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3.4: Derivativos como taxas de variação

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objetivos de
  • Determine um novo valor de uma quantidade a partir do valor antigo e do valor da alteração.
  • Calcule a taxa média de variação e explique como ela difere da taxa de variação instantânea.
  • Aplique taxas de alteração ao deslocamento, velocidade e aceleração de um objeto se movendo ao longo de uma linha reta.
  • Preveja a população futura a partir do valor atual e da taxa de crescimento populacional.
  • Use derivativos para calcular o custo marginal e a receita em uma situação comercial.

Nesta seção, examinamos algumas aplicações da derivada, focando na interpretação da derivada como a taxa de variação de uma função. Essas aplicações incluem aceleração e velocidade na física, taxas de crescimento populacional em biologia e funções marginais em economia.

Fórmula de quantidade de alteração

Uma aplicação para derivadas é estimar um valor desconhecido de uma função em um ponto usando um valor conhecido de uma função em algum ponto determinado junto com sua taxa de variação em um determinado ponto. Sef(x) for uma função definida em um intervalo[a,a+h], então a quantidade de mudança def(x) ao longo do intervalo é a mudança nosy valores da função nesse intervalo e é dada por

f(a+h)f(a).

A taxa média de mudança da funçãof nesse mesmo intervalo é a razão entre a quantidade de mudança nesse intervalo e a alteração correspondente nosx valores. É dado por

f(a+h)f(a)h.

Como já sabemos, a taxa instantânea de variação def(x) ata é sua derivada

f(a)=limh0f(a+h)f(a)h.

Para valores suficientemente pequenos deh,f(a)f(a+h)f(a)h. Em seguida, podemos resolverf(a+h) para obter a fórmula da quantidade de mudança:

f(a+h)f(a)+f(a)h.

Podemos usar essa fórmula se soubermos apenasf(a)f(a) e quisermos estimar o valor def(a+h). Por exemplo, podemos usar a população atual de uma cidade e a taxa na qual ela está crescendo para estimar sua população em um futuro próximo. Como podemos ver na Figura3.4.1, estamos nos aproximandof(a+h) pelay coordenada em a+h na reta tangente af(x) atx=a. Observe que a precisão dessa estimativa depende do valor deh, bem como do valor def(a).

No plano de coordenadas cartesianas com a e a + h marcados no eixo x, a função f é representada graficamente. Ele passa por (a, f (a)) e (a + h, f (a + h)). Uma linha reta é traçada através de (a, f (a)) com sua inclinação sendo a derivada nesse ponto. Essa linha reta passa por (a + h, f (a) + f' (a) h). Há um segmento de linha conectando (a + h, f (a + h)) e (a + h, f (a) + f' (a) h), e está marcado que esse é o erro ao usar f (a) + f' (a) h para estimar f (a + h).
Figura3.4.1: O novo valor de uma quantidade alterada é igual ao valor original mais a taxa de alteração multiplicada pelo intervalo de alteração:f(a+h)f(a)+f(a)h.
Exemplo3.4.1: Estimating the Value of a Function

Sef(3)=2 ef(3)=5, estimef(3.2).

Solução

Comece encontrandoh. Nós temosh=3.23=0.2. assim,

f(3.2)=f(3+0.2)f(3)+(0.2)f(3)=2+0.2(5)=3.

Exercício3.4.1

Dadof(10)=5 ef(10)=6, estimef(10.1).

Dica

Use o mesmo processo do exemplo anterior.

Responda

4.4

Movimento ao longo de uma linha

Outro uso da derivada é analisar o movimento ao longo de uma linha. Descrevemos a velocidade como a taxa de mudança de posição. Se tomarmos a derivada da velocidade, podemos encontrar a aceleração ou a taxa de variação da velocidade. Também é importante introduzir a ideia de velocidade, que é a magnitude da velocidade. Assim, podemos afirmar as seguintes definições matemáticas.

Definição

s(t)Seja uma função que fornece a posição de um objeto no tempo t.

  • A velocidade do objeto no momentot é dada porv(t)=s(t).
  • A velocidade do objeto no momentot é dada por|v(t)|.
  • A aceleração do objeto emt é dada pora(t)=v(t)=s.
Exemplo\PageIndex{2}: Comparing Instantaneous Velocity and Average Velocity

Uma bola cai de uma altura de 64 pés. Sua altura acima do solo (em pés)t segundos depois é dada pors(t)=−16t^2+64.

No plano de coordenadas cartesianas, a função s (t) = −16t2 + 64 é representada graficamente. Essa função começa em (0, 64) e diminui para (0, 2).

  1. Qual é a velocidade instantânea da bola quando ela atinge o chão?
  2. Qual é a velocidade média durante sua queda?

Solução

A primeira coisa a fazer é determinar quanto tempo a bola leva para chegar ao chão. Para fazer isso, definas(t)=0. Resolvendo−16t^2+64=0, obtemost=2, então leva 2 segundos para a bola chegar ao chão.

  1. A velocidade instantânea da bola quando ela atinge o chão év(2). Desde entãov(t)=s′(t)=−32t, obtemosv(t)=−64 pés/s.
  2. A velocidade média da bola durante sua queda é

v_{ave}=\frac{s(2)−s(0)}{2−0}=\frac{0−64}{2}=−32pés/s.

Exemplo\PageIndex{3}: Interpreting the Relationship between v(t) and a(t)

Uma partícula se move ao longo de um eixo coordenado na direção positiva para a direita. Sua posição no momentot é dada pors(t)=t^3−4t+2. Encontrev(1)a(1) e use esses valores para responder às seguintes perguntas.

  1. A partícula está se movendo da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda no momentot=1?
  2. A partícula está acelerando ou diminuindo de vez em quandot=1?

Solução

Comece encontrandov(t)a(t) e.

v(t) = s'(t) = 3t^2 - 4a(t)=v′(t)=s''(t)=6te.

Avaliando essas funções emt=1, obtemosv(1)=−1a(1)=6 e.

  1. Porquev(1)<0 a partícula está se movendo da direita para a esquerda.
  2. Porquev(1)<0 ea(1)>0, a velocidade e a aceleração estão agindo em direções opostas. Em outras palavras, a partícula está sendo acelerada na direção oposta à direção em que está viajando, fazendo com que|v(t)| diminua. A partícula está diminuindo.
Exemplo\PageIndex{4}: Position and Velocity

A posição de uma partícula se movendo ao longo de um eixo coordenado é dada pors(t)=t^3−9t^2+24t+4,\; t≥0.

  1. Encontrev(t).
  2. Em que momento (s) a partícula está em repouso?
  3. Em quais intervalos de tempo a partícula está se movendo da esquerda para a direita? Da direita para a esquerda?
  4. Use as informações obtidas para esboçar o caminho da partícula ao longo de um eixo coordenado.

Solução

a. A velocidade é a derivada da função de posição:

v(t)=s′(t)=3t^2−18t+24.

b. A partícula está em repouso quandov(t)=0, assim definida3t^2−18t+24=0. Fatorar o lado esquerdo da equação produz3(t−2)(t−4)=0. Resolvendo, descobrimos que a partícula está em repouso emt=2t=4 e.

c. A partícula está se movendo da esquerda para a direita quandov(t)>0 e da direita para a esquerda quandov(t)<0. A figura\PageIndex{2} fornece a análise do sinal dev(t) fort≥0, mas não representa o eixo ao longo do qual a partícula está se movendo.

Uma linha numérica marcada com 0, 2 e 4. Entre 0 e 2, há um sinal de mais. Acima de 2, há um 0. Entre 2 e 4, há um sinal negativo. Acima de 4 há um 0. Depois de 4, há um sinal de mais e v (t).
Figura: O\PageIndex{2} sinal de determinav(t) a direção da partícula.
  • Desde então3t^2−18t+24>0[0,2)∪(4,+∞), a partícula está se movendo da esquerda para a direita nesses intervalos.
  • Desde então3t^2−18t+24<0(2,4), a partícula está se movendo da direita para a esquerda nesse intervalo.

d. Antes de podermos esboçar o gráfico da partícula, precisamos saber sua posição no momento em que ela começa a se mover(t=0) e nos momentos em que muda de direção(t=2,4). Nós temoss(0)=4s(2)=24,s(4)=20 e. Isso significa que a partícula começa no eixo coordenado em4 e muda de direção no24 e20 sobre o eixo coordenado. O caminho da partícula é mostrado em um eixo de coordenadas na Figura\PageIndex{3}.

Uma reta numérica é dada e acima dela uma linha serpenteia, começando em t = 0 acima de 4 na reta numérica. Então, a linha em t = 2 está acima de 24 na reta numérica. Em seguida, a linha diminui em t = 4 para ficar acima de 20 na reta numérica, ponto em que a linha inverte a direção novamente e aumenta indefinidamente.
Figura\PageIndex{3}: O caminho da partícula pode ser determinado pela análisev(t).
Exercício\PageIndex{2}

Uma partícula se move ao longo de um eixo coordenado. Sua posição no momentot é dada pors(t)=t^2−5t+1. A partícula está se movendo da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita no momentot=3?

Dica

Encontrev(3) e veja a placa.

Responda

da esquerda para a direita

Mudança populacional

Além de analisar velocidade, velocidade, aceleração e posição, podemos usar derivados para analisar vários tipos de populações, incluindo aquelas tão diversas quanto colônias de bactérias e cidades. Podemos usar uma população atual, junto com uma taxa de crescimento, para estimar o tamanho de uma população no futuro. A taxa de crescimento populacional é a taxa de mudança de uma população e, consequentemente, pode ser representada pela derivada do tamanho da população.

Definição

SeP(t) for o número de entidades presentes em uma população, então a taxa de crescimento populacional deP(t) é definida comoP′(t).

Exemplo\PageIndex{5}: Estimating a Population

A população de uma cidade está triplicando a cada 5 anos. Se sua população atual for de 10.000, qual será sua população aproximada daqui a 2 anos?

Solução

P(t)Seja a população (em milhares)t daqui a alguns anos. Assim, sabemos dissoP(0)=10 e, com base nas informações, antecipamosP(5)=30. AgoraP′(0), estime, a taxa de crescimento atual, usando

P′(0)≈\frac{P(5)−P(0)}{5−0}=\frac{30−10}{5}=4.

Ao aplicar a Equação\ ref {linapprox} aP(t), podemos estimar a população daqui a 2 anos escrevendo

P(2)≈P(0)+(2)P′(0)≈10+2(4)=18;

assim, em 2 anos, a população será de 18.000.

Exercício\PageIndex{3}

Sabe-se que a população atual de uma colônia de mosquitos é de 3.000; ou seja,P(0)=3,000. SeP′(0)=100, estime o tamanho da população em 3 dias, ondet é medido em dias.

Dica

UseP(3)≈P(0)+3P′(0)

Responda

3.300

Mudanças no custo e na receita

Além de analisar o movimento ao longo de uma linha e o crescimento populacional, os derivativos são úteis para analisar mudanças no custo, receita e lucro. O conceito de função marginal é comum nas áreas de negócios e economia e implica o uso de derivativos. O custo marginal é a derivada da função de custo. A receita marginal é o derivado da função de receita. O lucro marginal é o derivado da função de lucro, que se baseia na função de custo e na função de receita.

Definição
  • SeC(x) for o custo de produção dex itens, então o custo marginalMC(x) éMC(x)=C′(x).
  • SeR(x) for a receita obtida com a venda dex itens, então a receita marginalMR(x) éMR(x)=R′(x).
  • SeP(x)=R(x)−C(x) for o lucro obtido com a venda dex itens, então o lucro marginalMP(x) é definido como sendoMP(x)=P′(x)=MR(x)−MC(x)=R′(x)−C′(x).

Podemos aproximar aproximadamente

MC(x)=C′(x)=\lim_{h→0}\frac{C(x+h)−C(x)}{h} \nonumber

escolhendo um valor apropriado parah. Comox representa objetos, um valor razoável e pequeno parah é 1. Assim, ao substituirh=1, obtemos a aproximaçãoMC(x)=C′(x)≈C(x+1)−C(x). Consequentemente,C′(x) para um determinado valor,x pode-se pensar como a mudança no custo associada à produção de um item adicional. De forma semelhante,MR(x)=R′(x) aproxima a receita obtida com a venda de um item adicional eMP(x)=P′(x) se aproxima do lucro obtido pela produção e venda de um item adicional.

Exemplo\PageIndex{6}: Applying Marginal Revenue

Suponha que o número de jantares de churrasco que podem ser vendidosx,, possa estar relacionado ao preço cobradop,, pela equaçãop(x)=9−0.03x,0≤x≤300.

Nesse caso, a receita em dólares obtida com a venda de jantares dex churrasco é dada por

R(x)=xp(x)=x(9−0.03x)=−0.03x^2+9x\;\text{ for }0≤x≤300.

Use a função de receita marginal para estimar a receita obtida com a venda do jantar de101^{\text{st}} churrasco. Compare isso com a receita real obtida com a venda deste jantar.

Solução

Primeiro, encontre a função de receita marginal:MR(x)=R′(x)=−0.06x+9.

Em seguida, useR(101)−R(100),R′(100) para aproximar, a receita obtida com a venda do101^{\text{st}} jantar. Desde entãoR′(100)=3, a receita obtida com a venda do101^{\text{st}} jantar é de aproximadamente $3.

A receita real obtida com a venda do101^{\text{st}} jantar é

R(101)−R(100)=602.97−600=2.97,ou$2.97.

A receita marginal é uma estimativa bastante boa nesse caso e tem a vantagem de ser fácil de calcular.

Exercício\PageIndex{4}

Suponha que o lucro obtido com a venda de jantaresx de peixe frito seja dado porP(x)=−0.03x^2+8x−50. Use a função de lucro marginal para estimar o lucro da venda do jantar101^{\text{st}} de peixe frito.

Dica

UseP′(100) para aproximarP(101)−P(100).

Responda

$2

Conceitos-chave

  • Usandof(a+h)≈f(a)+f′(a)h, é possível estimarf(a+h) dadof′(a)f(a) e.
  • A taxa de mudança de posição é velocidade e a taxa de mudança de velocidade é aceleração. Velocidade é o valor absoluto, ou magnitude, da velocidade.
  • A taxa de crescimento populacional e a população atual podem ser usadas para prever o tamanho de uma população futura.
  • As funções de custo marginal, receita marginal e lucro marginal podem ser usadas para prever, respectivamente, o custo de produção de mais um item, a receita obtida com a venda de mais um item e o lucro obtido pela produção e venda de mais um item.

Glossário

aceleração
é a taxa de variação da velocidade, ou seja, a derivada da velocidade
quantidade de alteração
a quantidade de uma funçãof(x) em um intervalo[x,x+h] is f(x+h)−f(x)
taxa média de variação
é uma funçãof(x) em um intervalo[x,x+h] é\frac{f(x+h)−f(a)}{b−a}
custo marginal
é a derivada da função de custo, ou o custo aproximado de produzir mais um item
receita marginal
é o derivado da função de receita, ou a receita aproximada obtida com a venda de mais um item
lucro marginal
é o derivado da função de lucro, ou o lucro aproximado obtido pela produção e venda de mais um item
taxa de crescimento populacional
é a derivada da população em relação ao tempo
velocidade
é o valor absoluto da velocidade, ou seja,|v(t)| é a velocidade de um objeto no momentot cuja velocidade é dada porv(t)