3.5: Derivadas de funções trigonométricas

Objetivos de

• Encontre as derivadas da função seno e cosseno.
• Encontre as derivadas das funções trigonométricas padrão.
• Calcule as derivadas de ordem superior do seno e do cosseno.

Um dos tipos mais importantes de movimento na física é o movimento harmônico simples, associado a sistemas como um objeto com massa oscilando em uma mola. O movimento harmônico simples pode ser descrito usando as funções seno ou cosseno. Nesta seção, expandimos nosso conhecimento de fórmulas derivadas para incluir derivadas dessas e de outras funções trigonométricas. Começamos com as derivadas das funções seno e cosseno e depois as usamos para obter fórmulas para as derivadas das quatro funções trigonométricas restantes. Ser capaz de calcular as derivadas das funções seno e cosseno nos permitirá encontrar a velocidade e a aceleração do movimento harmônico simples.

Derivadas das funções seno e cosseno

Começamos nossa exploração da derivada da função seno usando a fórmula para fazer uma estimativa razoável de sua derivada. Lembre-se de que, para uma função$f(x),$

$$f′(x)=\lim_{h→0}\dfrac{f(x+h)−f(x)}{h}. \nonumber$$

Consequentemente, para valores$h$ muito próximos de$0$,

$$f′(x)≈\dfrac{f(x+h)−f(x)}{h}. \nonumber$$

Vemos isso usando$h=0.01$,

$$\dfrac{d}{dx}(\sin x)≈\dfrac{\sin (x+0.01)−\sin x}{0.01} \nonumber$$

Ao definir

$$D(x)=\dfrac{\sin (x+0.01)−\sin x}{0.01} \nonumber$$

e usando um utilitário gráfico, podemos obter um gráfico de uma aproximação à derivada de$\sin x$ (Figura$\PageIndex{1}$).

Figura$\PageIndex{1}$: O gráfico da função$D(x)$ se parece muito com uma curva de cosseno.

Após a inspeção, o gráfico de$D(x)$ parece estar muito próximo do gráfico da função cosseno. De fato, mostraremos que

$$\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x. \nonumber$$

Se seguíssemos os mesmos passos para aproximar a derivada da função cosseno, descobriríamos que

$$\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x. \nonumber$$

Os derivados de$\sin x$ and $\cos x$

A derivada da função seno é o cosseno e a derivada da função cosseno é o seno negativo.

$$\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x \nonumber$$

$$\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x \nonumber$$

Prova

Como as provas$\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$ e o$\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x$ uso de técnicas semelhantes, fornecemos apenas a prova de$\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$. Antes de começar, lembre-se de dois limites trigonométricos importantes:

$\displaystyle \lim_{h→0}\dfrac{\sin h}{h}=1$$\displaystyle \lim_{h→0}\dfrac{\cos h−1}{h}=0$e.

Os gráficos de$y=\dfrac{\sin h}{h}$ e$y=\dfrac{\cos h−1}{h}$ são mostrados na Figura$\PageIndex{2}$.

Figura$\PageIndex{2}$: Esses gráficos mostram dois limites importantes necessários para estabelecer as fórmulas derivadas para as funções seno e cosseno.

Também lembramos a seguinte identidade trigonométrica para o seno da soma de dois ângulos:

$$\sin (x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h. \nonumber$$

Agora que reunimos todas as equações e identidades necessárias, prosseguimos com a prova.

\ [\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} (\ sin x) &=\ lim_ {h→0}\ dfrac {\ sin (x+h) −\ sin x} {h} &\ text {Aplique a definição da derivada.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ dfrac {\ sin x\ cos h→ +\ cos x\ sin h−\ sin x} {h} &\ text {Use a identidade trigonométrica para o seno da soma de dois ângulos.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ left (\ dfrac {\ sin x\ cos h−\ sin x} {h} +\ dfrac {\ cos x\ sin h} {h}\ direita) &\ text {Reagrupar.}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ left (\ sin x\ left (\ dfrac {\ cos h−−0} 1} {h}\ right) + (\ cos x)\ left (\ dfrac {\ sin h} {h}\ right)\ right) & &\ text {Fator out}\ sin x\ text {e}\ cos x\\ [4pt]
& =(\ sin x)\ lim_ {h→0}\ left (\ dfrac {\ cos h−1} {h}\ right) + (\ cos x)\ lim_ {h→0}\ left (\ dfrac {\ sin h} {h}\ right) & &\ text {Factor}\ sin x\ text {e}\ cos x\ text {fora dos limites.}\\ [4pt]
& =(\ sin x) (0) + (\ cos x) (1) & &\ text {Aplique fórmulas de limite trigonométrico.}\\ [4pt]
&=\ cos x & &\ text {Simplifique.} \ end {align*}\ nonumber\]

□

A figura$\PageIndex{3}$ mostra a relação entre o gráfico de$f(x)=\sin x$ e sua derivada$f′(x)=\cos x$. Observe que nos pontos em que$f(x)=\sin x$ tem uma tangente horizontal, sua derivada$f′(x)=\cos x$ assume o valor zero. Também vemos que onde f$(x)=\sin x$ está aumentando$f′(x)=\cos x>0$ e onde$f(x)=\sin x$ está diminuindo,$f′(x)=\cos x<0.$

Figura$\PageIndex{3}$: Onde$f(x)$ tem um máximo ou um mínimo, ou$f'(x)=0$ seja,$f'(x)=0$ onde$f(x)$ tem uma tangente horizontal. Esses pontos são anotados com pontos nos gráficos

Exemplo$\PageIndex{1}$: Differentiating a Function Containing $\sin x$

Encontre a derivada de$f(x)=5x^3\sin x$.

Solução

Usando a regra do produto, temos

$$\begin{align*} f'(x) &=\dfrac{d}{dx}(5x^3)⋅\sin x+\dfrac{d}{dx}(\sin x)⋅5x^3 \\[4pt] &=15x^2⋅\sin x+\cos x⋅5x^3. \end{align*}$$

Depois de simplificar, obtemos

$$f′(x)=15x^2\sin x+5x^3\cos x. \nonumber$$

Exercício$\PageIndex{1}$

Encontre a derivada de$f(x)=\sin x\cos x.$

Dica

Não se esqueça de usar a regra do produto.

Responda

$$f′(x)=\cos^2x−\sin^2x \nonumber$$

Exemplo$\PageIndex{2}$: Finding the Derivative of a Function Containing cos x

Encontre a derivada de$g(x)=\dfrac{\cos x}{4x^2}$.

Solução

Ao aplicar a regra do quociente, temos

$$g′(x)=\dfrac{(−\sin x)4x^2−8x(\cos x)}{(4x^2)^2}. \nonumber$$

Simplificando, obtemos

$$g′(x)=\dfrac{−4x^2\sin x−8x\cos x}{16x^4}=\dfrac{−x\sin x−2\cos x}{4x^3}. \nonumber$$

Exercício$\PageIndex{2}$

Encontre a derivada de$f(x)=\dfrac{x}{\cos x}$.

Dica

Use a regra do quociente.

Responda

$f'(x) = \dfrac{\cos x+x\sin x}{\cos^2x}$

Exemplo$\PageIndex{3}$: An Application to Velocity

Uma partícula se move ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua posição no tempo$t$ é dada$s(t)=2\sin t−t$ por for$0≤t≤2π.$ Em que momentos a partícula está em repouso?

Solução

Para determinar quando a partícula está em repouso,$s′(t)=v(t)=0.$ defina Comece encontrando$s′(t).$ Obtemos

$$s′(t)=2 \cos t−1, \nonumber$$

então devemos resolver

$$2 \cos t−1=0\text{ for }0≤t≤2π. \nonumber$$

As soluções para essa equação são$t=\dfrac{π}{3}$$t=\dfrac{5π}{3}$ e. Assim, a partícula está em repouso às vezes$t=\dfrac{π}{3}$$t=\dfrac{5π}{3}$ e.

Exercício$\PageIndex{3}$

Uma partícula se move ao longo de um eixo coordenado. Sua posição no momento$t$ é dada$s(t)=\sqrt{3}t+2\cos t$ por for$0≤t≤2π.$ Em que momentos a partícula está em repouso?

Dica

Use o exemplo anterior como guia.

Responda

$t=\dfrac{π}{3},\quad t=\dfrac{2π}{3}$

Derivadas de outras funções trigonométricas

Como as quatro funções trigonométricas restantes podem ser expressas como quocientes envolvendo seno, cosseno ou ambos, podemos usar a regra do quociente para encontrar fórmulas para suas derivadas.

Exemplo$\PageIndex{4}$: The Derivative of the Tangent Function

Encontre a derivada de$f(x)=\tan x.$

Solução

Comece expressando$\tan x$ como o quociente de$\sin x$ e$\cos x$:

$f(x)=\tan x =\dfrac{\sin x}{\cos x}$.

Agora aplique a regra do quociente para obter

$f′(x)=\dfrac{\cos x\cos x−(−\sin x)\sin x}{(\cos x)^2}$.

Simplificando, obtemos

$$f′(x)=\dfrac{\cos^2x+\sin^2 x}{\cos^2x}. \nonumber$$

Reconhecendo que,$\cos^2x+\sin^2x=1,$ pelo teorema de Pitágoras, agora temos

$$f′(x)=\dfrac{1}{\cos^2x} \nonumber$$

Finalmente, use a identidade$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$ para obter

$f′(x)=\text{sec}^2 x$.

Exercício$\PageIndex{4}$

Encontre a derivada de$f(x)=\cot x .$

Dica

Reescreva$\cot x$ como$\dfrac{\cos x}{\sin x}$ e use a regra do quociente.

Responda

$f′(x)=−\csc^2 x$

As derivadas das funções trigonométricas restantes podem ser obtidas usando técnicas similares. Nós fornecemos essas fórmulas no seguinte teorema.

Derivados de$\tan x$, $\cot x$, $\sec x$, and $\csc x$

As derivadas das funções trigonométricas restantes são as seguintes:

\ [\ begin {align}\ dfrac {d} {dx} (\ tan x) &=\ sec^2x\\ [4pt]
\ dfrac {d} {dx} (\ cot x) &=−\ csc^2x\\ [4pt]
\ dfrac {d} {dx} (\ sec x) &=\ sec x\ tan x\ [4pt]
\ dfrac {d} {dx} (\ csc x) &=−\ csc x\ cot x.\ end {align}\ nonumber\]

Exemplo$\PageIndex{5}$: Finding the Equation of a Tangent Line

Encontre a equação de uma reta tangente ao gráfico de$f(x)=\cot x$ at$x=\frac{π}{4}$.

Solução

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de um ponto e uma inclinação nesse ponto. Para encontrar o ponto, calcule

$f\left(\frac{π}{4}\right)=\cot\frac{π}{4}=1$.

Assim, a reta tangente passa pelo ponto$\left(\frac{π}{4},1\right)$. Em seguida, encontre a inclinação encontrando a derivada de$f(x)=\cot x$ e avaliando-a em$\frac{π}{4}$:

$f′(x)=−\csc^2 x$$f′\left(\frac{π}{4}\right)=−\csc^2\left(\frac{π}{4}\right)=−2$e.

Usando a equação ponto-inclinação da reta, obtemos

$y−1=−2\left(x−\frac{π}{4}\right)$

ou equivalentemente,

$y=−2x+1+\frac{π}{2}$.

Exemplo$\PageIndex{6}$: Finding the Derivative of Trigonometric Functions

Encontre a derivada de$f(x)=\csc x+x\tan x .$

Solução

Para encontrar essa derivada, devemos usar a regra da soma e a regra do produto. Usando a regra da soma, encontramos

$f′(x)=\dfrac{d}{dx}(\csc x)+\dfrac{d}{dx}(x\tan x )$.

No primeiro termo,$\dfrac{d}{dx}(\csc x)=−\csc x\cot x ,$ e aplicando a regra do produto ao segundo termo, obtemos

$\dfrac{d}{dx}(x\tan x )=(1)(\tan x )+(\sec^2 x)(x)$.

Portanto, temos

$f′(x)=−\csc x\cot x +\tan x +x\sec^2 x$.

Exercício$\PageIndex{5}$

Encontre a derivada de$f(x)=2\tan x −3\cot x .$

Dica

Use a regra para diferenciar um múltiplo constante e a regra para diferenciar uma diferença de duas funções.

Responda

$f′(x)=2\sec^2 x+3\csc^2 x$

Exercício$\PageIndex{6}$

Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de$f(x)=\tan x$ at$x=\dfrac{π}{6}$.

Dica

Avalie a derivada em$x=\dfrac{π}{6}$.

Responda

$\dfrac{4}{3}$

Derivados de ordem superior

As derivadas de ordem superior de$\sin x$ e$\cos x$ seguem um padrão repetitivo. Seguindo o padrão, podemos encontrar qualquer derivada de ordem superior de$\sin x$ e$\cos x.$

Exemplo$\PageIndex{7}$: Finding Higher-Order Derivatives of $y=\sin x$

Encontre as quatro primeiras derivadas de$y=\sin x.$

Solução

Cada etapa da cadeia é simples:

\ [\ begin {align*} y&=\ sin x\\ [4pt]
\ dfrac {dy} {dx} &=\ cos x\\ [4pt]
\ dfrac {d^2y} {dx^2} &=−\ sin x\\ [4pt]
\ dfrac {d^3y} {dx^3} &=− cos\ x\\ [4pt]]
\ dfrac {d^4y} {dx^4} &=\ sin x\ end {align*}\]

Análise

Depois de reconhecermos o padrão das derivadas, podemos encontrar qualquer derivada de ordem superior determinando a etapa no padrão ao qual ela corresponde. Por exemplo, cada quarta derivada de$\sin x$ igual é igual$\sin x$, então

$$\dfrac{d^4}{dx^4}(\sin x)=\dfrac{d^8}{dx^8}(\sin x)=\dfrac{d^{12}}{dx^{12}}(\sin x)=…=\dfrac{d^{4n}}{dx^{4n}}(\sin x)=\sin x \nonumber$$

$$\dfrac{d^5}{dx^5}(\sin x)=\dfrac{d^9}{dx^9}(\sin x)=\dfrac{d^{13}}{dx^{13}}(\sin x)=…=\dfrac{d^{4n+1}}{dx^{4n+1}}(\sin x)=\cos x. \nonumber$$

Exercício$\PageIndex{7}$

Para$y=\cos x$, encontre$\dfrac{d^4y}{dx^4}$.

Dica

Veja o exemplo anterior.

Responda

$\cos x$

Exemplo$\PageIndex{8}$: Using the Pattern for Higher-Order Derivatives of $y=\sin x$

Encontre$\dfrac{d^{74}}{dx^{74}}(\sin x)$.

Solução

Podemos ver imediatamente que, para a 74ª derivada de$\sin x$,$74=4(18)+2$, então

$$\dfrac{d^{74}}{dx^{74}}(\sin x)=\dfrac{d^{72+2}}{dx^{72+2}}(\sin x)=\dfrac{d^2}{dx^2}(\sin x)=−\sin x. \nonumber$$

Exercício$\PageIndex{8}$

Para$y=\sin x$, encontre$\dfrac{d^{59}}{dx^{59}}(\sin x).$

Dica

$\dfrac{d^{59}}{dx^{59}}(\sin x)=\dfrac{d^{4⋅14+3}}{dx^{4⋅14+3}}(\sin x)$

Responda

$−\cos x$

Exemplo$\PageIndex{9}$: An Application to Acceleration

Uma partícula se move ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua posição no tempo$t$ é dada por$s(t)=2−\sin t$. Encontre$v(π/4)$$a(π/4)$ e. Compare esses valores e decida se a partícula está acelerando ou diminuindo a velocidade.

Solução

Primeiro achado$v(t)=s′(t)$

$$v(t)=s′(t)=−\cos t . \nonumber$$

Assim,

$v\left(\frac{π}{4}\right)=−\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Em seguida, encontre$a(t)=v′(t)$. Assim,$a(t)=v′(t)=\sin t$ e nós temos

$a\left(\frac{π}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Desde$v\left(\frac{π}{4}\right)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0$ e$a\left(\frac{π}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}>0$, vemos que a velocidade e a aceleração estão agindo em direções opostas; ou seja, o objeto está sendo acelerado na direção oposta à direção em que está viajando. Consequentemente, a partícula está ficando mais lenta.

Exercício$\PageIndex{9}$

Um bloco preso a uma mola está se movendo verticalmente. Sua posição no momento t é dada por$s(t)=2\sin t$. Encontre$v\left(\frac{5π}{6}\right)$$a\left(\frac{5π}{6}\right)$ e. Compare esses valores e decida se o bloqueio está acelerando ou diminuindo a velocidade.

Dica

Use o exemplo$\PageIndex{9}$ como guia.

Responda

$v\left(\frac{5π}{6}\right)=−\sqrt{3}<0$$a\left(\frac{5π}{6}\right)=−1<0$e. O quarteirão está acelerando.

Conceitos-chave

• Podemos encontrar as derivadas de$\sin x$ e$\cos x$ usando a definição de derivada e as fórmulas de limite encontradas anteriormente. Os resultados são

$\dfrac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x\quad\text{and}\quad\dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big)=−\sin x$.

• Com essas duas fórmulas, podemos determinar as derivadas de todas as seis funções trigonométricas básicas.

Equações-chave

• Derivada da função senoidal

$\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$

• Derivada da função cosseno

$\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x$

• Derivada da função tangente

$\dfrac{d}{dx}(\tan x )=\sec^2x$

• Derivada da função cotangente

$\dfrac{d}{dx}(\cot x )=−\csc^2x$

• Derivada da função secante

$\dfrac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x$

• Derivada da função cossecante

$\dfrac{d}{dx}(\csc x)=−\csc x\cot x$