim_{θ→0}\dfrac{\sin θ}{θ}=1).
A técnica de estimar áreas de regiões usando polígonos é revisitada em Introdução à Integração.
Conceitos chave
- As leis de limite nos permitem avaliar os limites das funções sem precisar passar por processos passo a passo a cada vez.
- Para polinômios e funções racionais,\lim_{x→a}f(x)=f(a). \nonumber
- Você pode avaliar o limite de uma função fatorando e cancelando, multiplicando por um conjugado ou simplificando uma fração complexa.
- O teorema da compressão permite que você encontre o limite de uma função se a função for sempre maior que uma função e menor que outra função com limites conhecidos.
Equações chave
- Limite básico de resultados
\lim_{x→a}x=a \quad \quad \lim_{x→a}c=c \nonumber
- Limites importantes
\lim_{θ→0}\sin θ=0 \nonumber
\lim_{θ→0}\cos θ=1 \nonumber
\lim_{θ→0}\dfrac{\sin θ}{θ}=1 \nonumber
\lim_{θ→0}\dfrac{1−\cos θ}{θ}=0 \nonumber
Glossário
- lei múltipla constante para limites
- a lei de limites\lim_{x→a}cf(x)=c⋅\lim_{x→a}f(x)=cL \nonumber
- lei de diferença para limites
- a lei de limites\lim_{x→a}(f(x)−g(x))=\lim_{x→a}f(x)−\lim_{x→a}g(x)=L−M\nonumber
- leis de limite
- as propriedades individuais dos limites; para cada uma das leis individuais, sejaf(x) eg(x) seja definido parax≠a todo o intervalo aberto contendo a; suponha que L e M sejam números reais, de modo que\lim_{x→a}f(x)=L e\lim_{x→a}g(x)=M; seja c uma constante
- lei de potência para limites
- a lei limite\lim_{x→a}(f(x))^n=(\lim_{x→a}f(x))^n=L^n\nonumber para cada número inteiro positivo n
- lei de produtos para limites
- a lei de limites\lim_{x→a}(f(x)⋅g(x))=\lim_{x→a}f(x)⋅\lim_{x→a}g(x)=L⋅M\nonumber
- lei do quociente para limites
- a lei de limite\lim_{x→a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim_{x→a}f(x)}{\lim_{x→a}g(x)}=\dfrac{L}{M} para M△ 0
- lei raiz para limites
- a lei limite\lim_{x→a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x→a}f(x)}=\sqrt[n]{L} para todo L se n for ímpar e paraL≥0 se n for par
- teorema de compressão
- afirma que se,f(x)≤g(x)≤h(x) para todos,x≠a em um intervalo aberto contendo a e\lim_{x→a}f(x)=L=\lim_ {x→a}h(x) onde L é um número real, então\lim_{x→a}g(x)=L
- lei de soma para limites
- A lei de limites\lim_{x→a}(f(x)+g(x))=\lim_{x→a}f(x)+\lim_{x→a}g(x)=L+M
Limites de funções polinomiais e racionais
Você provavelmente já percebeu que, em cada um dos exemplos anteriores, aconteceu quelimx→af(x)=f(a). Isso nem sempre é verdade, mas vale para todos os polinômios de qualquer escolha dea e para todas as funções racionais em todos os valoresa para os quais a função racional está definida.
Limites de funções polinomiais e racionais
Sejap(x) eq(x) seja funções polinomiais. aSeja um número real. Então,
limx→ap(x)=p(a)
limx→ap(x)q(x)=p(a)q(a)
quandoq(a)≠0.
Para ver se esse teorema é válido, considere o polinômio
p(x)=cnxn+cn−1xn−1+⋯+c1x+c0.
Ao aplicar as leis de soma, múltiplo constante e potência, acabamos com
limx→ap(x)=limx→a(cnxn+cn−1xn−1+⋯+c1x+c0)=cn(limx→ax)n+cn−1(limx→ax)n−1+⋯+c1(limx→ax)+limx→ac0=cnan+cn−1an−1+⋯+c1a+c0=p(a)
Agora decorre da lei do quociente que sep(x) eq(x) são polinômios para os quaisq(a)≠0,
depois
limx→ap(x)q(x)=p(a)q(a).
Exemplo2.3.3: Evaluating a Limit of a Rational Function
Avalielimx→32x2−3x+15x+4 o.
Solução
Como 3 está no domínio da função racionalf(x)=2x2−3x+15x+4, podemos calcular o limite substituindo 3 porx na função. Assim,
limx→32x2−3x+15x+4=1019.
Exercício2.3.3
Avalielimx→−2(3x3−2x+7).
Use LIMITES DE FUNÇÕES POLINOMIAIS E RACIONAIS como referência
−13