3.6: A regra da cadeia

Objetivos de

• Indique a regra da cadeia para a composição de duas funções.
• Aplique a regra da cadeia junto com a regra de potência.
• Aplique a regra da cadeia e as regras do produto/quociente corretamente em combinação quando ambas forem necessárias.
• Reconheça a regra da cadeia para uma composição de três ou mais funções.
• Descreva a prova da regra da cadeia.

Vimos as técnicas para diferenciar funções básicas ($x^n,\sin x,\cos x,$etc.), bem como somas, diferenças, produtos, quocientes e múltiplos constantes dessas funções. No entanto, essas técnicas não nos permitem diferenciar composições de funções, como$h(x)=\sin(x^3)$ ou$k(x)=\sqrt{3x^2+1}$. Nesta seção, estudamos a regra para encontrar a derivada da composição de duas ou mais funções.

Derivando a regra da cadeia

Quando temos uma função que é uma composição de duas ou mais funções, podemos usar todas as técnicas que já aprendemos para diferenciá-la. No entanto, usar todas essas técnicas para dividir uma função em partes mais simples que possamos diferenciar pode ser complicado. Em vez disso, usamos a regra da cadeia, que afirma que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa avaliada na função interna vezes a derivada da função interna.

Para contextualizar essa regra, vamos dar uma olhada em um exemplo:$h(x)=\sin(x^3)$. Podemos pensar na derivada dessa função em relação$x$ à taxa de variação em$\sin(x^3)$ relação à mudança em$x$. Consequentemente, queremos saber como$\sin(x^3)$ muda à medida que$x$ muda. Podemos pensar nesse evento como uma reação em cadeia: como$x$ mudanças,$x^3$ mudanças, o que leva a uma mudança em$\sin(x^3)$. Essa reação em cadeia nos dá dicas sobre o que está envolvido na computação da derivada de$\sin(x^3)$. Em primeiro lugar, uma mudança na$x$ força de uma mudança$x^3$ sugere que, de alguma forma, a derivada de$x^3$ está envolvida. Além disso, a mudança na$x^3$ força de uma mudança$\sin(x^3)$ sugere que a derivada de em$\sin(u)$ relação a$u$, onde$u=x^3$, também faz parte da derivada final.

Podemos dar uma olhada mais formal na derivada de$h(x)=\sin(x^3)$ configurando o limite que nos daria a derivada em um valor específico$a$ no domínio de$h(x)=\sin(x^3)$.

$$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x−a}\nonumber$$

Essa expressão não parece particularmente útil; no entanto, podemos modificá-la multiplicando e dividindo pela expressão$x^3−a^3$ para obter

$$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x^3−a^3}⋅\dfrac{x^3−a^3}{x−a}.\nonumber$$

A partir da definição da derivada, podemos ver que o segundo fator é a derivada de$x^3$ at$x=a.$ Isso é,

$$\lim_{x→a}\dfrac{x^3−a^3}{x−a}=\dfrac{d}{dx}(x^3)\Big|_{x=a}=3a^2.\nonumber$$

No entanto, pode ser um pouco mais difícil reconhecer que o primeiro termo também é um derivado. Podemos ver isso deixando$u=x^3$ e observando isso como$x→a,u→a^3$:

$$\begin{align*} \lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x^3−a^3} &=\lim_{u→a^3}\dfrac{\sin u−\sin(a^3)}{u−a^3} \\[4pt] &=\dfrac{d}{du}(\sin u)\Big|_{u=a^3} \\[4pt] &=\cos(a^3) \end{align*}. \nonumber$$

Assim,$h'(a)=\cos(a^3)⋅3a^2$.

Em outras palavras, se$h(x)=\sin(x^3)$, então$h'(x)=\cos(x^3)⋅3x^2$. Assim, se pensarmos$h(x)=\sin(x^3)$ como a composição$(f∘g)(x)=f\big(g(x)\big)$ onde$f(x)= \sin x$ e$g(x)=x^3$, então a derivada de$h(x)=\sin(x^3)$ é o produto da derivada de$g(x)=x^3$ e a derivada da função$f(x)=\sin x$ avaliada na função$g(x)=x^3$. Neste ponto, prevemos que$h(x)=\sin\big(g(x)\big)$, para, é bem provável que$h'(x)=\cos\big(g(x)\big)g'(x)$. Como determinamos acima, esse é o caso de$h(x)=\sin(x^3)$.

Agora que derivamos um caso especial da regra da cadeia, declaramos o caso geral e o aplicamos de forma geral a outras funções compostas. Uma prova informal é fornecida no final da seção.

Regra: A regra da cadeia

$f$Leve e$g$ seja funções. Para todos$x$ no domínio do$g$ qual$g$ é diferenciável em$x$ e$f$ é diferenciável em$g(x)$, a derivada da função composta

$$h(x)=(f∘g)(x)=f\big(g(x)\big) \nonumber$$

é dado por

$$h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x). \nonumber$$

Alternativamente, se$y$ é uma função de$u$, e$u$ é uma função de$x$, então

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}. \nonumber$$

Estratégia de resolução de problemas: aplicando a regra da cadeia

1. Para diferenciar$h(x)=f\big(g(x)\big)$, comece identificando$f(x)$$g(x)$ e.
2. Encontre$f'(x)$ e avalie em$g(x)$ para obter$f'\big(g(x)\big)$.
3. Encontre$g'(x).$
4. Escreva$h'(x)=f'\big(g(x)\big)⋅g'(x).$

Nota: Ao aplicar a regra da cadeia à composição de duas ou mais funções, lembre-se de que trabalhamos de fora para dentro. Também é útil lembrar que a derivada da composição de duas funções pode ser considerada como tendo duas partes; a derivada da composição de três funções tem três partes; e assim por diante. Além disso, lembre-se de que nunca avaliamos uma derivada em uma derivada.

As regras de cadeia e potência combinadas

Agora podemos aplicar a regra da cadeia a funções compostas, mas observe que geralmente precisamos usá-la com outras regras. Por exemplo, para encontrar derivadas de funções da forma$h(x)=\big(g(x)\big)^n$, precisamos usar a regra da cadeia combinada com a regra da potência. Para fazer isso, podemos pensar em$f\big(g(x)\big)$ onde$f(x)=x^n$.$h(x)=\big(g(x)\big)^n$ Então$f'(x)=nx^{n−1}$. Assim,$f'\big(g(x)\big)=n\big(g(x)\big)^{n−1}$. Isso nos leva à derivada de uma função de potência usando a regra da cadeia,

$h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)$

Regra: Regra de potência para composição de funções (regra geral de potência)

Para todos os valores dos$x$ quais a derivada é definida, se

$$h(x)=\big(g(x)\big)^n, \nonumber$$

Então

$$h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x) \label{genpow}.$$

Exemplo$\PageIndex{1}$: Using the Chain and Power Rules

Encontre a derivada de$h(x)=\dfrac{1}{(3x^2+1)^2}$.

Solução

Primeiro, reescreva$h(x)=\dfrac{1}{(3x^2+1)^2}=(3x^2+1)^{−2}$.

Aplicando a regra de potência com$g(x)=3x^2+1$, temos

$h'(x)=−2(3x^2+1)^{−3}\cdot 6x$.

Reescrever de volta ao formulário original nos dá

$h'(x)=\dfrac{−12x}{(3x^2+1)^3}$

Exercício$\PageIndex{1}$

Encontre a derivada de$h(x)=(2x^3+2x−1)^4$.

Dica

Use a regra geral de potência (Equação\ ref {genpow}) com$g(x)=2x^3+2x−1$.

Resposta

$h'(x)=4(2x^3+2x−1)^3(6x^2+2)=8(3x^2+1)(2x^3+2x−1)^3$

Exemplo$\PageIndex{2}$: Using the Chain and Power Rules with a Trigonometric Function

Encontre a derivada de$h(x)=\sin^3x$.

Solução

Primeiro lembre-se disso$\sin^3x=(\sin x)^3$, para que possamos reescrever$h(x)=\sin^3x$ como$h(x)=(\sin x)^3$.

Aplicando a regra de potência com$g(x)=\sin x$, obtemos

$h'(x)=3(\sin x)^2\cos x=3\sin^2x\cos x$.

Exemplo$\PageIndex{3}$: Finding the Equation of a Tangent Line

Encontre a equação de uma reta tangente ao gráfico de$h(x)=\dfrac{1}{(3x−5)^2}$ at$x=2$.

Solução

Como estamos encontrando a equação de uma reta, precisamos de um ponto. A$x$ coordenada -do ponto é 2. Para encontrar a$y$ coordenada -, substitua 2 em$h(x)$. Desde então$h(2)=\dfrac{1}{(3(2)−5)^2}=1$, a questão é$(2,1)$.

Para a inclinação, precisamos$h'(2)$. Para descobrir$h'(x)$, primeiro reescrevemos$h(x)=(3x−5)^{−2}$ e aplicamos a regra de potência para obter

$h'(x)=−2(3x−5)^{−3}(3)=−6(3x−5)^{−3}$.

Ao substituir, temos$h'(2)=−6(3(2)−5)^{−3}=−6.$

Portanto, a linha tem equação$y−1=−6(x−2)$. Reescrevendo, a equação da linha é$y=−6x+13$.

Exercício$\PageIndex{2}$

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de$f(x)=(x^2−2)^3$ at$x=−2$.

Dica

Use o exemplo anterior como guia.

Resposta

$y=−48x−88$

Combinando a regra da cadeia com outras regras

Agora que podemos combinar a regra da cadeia e a regra do poder, examinamos como combinar a regra da cadeia com as outras regras que aprendemos. Em particular, podemos usá-lo com as fórmulas para as derivadas de funções trigonométricas ou com a regra do produto.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Using the Chain Rule on a General Cosine Function

Encontre a derivada de$h(x)=\cos\big(g(x)\big).$

Solução

Pense$h(x)=\cos\big(g(x)\big)$ como$f\big(g(x)\big)$ onde$f(x)=\cos x$. Desde então$f'(x)=−\sin x$, nós temos$f'\big(g(x)\big)=−\sin\big(g(x)\big)$. Em seguida, fazemos o seguinte cálculo.

\ [\ begin {align*} h' (x) &=f'\ big (g (x)\ big)\ cdot g' (x) & &\ text {Aplique a regra da cadeia.}\\ [4pt]
&=−\ sin\ big (g (x)\ big)\ cdot g' (x) & &\ text {Substitute}\; f'\ big (g (x)\ text {Substitute}\; f'\ big (g (x)\ text {Substitute}\; f'\ big (g (x)\ text {Substitute}\; f'\ big (g (x) grande) =−\ sin\ big (g (x)\ big). \ end {align*}\ nonumber\]

Assim, a derivada de$h(x)=\cos\big(g(x)\big)$ é dada por$h'(x)=−\sin\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$

No exemplo a seguir, aplicamos a regra que acabamos de derivar.

Exemplo$\PageIndex{5}$: Using the Chain Rule on a Cosine Function

Encontre a derivada de$h(x)=\cos(5x^2).$

Solução

Deixe$g(x)=5x^2$. Então$g'(x)=10x$. Usando o resultado do exemplo anterior,

$h'(x)=−\sin(5x^2)⋅10x=−10x\sin(5x^2)$

Exemplo$\PageIndex{6}$: Using the Chain Rule on Another Trigonometric Function

Encontre a derivada de$h(x)=\text{sec}(4x^5+2x).$

Solução

Aplique a regra da cadeia$h(x)=\text{sec}\big(g(x)\big)$ para obter

$h'(x)=\text{sec}(g(x))\tan\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$

Neste problema,$g(x)=4x^5+2x,$ então temos$g'(x)=20x^4+2.$ Portanto, obtemos

$h'(x)=\text{sec}(4x^5+2x)\tan(4x^5+2x)(20x^4+2)=(20x^4+2)\text{sec}(4x^5+2x)\tan(4x^5+2x).$

Exercício$\PageIndex{3}$

Encontre a derivada de$h(x)=\sin(7x+2).$

Dica

Aplique a regra da cadeia$h(x)=\sin\big(g(x)\big)$ primeiro e depois use$g(x)=7x+2$.

Resposta

$h'(x)=7\cos(7x+2)$

Neste ponto, fornecemos uma lista de fórmulas derivadas que podem ser obtidas aplicando a regra da cadeia em conjunto com as fórmulas para derivadas de funções trigonométricas. Suas derivações são semelhantes às usadas nos exemplos acima. Por conveniência, as fórmulas também são fornecidas na notação de Leibniz, que alguns estudantes acham mais fácil de lembrar. (Discutimos a regra da cadeia usando a notação de Leibniz no final desta seção.) Não é absolutamente necessário memorizá-las como fórmulas separadas, pois todas elas são aplicações da regra da cadeia às fórmulas aprendidas anteriormente.

Usando a regra da cadeia com funções trigonométricas

Para todos os valores dos$x$ quais a derivada é definida,

$\dfrac{d}{dx}\Big(\sin(g(x))\Big)=\cos(g(x))\cdot g'(x)$	$\dfrac{d}{dx}\Big(\sin u\Big)=\cos u\cdot\dfrac{du}{dx}$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\cos(g(x))\Big)=−\sin(g(x))\cdot g'(x)$	$\dfrac{d}{dx}\Big(\cos u\Big)=−\sin u\cdot\dfrac{du}{dx}$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\tan(g(x))\Big)=\sec^2(g(x))\cdot g'(x)$	$\dfrac{d}{dx}\Big(\tan u\Big)= \text{sec}^2u\cdot\dfrac{du}{dx}$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\cot(g(x))\Big)=−\text{csc}^2(g(x))\cdot g'(x)$	$\dfrac{d}{dx}\Big(\cot u\Big)=−\text{csc}^2u\cdot\dfrac{du}{dx}$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\text{sec}(g(x))\Big)=\text{sec}(g(x))\tan(g(x))\cdot g'(x)$	$\dfrac{d}{dx}\Big(\text{sec}\,u\Big)=\text{sec}\,u\tan u\cdot\dfrac{du}{dx}$
$\dfrac{d}{dx}\Big(\text{csc}(g(x))\Big)=−\text{csc}(g(x))\cot(g(x))\cdot g'(x)$	$\dfrac{d}{dx}\Big(\text{csc}\,u\Big)=−\text{csc}\,u\cot u \cdot\dfrac{du}{dx}.$

Exemplo$\PageIndex{7}$: Combining the Chain Rule with the Product Rule

Encontre a derivada de$h(x)=(2x+1)^5(3x−2)^7$.

Solução

Primeiro, aplique a regra do produto e, em seguida, aplique a regra da cadeia a cada termo do produto.

\ (\ begin {align*} h' (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ big ((2x+1) ^5\ big) ‣ (3x−2) ^7+\ dfrac {d} {dx}\ big ((3x−2) ^7\ big) □ (2x+1) ^5 & &\ text {Aplique a regra do produto.}\ [4pt]
&=5 (2x+1) ^4⋅2‣ (3x−2) ^7+7 (3x−2) ^6⋅3‣ (2x+1) ^5 & &\ text {Aplique a regra da cadeia.}\\ [4pt]
&=10 (2x+1) ^4 (3x−2) ^7+21 ( 3x−2) ^6 (2x+1) ^5 & &\ text {Simplifique.}\\ [4pt]
& =( 2x+1) ^4 (3x−2) ^6 (10 (3x−2) +21 (2x+1)) & &\ text {Fator out} (2x+1) ^4 (3x−2) ^6\\ [4pt] & =( 2x+1) ^4 (3x−2) ^6\\ [4pt] & =( 2x+1) ^4 (3x−2) ^6\\ [4pt]
& =( 2x+1) ^+1) ^4 (3x−2) ^6 (72x+1) & &\ text {Simplificar.} \ end {align*}\)

Exercício$\PageIndex{4}$

Encontre a derivada de$h(x)=\dfrac{x}{(2x+3)^3}$.

Dica

Comece aplicando a regra do quociente. Lembre-se de usar a regra da cadeia para diferenciar o denominador.

Resposta

$h'(x)=\dfrac{3−4x}{(2x+3)^4}$

Compósitos de três ou mais funções

Agora podemos combinar a regra da cadeia com outras regras para diferenciar funções, mas quando estamos diferenciando a composição de três ou mais funções, precisamos aplicar a regra da cadeia mais de uma vez. Se analisarmos essa situação em termos gerais, podemos gerar uma fórmula, mas não precisamos nos lembrar dela, pois podemos simplesmente aplicar a regra da cadeia várias vezes.

Em termos gerais, primeiro deixamos

$$k(x)=h\Big(f\big(g(x)\big)\Big).\nonumber$$

Em seguida, aplicando a regra da cadeia assim que obtivermos

$$k'(x)=\dfrac{d}{dx}\Big(h\big(f\big(g(x)\big)\big)\Big)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)⋅\dfrac{d}{dx}\Big(f\big(g(x)\big)\Big).\nonumber$$

Aplicando a regra da cadeia novamente, obtemos

$$k'(x)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)\cdot f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\nonumber$$

Regra: Regra em cadeia para uma composição de três funções

Para todos os valores dos$x$ quais a função é diferenciável, se

$k(x)=h\Big(f\big(g(x)\big)\Big),$

depois

$k'(x)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)\cdot f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$

Em outras palavras, estamos aplicando a regra da cadeia duas vezes.

Observe que a derivada da composição de três funções tem três partes. (Da mesma forma, a derivada da composição de quatro funções tem quatro partes e assim por diante.) Além disso, lembre-se de que sempre podemos trabalhar de fora para dentro, tomando uma derivada por vez.

Exemplo$\PageIndex{8}$: Differentiating a Composite of Three Functions

Encontre a derivada de$k(x)=\cos^4(7x^2+1).$

Solução

Primeiro, reescreva$k(x)$ como

$k(x)=\big(\cos(7x^2+1)\big)^4$.

Em seguida, aplique a regra da cadeia várias vezes.

\ (\ begin {align*} k' (x) &=4 (\ cos (7x^2+1)) ^3\ cdot\ dfrac {d} {dx}\ big (\ cos (7x^2+1)\ big) & &\ text {Aplique a regra da cadeia.}\\ [4pt]
&=4 (\ cos (7x^2+1)) ^3 (\ sin − (7x^2+1))\ cdot\ dfrac {d} {dx}\ big (7x^2+1\ big) & &\ text {Aplique a regra da cadeia.}\\ [4pt]
&=4 (\ cos (7x^2+1)) ^3 (−\ sin (7x^2+1)) (14x) & &\ text {Aplique a regra da cadeia.}\\ [4pt]
&=−56x\ sin (7x^2+1)\ cos^3 (7x^2+1) & &\ text {Simplifique}\ end {align*}\)

Exercício$\PageIndex{5}$

Encontre a derivada de$h(x)=\sin^6(x^3).$

Dica

Reescreva$h(x)=\sin^6(x^3)=\big(\sin(x^3)\big)^6$ e use o Example$\PageIndex{8}$ como guia.

Resposta

$h'(x)=18x^2\sin^5(x^3)\cos(x^3)$

Exemplo$\PageIndex{9}$: Using the Chain Rule in a Velocity Problem

Uma partícula se move ao longo de um eixo coordenado. Sua posição no momento t é dada por$s(t)=\sin(2t)+\cos(3t)$. Qual é a velocidade da partícula no momento$t=\dfrac{π}{6}$?

Solução

Para descobrir$v(t)$ a velocidade da partícula no momento$t$, devemos diferenciar$s(t)$. Assim,

$$v(t)=s'(t)=2\cos(2t)−3\sin(3t).\nonumber$$

Prova da regra da cadeia

Neste ponto, apresentamos uma prova muito informal da regra da cadeia. Por uma questão de simplicidade, ignoramos certos problemas: por exemplo, presumimos que$g(x)≠g(a)$$x≠a$ em algum intervalo aberto contendo$a$. Começamos aplicando a definição de limite da derivada à função$h(x)$ para obter$h'(a)$:

$$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{x−a}. \nonumber$$

Reescrevendo, obtemos

$$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{g(x)−g(a)}⋅\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}. \nonumber$$

Embora esteja claro que

$$\lim_{x→a}\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}=g'(a), \nonumber$$

não é óbvio que

$$\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{g(x)−g(a)}=f'\big(g(a)\big). \nonumber$$

Para ver que isso é verdade, primeiro lembre-se de que uma vez que$g$ é diferenciável em$a$, também$g$ é contínuo em$a.$ Assim,

$$\lim_{x→a}g(x)=g(a). \nonumber$$

Em seguida, faça a substituição$y=g(x)$$b=g(a)$ e use a mudança de variáveis no limite para obter

$$\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f \big(g(a) \big)}{g(x)−g(a)}=\lim_{y→b}\dfrac{f(y)−f(b)}{y−b}=f'(b)=f'\big(g(a)\big). \nonumber$$

Finalmente,

$$h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big )}{g(x)−g(a)}⋅\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}=f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a). \nonumber$$

□

Exemplo$\PageIndex{10}$: Using the Chain Rule with Functional Values

Deixe$h(x)=f\big(g(x)\big).$ If e$g(1)=4,g'(1)=3$$f'(4)=7$, encontre$h'(1).$

Solução

Use a regra da cadeia e substitua.

\ [\ begin {align*} h' (1) &=f'\ big (g (1)\ big)\ cdot g' (1) & &\ text {Aplique a regra da cadeia.}\\ [4pt]
&=f' (4) ⋅3 & &\ text {Substitute}\; g (1) =4\;\ text {e}\; g' (1) =3\; g (1).\ [4pt]
&=7⋅3 & &\ text {Substituto}\; f' (4) =7.\\ [4pt]
&=21 & &\ texto {Simplifique.} \ end {align*}\ nonumber\]

Exercício$\PageIndex{6}$

Dado$h(x)=f(g(x))$. Se$g(2)=−3,g'(2)=4,$ e$f'(−3)=7$, encontre$h'(2)$.

Dica

Siga o exemplo$\PageIndex{10}$.

Resposta

28

A regra da cadeia usando a notação de Leibniz

Como acontece com outras derivadas que vimos, podemos expressar a regra da cadeia usando a notação de Leibniz. Essa notação para a regra da cadeia é muito usada em aplicações de física.

Para$h(x)=f(g(x)),$ deixar$u=g(x)$ e$y=h(x)=f(u).$ assim,

$$h'(x)=\dfrac{dy}{dx}\nonumber$$

$$f'(g(x))=f'(u)=\dfrac{dy}{du}\nonumber$$

e

$$g'(x)=\dfrac{du}{dx}.\nonumber$$

Consequentemente,

$$\dfrac{dy}{dx}=h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}.\nonumber$$

Regra: Regra em cadeia usando a notação de Leibniz

Se$y$ é uma função de$u$, e$u$ é uma função de$x$, então

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}. \nonumber$$

Exemplo$\PageIndex{11}$: Taking a Derivative Using Leibniz’s Notation I

Encontre a derivada de$y=\left(\dfrac{x}{3x+2}\right)^5.$

Solução

Primeiro, deixe$u=\dfrac{x}{3x+2}$. Assim,$y=u^5$. Em seguida, encontre$\dfrac{du}{dx}$$\dfrac{dy}{du}$ e. Usando a regra do quociente,

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{2}{(3x+2)^2}$

e

$\dfrac{dy}{du}=5u^4$.

Finalmente, juntamos tudo.

\ [\ begin {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ dfrac {dy} {du} .org\ dfrac {du} {dx} & &\ text {Aplique a regra da cadeia.}\\ [4pt]
&=5u^4\ dfrac {2} {(3x+2) ^2} & & &\ text {Substitute}\\; frac {dy} {du} =5u^4\;\ text {e}\;\ frac {du} {dx} =\ frac {2} {(3x+2) ^2}.\\ [4pt]
&=5\ left (\ dfrac {x} {3x+2}\ right) ^4‣\ dfrac {2} {(3x+2) ^2} & &\ text {Substitute}\; u=\ frac {x} {3x+2}.\\ [4pt]
&=\ dfrac {10x^4} {(3x+2) ^6} & &\ text {Simplificar.} \ end {align*}\]

É importante lembrar que, ao usar a forma Leibniz da regra da cadeia, a resposta final deve ser expressa inteiramente em termos da variável original dada no problema.

Exemplo$\PageIndex{12}$: Taking a Derivative Using Leibniz’s Notation II

Encontre a derivada de$y=\tan(4x^2−3x+1).$

Solução

Primeiro, deixe$u=4x^2−3x+1.$ Então$y=\tan u$. Em seguida, encontre$\dfrac{du}{dx}$ e$\dfrac{dy}{du}$:

$\dfrac{du}{dx}=8x−3$e$\dfrac{dy}{du}=\text{sec}^2u.$

Finalmente, juntamos tudo.

\ [\ begin {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ dfrac {dy} {du} .org\ dfrac {du} {dx} & &\ text {Aplique a regra da cadeia.}\\ [4pt]
&=\ text {sec} ^2u5000 (8x−3) & &\ text {Use}\;\ dfrac {du} {dd3) x} =8x−3\;\ texto {e}\;\ dfrac {dy} {du} =\ texto {sec} ^2u.\\ [4pt]
&=\ texto {sec} ^2 (4x^2−3x+1) ‣ (8x−3) & & amp;\ text {Substituto}\; u=4x^2−3x+1. \ end {align*}\ nonumber\]

Exercício$\PageIndex{7}$

Use a notação de Leibniz para encontrar a derivada de$y=\cos(x^3)$. Certifique-se de que a resposta final seja expressa inteiramente em termos da variável$x$.

Dica

Deixe$u=x^3$.

Resposta

$\dfrac{dy}{dx}=−3x^2\sin(x^3).$

Conceitos-chave

• A regra da cadeia nos permite diferenciar composições de duas ou mais funções. Afirma que para$h(x)=f\big(g(x)\big),$

$h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$

Na notação de Leibniz, essa regra assume a forma

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}$.

• Podemos usar a regra da cadeia com outras regras que aprendemos e podemos derivar fórmulas para algumas delas.
• A regra da cadeia se combina com a regra do poder para formar uma nova regra:

Se$h(x)=\big(g(x)\big)^n$, então$h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)$.

• Quando aplicada à composição de três funções, a regra da cadeia pode ser expressa da seguinte forma: Se$h(x)=f\Big(g\big(k(x)\big)\Big),$ então$h'(x)=f'\Big(g\big(k(x)\big)\Big)\cdot g'\big(k(x)\big)\cdot k'(x).$

Equações-chave

• A regra da cadeia

$h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$

• A regra de potência para funções

$h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)$

Glossário

regra da cadeia

a regra da cadeia define a derivada de uma função composta como a derivada da função externa avaliada na função interna vezes a derivada da função interna