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3.5: Derivadas de funções trigonométricas

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    188427
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
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    Objetivos de
    • Encontre as derivadas da função seno e cosseno.
    • Encontre as derivadas das funções trigonométricas padrão.
    • Calcule as derivadas de ordem superior do seno e do cosseno.

    Um dos tipos mais importantes de movimento na física é o movimento harmônico simples, associado a sistemas como um objeto com massa oscilando em uma mola. O movimento harmônico simples pode ser descrito usando as funções seno ou cosseno. Nesta seção, expandimos nosso conhecimento de fórmulas derivadas para incluir derivadas dessas e de outras funções trigonométricas. Começamos com as derivadas das funções seno e cosseno e depois as usamos para obter fórmulas para as derivadas das quatro funções trigonométricas restantes. Ser capaz de calcular as derivadas das funções seno e cosseno nos permitirá encontrar a velocidade e a aceleração do movimento harmônico simples.

    Derivadas das funções seno e cosseno

    Começamos nossa exploração da derivada da função seno usando a fórmula para fazer uma estimativa razoável de sua derivada. Lembre-se de que, para uma função\(f(x),\)

    \[f′(x)=\lim_{h→0}\dfrac{f(x+h)−f(x)}{h}. \nonumber \]

    Consequentemente, para valores\(h\) muito próximos de\(0\),

    \[f′(x)≈\dfrac{f(x+h)−f(x)}{h}. \nonumber \]

    Vemos isso usando\(h=0.01\),

    \[\dfrac{d}{dx}(\sin x)≈\dfrac{\sin (x+0.01)−\sin x}{0.01} \nonumber \]

    Ao definir

    \[D(x)=\dfrac{\sin (x+0.01)−\sin x}{0.01} \nonumber \]

    e usando um utilitário gráfico, podemos obter um gráfico de uma aproximação à derivada de\(\sin x\) (Figura\(\PageIndex{1}\)).

    A função D (x) = (sin (x + 0,01) − sin x) /0,01 é representada graficamente. Parece muito com uma curva de cosseno.
    Figura\(\PageIndex{1}\): O gráfico da função\(D(x)\) se parece muito com uma curva de cosseno.

    Após a inspeção, o gráfico de\(D(x)\) parece estar muito próximo do gráfico da função cosseno. De fato, mostraremos que

    \[\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x. \nonumber \]

    Se seguíssemos os mesmos passos para aproximar a derivada da função cosseno, descobriríamos que

    \[\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x. \nonumber \]

    Os derivados de\(\sin x\) and \(\cos x\)

    A derivada da função seno é o cosseno e a derivada da função cosseno é o seno negativo.

    \[\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x \nonumber \]

    \[\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x \nonumber \]

    Prova

    Como as provas\(\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\) e o\(\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x\) uso de técnicas semelhantes, fornecemos apenas a prova de\(\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\). Antes de começar, lembre-se de dois limites trigonométricos importantes:

    \(\displaystyle \lim_{h→0}\dfrac{\sin h}{h}=1\)\(\displaystyle \lim_{h→0}\dfrac{\cos h−1}{h}=0\)e.

    Os gráficos de\(y=\dfrac{\sin h}{h}\) e\(y=\dfrac{\cos h−1}{h}\) são mostrados na Figura\(\PageIndex{2}\).

    As funções y = (sin h) /h e y = (cos h — 1) /h são representadas graficamente. Ambos têm descontinuidades no eixo y.
    Figura\(\PageIndex{2}\): Esses gráficos mostram dois limites importantes necessários para estabelecer as fórmulas derivadas para as funções seno e cosseno.

    Também lembramos a seguinte identidade trigonométrica para o seno da soma de dois ângulos:

    \[\sin (x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h. \nonumber \]

    Agora que reunimos todas as equações e identidades necessárias, prosseguimos com a prova.

    \ [\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} (\ sin x) &=\ lim_ {h→0}\ dfrac {\ sin (x+h) −\ sin x} {h} &\ text {Aplique a definição da derivada.}\\ [4pt]
    &=\ lim_ {h→0}\ dfrac {\ sin x\ cos h→ +\ cos x\ sin h−\ sin x} {h} &\ text {Use a identidade trigonométrica para o seno da soma de dois ângulos.}\\ [4pt]
    &=\ lim_ {h→0}\ left (\ dfrac {\ sin x\ cos h−\ sin x} {h} +\ dfrac {\ cos x\ sin h} {h}\ direita) &\ text {Reagrupar.}\\ [4pt]
    &=\ lim_ {h→0}\ left (\ sin x\ left (\ dfrac {\ cos h−−0} 1} {h}\ right) + (\ cos x)\ left (\ dfrac {\ sin h} {h}\ right)\ right) & &\ text {Fator out}\ sin x\ text {e}\ cos x\\ [4pt]
    & =(\ sin x)\ lim_ {h→0}\ left (\ dfrac {\ cos h−1} {h}\ right) + (\ cos x)\ lim_ {h→0}\ left (\ dfrac {\ sin h} {h}\ right) & &\ text {Factor}\ sin x\ text {e}\ cos x\ text {fora dos limites.}\\ [4pt]
    & =(\ sin x) (0) + (\ cos x) (1) & &\ text {Aplique fórmulas de limite trigonométrico.}\\ [4pt]
    &=\ cos x & &\ text {Simplifique.} \ end {align*}\ nonumber\]

    A figura\(\PageIndex{3}\) mostra a relação entre o gráfico de\(f(x)=\sin x\) e sua derivada\(f′(x)=\cos x\). Observe que nos pontos em que\(f(x)=\sin x\) tem uma tangente horizontal, sua derivada\(f′(x)=\cos x\) assume o valor zero. Também vemos que onde f\((x)=\sin x\) está aumentando\(f′(x)=\cos x>0\) e onde\(f(x)=\sin x\) está diminuindo,\(f′(x)=\cos x<0.\)

    As funções f (x) = sin x e f' (x) = cos x são representadas graficamente. É evidente que quando f (x) tem um máximo ou um mínimo que f' (x) = 0.
    Figura\(\PageIndex{3}\): Onde\(f(x)\) tem um máximo ou um mínimo, ou\(f'(x)=0\) seja,\(f'(x)=0\) onde\(f(x)\) tem uma tangente horizontal. Esses pontos são anotados com pontos nos gráficos
    Exemplo\(\PageIndex{1}\): Differentiating a Function Containing \(\sin x\)

    Encontre a derivada de\(f(x)=5x^3\sin x\).

    Solução

    Usando a regra do produto, temos

    \[ \begin{align*} f'(x) &=\dfrac{d}{dx}(5x^3)⋅\sin x+\dfrac{d}{dx}(\sin x)⋅5x^3 \\[4pt] &=15x^2⋅\sin x+\cos x⋅5x^3. \end{align*}\]

    Depois de simplificar, obtemos

    \[f′(x)=15x^2\sin x+5x^3\cos x. \nonumber \]

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Encontre a derivada de\(f(x)=\sin x\cos x.\)

    Dica

    Não se esqueça de usar a regra do produto.

    Responda

    \[f′(x)=\cos^2x−\sin^2x \nonumber \]

    Exemplo\(\PageIndex{2}\): Finding the Derivative of a Function Containing cos x

    Encontre a derivada de\(g(x)=\dfrac{\cos x}{4x^2}\).

    Solução

    Ao aplicar a regra do quociente, temos

    \[g′(x)=\dfrac{(−\sin x)4x^2−8x(\cos x)}{(4x^2)^2}. \nonumber \]

    Simplificando, obtemos

    \[g′(x)=\dfrac{−4x^2\sin x−8x\cos x}{16x^4}=\dfrac{−x\sin x−2\cos x}{4x^3}. \nonumber \]

    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Encontre a derivada de\(f(x)=\dfrac{x}{\cos x}\).

    Dica

    Use a regra do quociente.

    Responda

    \(f'(x) = \dfrac{\cos x+x\sin x}{\cos^2x}\)

    Exemplo\(\PageIndex{3}\): An Application to Velocity

    Uma partícula se move ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua posição no tempo\(t\) é dada\(s(t)=2\sin t−t\) por for\(0≤t≤2π.\) Em que momentos a partícula está em repouso?

    Solução

    Para determinar quando a partícula está em repouso,\(s′(t)=v(t)=0.\) defina Comece encontrando\(s′(t).\) Obtemos

    \[s′(t)=2 \cos t−1, \nonumber \]

    então devemos resolver

    \[2 \cos t−1=0\text{ for }0≤t≤2π. \nonumber \]

    As soluções para essa equação são\(t=\dfrac{π}{3}\)\(t=\dfrac{5π}{3}\) e. Assim, a partícula está em repouso às vezes\(t=\dfrac{π}{3}\)\(t=\dfrac{5π}{3}\) e.

    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Uma partícula se move ao longo de um eixo coordenado. Sua posição no momento\(t\) é dada\(s(t)=\sqrt{3}t+2\cos t\) por for\(0≤t≤2π.\) Em que momentos a partícula está em repouso?

    Dica

    Use o exemplo anterior como guia.

    Responda

    \(t=\dfrac{π}{3},\quad t=\dfrac{2π}{3}\)

    Derivadas de outras funções trigonométricas

    Como as quatro funções trigonométricas restantes podem ser expressas como quocientes envolvendo seno, cosseno ou ambos, podemos usar a regra do quociente para encontrar fórmulas para suas derivadas.

    Exemplo\(\PageIndex{4}\): The Derivative of the Tangent Function

    Encontre a derivada de\(f(x)=\tan x.\)

    Solução

    Comece expressando\(\tan x \) como o quociente de\(\sin x\) e\(\cos x\):

    \(f(x)=\tan x =\dfrac{\sin x}{\cos x}\).

    Agora aplique a regra do quociente para obter

    \(f′(x)=\dfrac{\cos x\cos x−(−\sin x)\sin x}{(\cos x)^2}\).

    Simplificando, obtemos

    \[f′(x)=\dfrac{\cos^2x+\sin^2 x}{\cos^2x}. \nonumber \]

    Reconhecendo que,\(\cos^2x+\sin^2x=1,\) pelo teorema de Pitágoras, agora temos

    \[f′(x)=\dfrac{1}{\cos^2x} \nonumber \]

    Finalmente, use a identidade\(\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\) para obter

    \(f′(x)=\text{sec}^2 x\).

    Exercício\(\PageIndex{4}\)

    Encontre a derivada de\(f(x)=\cot x .\)

    Dica

    Reescreva\(\cot x \) como\(\dfrac{\cos x}{\sin x}\) e use a regra do quociente.

    Responda

    \(f′(x)=−\csc^2 x\)

    As derivadas das funções trigonométricas restantes podem ser obtidas usando técnicas similares. Nós fornecemos essas fórmulas no seguinte teorema.

    Derivados de\(\tan x\), \(\cot x\), \(\sec x\), and \(\csc x\)

    As derivadas das funções trigonométricas restantes são as seguintes:

    \ [\ begin {align}\ dfrac {d} {dx} (\ tan x) &=\ sec^2x\\ [4pt]
    \ dfrac {d} {dx} (\ cot x) &=−\ csc^2x\\ [4pt]
    \ dfrac {d} {dx} (\ sec x) &=\ sec x\ tan x\ [4pt]
    \ dfrac {d} {dx} (\ csc x) &=−\ csc x\ cot x.\ end {align}\ nonumber\]

    Exemplo\(\PageIndex{5}\): Finding the Equation of a Tangent Line

    Encontre a equação de uma reta tangente ao gráfico de\(f(x)=\cot x \) at\(x=\frac{π}{4}\).

    Solução

    Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de um ponto e uma inclinação nesse ponto. Para encontrar o ponto, calcule

    \(f\left(\frac{π}{4}\right)=\cot\frac{π}{4}=1\).

    Assim, a reta tangente passa pelo ponto\(\left(\frac{π}{4},1\right)\). Em seguida, encontre a inclinação encontrando a derivada de\(f(x)=\cot x \) e avaliando-a em\(\frac{π}{4}\):

    \(f′(x)=−\csc^2 x\)\(f′\left(\frac{π}{4}\right)=−\csc^2\left(\frac{π}{4}\right)=−2\)e.

    Usando a equação ponto-inclinação da reta, obtemos

    \(y−1=−2\left(x−\frac{π}{4}\right)\)

    ou equivalentemente,

    \(y=−2x+1+\frac{π}{2}\).

    Exemplo\(\PageIndex{6}\): Finding the Derivative of Trigonometric Functions

    Encontre a derivada de\(f(x)=\csc x+x\tan x .\)

    Solução

    Para encontrar essa derivada, devemos usar a regra da soma e a regra do produto. Usando a regra da soma, encontramos

    \(f′(x)=\dfrac{d}{dx}(\csc x)+\dfrac{d}{dx}(x\tan x )\).

    No primeiro termo,\(\dfrac{d}{dx}(\csc x)=−\csc x\cot x ,\) e aplicando a regra do produto ao segundo termo, obtemos

    \(\dfrac{d}{dx}(x\tan x )=(1)(\tan x )+(\sec^2 x)(x)\).

    Portanto, temos

    \(f′(x)=−\csc x\cot x +\tan x +x\sec^2 x\).

    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    Encontre a derivada de\(f(x)=2\tan x −3\cot x .\)

    Dica

    Use a regra para diferenciar um múltiplo constante e a regra para diferenciar uma diferença de duas funções.

    Responda

    \(f′(x)=2\sec^2 x+3\csc^2 x\)

    Exercício\(\PageIndex{6}\)

    Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de\(f(x)=\tan x \) at\(x=\dfrac{π}{6}\).

    Dica

    Avalie a derivada em\(x=\dfrac{π}{6}\).

    Responda

    \(\dfrac{4}{3}\)

    Derivados de ordem superior

    As derivadas de ordem superior de\(\sin x\) e\(\cos x\) seguem um padrão repetitivo. Seguindo o padrão, podemos encontrar qualquer derivada de ordem superior de\(\sin x\) e\(\cos x.\)

    Exemplo\(\PageIndex{7}\): Finding Higher-Order Derivatives of \(y=\sin x\)

    Encontre as quatro primeiras derivadas de\(y=\sin x.\)

    Solução

    Cada etapa da cadeia é simples:

    \ [\ begin {align*} y&=\ sin x\\ [4pt]
    \ dfrac {dy} {dx} &=\ cos x\\ [4pt]
    \ dfrac {d^2y} {dx^2} &=−\ sin x\\ [4pt]
    \ dfrac {d^3y} {dx^3} &=− cos\ x\\ [4pt]]
    \ dfrac {d^4y} {dx^4} &=\ sin x\ end {align*}\]

    Análise

    Depois de reconhecermos o padrão das derivadas, podemos encontrar qualquer derivada de ordem superior determinando a etapa no padrão ao qual ela corresponde. Por exemplo, cada quarta derivada de\(\sin x\) igual é igual\(\sin x\), então

    \[\dfrac{d^4}{dx^4}(\sin x)=\dfrac{d^8}{dx^8}(\sin x)=\dfrac{d^{12}}{dx^{12}}(\sin x)=…=\dfrac{d^{4n}}{dx^{4n}}(\sin x)=\sin x \nonumber \]

    \[\dfrac{d^5}{dx^5}(\sin x)=\dfrac{d^9}{dx^9}(\sin x)=\dfrac{d^{13}}{dx^{13}}(\sin x)=…=\dfrac{d^{4n+1}}{dx^{4n+1}}(\sin x)=\cos x. \nonumber \]

    Exercício\(\PageIndex{7}\)

    Para\(y=\cos x\), encontre\(\dfrac{d^4y}{dx^4}\).

    Dica

    Veja o exemplo anterior.

    Responda

    \(\cos x\)

    Exemplo\(\PageIndex{8}\): Using the Pattern for Higher-Order Derivatives of \(y=\sin x\)

    Encontre\(\dfrac{d^{74}}{dx^{74}}(\sin x)\).

    Solução

    Podemos ver imediatamente que, para a 74ª derivada de\(\sin x\),\(74=4(18)+2\), então

    \[\dfrac{d^{74}}{dx^{74}}(\sin x)=\dfrac{d^{72+2}}{dx^{72+2}}(\sin x)=\dfrac{d^2}{dx^2}(\sin x)=−\sin x. \nonumber \]

    Exercício\(\PageIndex{8}\)

    Para\(y=\sin x\), encontre\(\dfrac{d^{59}}{dx^{59}}(\sin x).\)

    Dica

    \(\dfrac{d^{59}}{dx^{59}}(\sin x)=\dfrac{d^{4⋅14+3}}{dx^{4⋅14+3}}(\sin x)\)

    Responda

    \(−\cos x\)

    Exemplo\(\PageIndex{9}\): An Application to Acceleration

    Uma partícula se move ao longo de um eixo coordenado de tal forma que sua posição no tempo\(t\) é dada por\(s(t)=2−\sin t\). Encontre\(v(π/4)\)\(a(π/4)\) e. Compare esses valores e decida se a partícula está acelerando ou diminuindo a velocidade.

    Solução

    Primeiro achado\(v(t)=s′(t)\)

    \[v(t)=s′(t)=−\cos t . \nonumber \]

    Assim,

    \(v\left(\frac{π}{4}\right)=−\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

    Em seguida, encontre\(a(t)=v′(t)\). Assim,\(a(t)=v′(t)=\sin t\) e nós temos

    \(a\left(\frac{π}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

    Desde\(v\left(\frac{π}{4}\right)=−\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0\) e\(a\left(\frac{π}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}>0\), vemos que a velocidade e a aceleração estão agindo em direções opostas; ou seja, o objeto está sendo acelerado na direção oposta à direção em que está viajando. Consequentemente, a partícula está ficando mais lenta.

    Exercício\(\PageIndex{9}\)

    Um bloco preso a uma mola está se movendo verticalmente. Sua posição no momento t é dada por\(s(t)=2\sin t\). Encontre\(v\left(\frac{5π}{6}\right)\)\(a\left(\frac{5π}{6}\right)\) e. Compare esses valores e decida se o bloqueio está acelerando ou diminuindo a velocidade.

    Dica

    Use o exemplo\(\PageIndex{9}\) como guia.

    Responda

    \(v\left(\frac{5π}{6}\right)=−\sqrt{3}<0\)\(a\left(\frac{5π}{6}\right)=−1<0\)e. O quarteirão está acelerando.

    Conceitos-chave

    • Podemos encontrar as derivadas de\(\sin x\) e\(\cos x\) usando a definição de derivada e as fórmulas de limite encontradas anteriormente. Os resultados são

    \(\dfrac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x\quad\text{and}\quad\dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big)=−\sin x\).

    • Com essas duas fórmulas, podemos determinar as derivadas de todas as seis funções trigonométricas básicas.

    Equações-chave

    • Derivada da função senoidal

    \(\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\)

    • Derivada da função cosseno

    \(\dfrac{d}{dx}(\cos x)=−\sin x\)

    • Derivada da função tangente

    \(\dfrac{d}{dx}(\tan x )=\sec^2x\)

    • Derivada da função cotangente

    \(\dfrac{d}{dx}(\cot x )=−\csc^2x\)

    • Derivada da função secante

    \(\dfrac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x \)

    • Derivada da função cossecante

    \(\dfrac{d}{dx}(\csc x)=−\csc x\cot x \)