3.3E: Exercícios para a seção

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Nos exercícios 1 a 12, encontre$f'(x)$ para cada função.

1)$f(x)=x^7+10$

2)$f(x)=5x^3−x+1$

Responda: $f'(x)=15x^2−1$

3)$f(x)=4x^2−7x$

4)$f(x)=8x^4+9x^2−1$

Responda: $f'(x) = 32x^3+18x$

5)$f(x)=x^4+2x$

6)$f(x)=3x\left(18x^4+\dfrac{13}{x+1}\right)$

Responda: $f'(x) = 270x^4+\dfrac{39}{(x+1)^2}$

7)$f(x)=(x+2)(2x^2−3)$

8)$f(x)=x^2\left(\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}\right)$

Responda: $f'(x) = \dfrac{−5}{x^2}$

9)$f(x)=\dfrac{x^3+2x^2−4}{3}$

10)$f(x)=\dfrac{4x^3−2x+1}{x^2}$

Responda: $f'(x) = \dfrac{4x^4+2x^2−2x}{x^4}$

11)$f(x)=\dfrac{x^2+4}{x^2−4}$

12)$f(x)=\dfrac{x+9}{x^2−7x+1}$

Responda: $f'(x) = \dfrac{−x^2−18x+64}{(x^2−7x+1)^2}$

Nos exercícios 13 a 16, encontre a equação da reta tangente$T(x)$ ao gráfico da função dada no ponto indicado. Use uma calculadora gráfica para representar graficamente a função e a linha tangente.

13) [T]$y=3x^2+4x+1$ em$(0,1)$

14) [T]$y=2\sqrt{x}+1$ em$(4,5)$

Responda

$T(x)=\frac{1}{2}x+3$

$Este gráfico tem uma linha reta com intercepto y próximo de 0 e inclinação um pouco menor que 3.$

15) [T]$y=\dfrac{2x}{x−1}$ em$(−1,1)$

16) [T]$y=\dfrac{2}{x}−\dfrac{3}{x^2}$ em$(1,−1)$

Responda

$T(x)=4x−5$

$O gráfico y é um crescente com o crescente no terceiro quadrante inclinado suavemente de (−3, −1) para (−1, −5) e o outro crescente inclinado mais acentuadamente de (0,8, −5) para (3, 0,2). A linha reta T (x) é traçada através de (0, −5) com inclinação 4.$

Nos exercícios 17 a 20, suponha que$f(x)$ ambas$g(x)$ sejam funções diferenciáveis para todos$x$. Encontre a derivada de cada uma das funções$h(x)$.

17)$h(x)=4f(x)+\dfrac{g(x)}{7}$

18)$h(x)=x^3f(x)$

Responda: $h'(x)=3x^2f(x)+x^3f′(x)$

19)$h(x)=\dfrac{f(x)g(x)}{2}$

20)$h(x)=\dfrac{3f(x)}{g(x)+2}$

Responda: $h'(x)=\dfrac{3f′(x)(g(x)+2)−3f(x)g′(x)}{(g(x)+2)^2}$

Para os exercícios 21 a 24, suponha que$f(x)$ e$g(x)$ sejam ambas funções diferenciáveis com valores, conforme indicado na tabela a seguir. Use a tabela a seguir para calcular as derivadas a seguir.

$x$	1	2	3	4
$f(x)$	3	5	−2	0
$g(x)$	2	3	−4	6
$f′(x)$	−1	7	8	−3
$g′(x)$	4	1	2	9

21) Descubra$h′(1)$ se$h(x)=x f(x)+4g(x)$.

22) Descubra$h′(2)$ se$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Responda: $h'(2) =\frac{16}{9}$

23) Descubra$h′(3)$ se$h(x)=2x+f(x)g(x)$.

24) Descubra$h′(4)$ se$h(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{g(x)}{f(x)}$.

Responda: $h'(4)$é indefinido.

Nos exercícios 25 a 27, use a figura a seguir para encontrar as derivadas indicadas, se existirem.

$Duas funções são representadas graficamente: f (x) e g (x). A função f (x) começa em (−1, 5) e diminui linearmente para (3, 1), ponto em que aumenta linearmente para (5, 3). A função g (x) começa na origem, aumenta linearmente para (2,5, 2,5) e depois permanece constante em y = 2,5.$

25) Deixe$h(x)=f(x)+g(x)$. Encontre

a)$h′(1)$,

b)$h′(3)$, e

c)$h′(4)$.

26) Deixe$h(x)=f(x)g(x).$ encontrar

uma)$h′(1),$

b)$h′(3)$, e

c)$h′(4).$

Responda: a.$h'(1) = 2$,
b.$h'(3)$ não existe,
c.$h'(4) = 2.5$

27) Deixe$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}.$ encontrar

uma)$h′(1),$

b)$h′(3)$, e

c)$h′(4).$

Nos exercícios 28 a 31,

a) avaliar$f′(a)$ e

b) represente graficamente a função$f(x)$ e a reta tangente em$x=a$.

28) [T]$f(x)=2x^3+3x−x^2, \quad a=2$

Responda

a. 23
b.$y=23x−28$

$O gráfico é uma função cúbica ligeiramente deformada que passa pela origem. A reta tangente é traçada através de (0, −28) com inclinação 23.$

29) [T]$f(x)=\dfrac{1}{x}−x^2, \quad a=1$

30) [T]$f(x)=x^2−x^{12}+3x+2, \quad a=0$

Responda

a.$3$
b.$y=3x+2$

$O gráfico começa no terceiro quadrante, aumenta rapidamente e passa pelo eixo x perto de −0,9, depois aumenta a uma taxa mais baixa, passa por (0, 2), aumenta para (1, 5) e depois diminui rapidamente e passa pelo eixo x perto de 1,2.$

31) [T]$f(x)=\dfrac{1}{x}−x^{2/3}, \quad a=−1$

32) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico$f(x)=2x^3+4x^2−5x−3$ de$x=−1.$

Responda: $y=−7x−3$

33) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de$f(x)=x^2+\dfrac{4}{x}−10$ at$x=8$.

34) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de$f(x)=(3x−x^2)(3−x−x^2)$ at$x=1$.

Responda: $y=−5x+7$

35) Encontre o ponto no gráfico de$f(x)=x^3$ tal forma que a reta tangente nesse ponto tenha um$x$ intercepto -de$(6,0)$.

36) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto$P(3,3)$ e tangente ao gráfico de$f(x)=\dfrac{6}{x−1}$.

Responda: $y=−\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}$

37) Determine todos os pontos no gráfico$f(x)=x^3+x^2−x−1$ para os quais a inclinação da reta tangente é

a. horizontal

b. −1.

38) Encontre um polinômio quadrático tal que$f(1)=5,\; f′(1)=3$ e$f''(1)=−6.$

Responda: $y=−3x^2+9x−1$

39) Um carro dirigindo por uma rodovia com tráfego percorreu$s(t)=t^3−6t^2+9t$ metros em$t$ segundos.

a. Determine o tempo em segundos em que a velocidade do carro é 0.

b. Determine a aceleração do carro quando a velocidade for 0.

40) [T] Um arenque nadando em linha reta percorreu$s(t)=\dfrac{t^2}{t^2+2}$ os pés$t$

segundos. Determine a velocidade do arenque quando ele tiver percorrido 3 segundos.

Responda: $\frac{12}{121}$ou 0,0992 pés/s

41) A população em milhões de linguados árticos no Oceano Atlântico é modelada pela função$P(t)=\dfrac{8t+3}{0.2t^2+1}$, onde$t$ é medida em anos.

a. Determine a população inicial de linguados.

b. Determine$P′(10)$ e interprete brevemente o resultado.

42) [T] A concentração de antibiótico na corrente sanguínea$t$ horas após a injeção é dada pela função$C(t)=\dfrac{2t^2+t}{t^3+50}$, onde$C$ é medida em miligramas por litro de sangue.

a. Encontre a taxa de variação de$C(t).$

b. Determine a taxa de variação para$t=8,12,24$,$36$ e.

c. Descreva brevemente o que parece estar ocorrendo à medida que o número de horas aumenta.

Responda: a.$\dfrac{−2t^4−2t^3+200t+50}{(t^3+50)^2}$
b.$−0.02395$ mg/L-h,$−0.01344$ mg/L-h,$−0.003566$ mg/L-h,$−0.001579$ mg/L-h
c. A taxa na qual a concentração do fármaco na corrente sanguínea diminui diminui para 0 com o aumento do tempo.

43) Uma editora de livros tem uma função de custo dada por$C(x)=\dfrac{x^3+2x+3}{x^2}$, onde$x$ é o número de cópias de um livro em milhares e$C$ é o custo, por livro, medido em dólares. Avalie$C′(2)$ e explique seu significado.

44) [T] De acordo com a lei da gravitação universal de Newton, a força$F$ entre dois corpos de massa$m_1$ constante$m_2$ é dada pela fórmula$F=\dfrac{Gm_1m_2}{d^2}$, onde$G$ é a constante gravitacional e$d$ é a distância entre os corpos.

a. Suponha que$G,m_1,$ e$m_2$ sejam constantes. Encontre a taxa de mudança de força em$F$ relação à distância$d$.

b. Determine a taxa de mudança de força$F$ com constante gravitacional$G=6.67×10^{−11} \text{Nm}^2/\text{kg}^2$, em dois corpos separados por 10 metros, cada um com uma massa de 1000 kg.

Responda: a.$F'(d)=\dfrac{−2Gm_1m_2}{d_3}$
b.$−1.33×10^{−7}$ N/m

\(x\)	1	2	3	4
\(f(x)\)	3	5	−2	0
\(g(x)\)	2	3	−4	6
\(f′(x)\)	−1	7	8	−3
\(g′(x)\)	4	1	2	9