3.6E: Exercícios para a Seção 3.6

Last updated
Save as PDF

Page ID: 188453

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Nos exercícios 1 a 6, dê$y=f(u)$ e$u=g(x)$, encontre$\dfrac{dy}{dx}$ usando a notação de Leibniz para a regra da cadeia:$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}.$

1)$y=3u−6,\quad u=2x^2$

2)$y=6u^3,\quad u=7x−4$

Responda: $\dfrac{dy}{dx} = 18u^2⋅7=18(7x−4)^2⋅7= 126(7x−4)^2$

3)$y=\sin u,\quad u=5x−1$

4)$y=\cos u,\quad u=-\frac{x}{8}$

Responda: $\dfrac{dy}{dx} = −\sin u⋅\left(-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}\sin(-\frac{x}{8})$

5)$y=\tan u,\quad u=9x+2$

6)$y=\sqrt{4u+3},\quad u=x^2−6x$

Responda: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{8x−24}{2\sqrt{4u+3}}=\dfrac{4x−12}{\sqrt{4x^2−24x+3}}$

Para cada um dos exercícios a seguir,

a. decompõe cada função na forma$y=f(u)$ e$u=g(x)$, e

b. find$\dfrac{dy}{dx}$ em função de$x$.

7)$y=(3x−2)^6$

8)$y=(3x^2+1)^3$

Responda: a.$f(u)=u^3,\quad u=3x^2+1$;

b.$\dfrac{dy}{dx} = 18x(3x^2+1)^2$

9)$y=\sin^5(x)$

10)$y=\left(\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}\right)^7$

Responda: a.$f(u)=u^7,\quad u=\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}$;

b.$\dfrac{dy}{dx} = 7\left(\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}\right)^6⋅\left(\dfrac{1}{7}−\dfrac{7}{x^2}\right)$

11)$y=\tan(\sec x)$

12)$y=\csc(πx+1)$

Responda: a.$f(u)=\csc u,\quad u=πx+1$;

b.$\dfrac{dy}{dx} = −π\csc(πx+1)⋅\cot(πx+1)$

13)$y=\cot^2x$

14)$y=−6\sin^{−3}x$

Responda: a.$f(u)=−6u^{−3},\quad u=\sin x$;

b.$\dfrac{dy}{dx} = 18\sin^{−4}x⋅\cos x$

Nos exercícios 15 a 24, encontre$\dfrac{dy}{dx}$ para cada função.

15)$y=(3x^2+3x−1)^4$

16)$y=(5−2x)^{−2}$

Responda: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4}{(5−2x)^3}$

17)$y=\cos^3(πx)$

18)$y=(2x^3−x^2+6x+1)^3$

Responda: $\dfrac{dy}{dx}=6(2x^3−x^2+6x+1)^2⋅(3x^2−x+3)$

19)$y=\dfrac{1}{\sin^2(x)}$

20)$y=\big(\tan x+\sin x\big)^{−3}$

Responda: $\dfrac{dy}{dx}=−3\big(\tan x+\sin x\big)^{−4}⋅(\sec^2x+\cos x)$

21)$y=x^2\cos^4x$

22)$y=\sin(\cos 7x)$

Responda: $\dfrac{dy}{dx}=−7\cos(\cos 7x)⋅\sin 7x$

23)$y=\sqrt{6+\sec πx^2}$

24)$y=\cot^3(4x+1)$

Responda: $\dfrac{dy}{dx}=−12\cot^2(4x+1)⋅\csc^2(4x+1)$

25) Deixe$y=\big[f(x)\big]^3$ e suponha isso$f′(1)=4$ e$\frac{dy}{dx}=10$ para$x=1$. Encontre$f(1)$.

26) Deixe$y=\big(f(x)+5x^2\big)^4$ e suponha isso$f(−1)=−4$ e$\frac{dy}{dx}=3$ quando$x=−1$. Encontre$f′(−1)$

Responda: $f′(−1)=10\frac{3}{4}$

27) Deixe$y=(f(u)+3x)^2$$u=x^3−2x$ e. Se$f(4)=6$ e$\frac{dy}{dx}=18$ quando$x=2$, encontre$f′(4)$.

28) [T] Encontre a equação da reta tangente$y=−\sin(\frac{x}{2})$ à origem. Use uma calculadora para representar graficamente a função e a linha tangente juntas.

Responda: $y=-\frac{1}{2}x$

29) [T] Encontre a equação da reta tangente até o$y=\left(3x+\frac{1}{x}\right)^2$ ponto$(1,16)$. Use uma calculadora para representar graficamente a função e a linha tangente juntas.

30) Encontre as$x$ coordenadas -nas quais a reta tangente$y=\left(x−\frac{6}{x}\right)^8$ é horizontal.

Responda: $x=±\sqrt{6}$

31) [T] Encontre uma equação da reta que seja normal$g(θ)=\sin^2(πθ)$ no ponto$\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)$. Use uma calculadora para representar graficamente a função e a linha normal juntas.

Para os exercícios 32 a 39, use as informações na tabela a seguir para encontrar$h′(a)$ o valor fornecido para$a$.

$x$	$f(x)$	$f'(x)$	$g(x)$	$g'(x)$
0	2	5	0	2
1	1	−2	3	0
2	4	4	1	−1
3	3	−3	2	3

32)$h(x)=f\big(g(x)\big);\quad a=0$

Responda: $h'(0) = 10$

33)$h(x)=g\big(f(x)\big);\quad a=0$

34)$h(x)=\big(x^4+g(x)\big)^{−2};\quad a=1$

Responda: $h'(1) = −\frac{1}{8}$

(35)$h(x)=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^2;\quad a=3$

36)$h(x)=f\big(x+f(x)\big);\quad a=1$

Responda: $h'(1) = −4$

37)$h(x)=\big(1+g(x)\big)^3;\quad a=2$

38)$h(x)=g\big(2+f(x^2)\big);\quad a=1$

Responda: $h'(1) = −12$

39)$h(x)=f\big(g(\sin x)\big);\quad a=0$

40) [T] A função de posição de um trem de carga é dada por$s(t)=100(t+1)^{−2}$, com$s$ em metros e$t$ em segundos. Às vezes$t=6$ s, encontre o trem

a. velocidade e

b. aceleração.

c. Considerando seus resultados nas partes a. e b., o trem está acelerando ou desacelerando?

Responda: a.$v(6) = −\frac{200}{343}$ m/s,

b.$a(6) = \frac{600}{2401}\;\text{m/s}^2,$

c. O trem está desacelerando, pois a velocidade e a aceleração têm sinais opostos.

41) [T] Uma massa pendurada em uma mola vertical está em movimento harmônico simples, conforme dado pela seguinte função de posição, onde$t$ é medida em segundos e$s$ em polegadas:

\[s(t)=−3\cos\left(πt+\frac{π}{4}\right).\nonumber \]

a. Determine a posição da mola em$t=1.5$ s.

b. Encontre a velocidade da mola em$t=1.5$ s.

42) [T] O custo total para produzir$x$ caixas de biscoitos Thin Mint Girl Scout é de$C$ dólares, onde$C=0.0001x^3−0.02x^2+3x+300.$ em$t$ semanas a produção é estimada em$x=1600+100t$ caixas.

a. Encontre o custo marginal$C′(x).$

b. Use a notação de Leibniz para a regra da cadeia,$\dfrac{dC}{dt}=\dfrac{dC}{dx}⋅\dfrac{dx}{dt}$, para encontrar a taxa em relação ao tempo em$t$ que o custo está mudando.

c. Use seu resultado na parte b. para determinar a rapidez com que os custos aumentam em$t=2$ semanas. Inclua unidades com a resposta.

Responda: a.$C′(x)=0.0003x^2−0.04x+3$

b.$\dfrac{dC}{dt}=100⋅(0.0003x^2−0.04x+3) = 100⋅(0.0003(1600+100t)^2−0.04(1600+100t)+3) = 300t^2 +9200t +70700$

c. Aproximadamente $90.300 por semana

43) [T] A fórmula para a área de um círculo é$A=πr^2$, onde$r$ está o raio do círculo. Suponha que um círculo esteja se expandindo, o que significa que tanto a área$A$ quanto o raio$r$ (em polegadas) estão se expandindo.

a. Suponha$r=2−\dfrac{100}{(t+7)^2}$ onde$t$ está o tempo em segundos. Use a regra da cadeia$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}⋅\dfrac{dr}{dt}$ para encontrar a taxa na qual a área está se expandindo.

b. Use seu resultado na parte a. para encontrar a taxa na qual a área está se expandindo em$t=4$ s.

44) [T] A fórmula para o volume de uma esfera é$S=\frac{4}{3}πr^3$, onde$r$ (em pés) é o raio da esfera. Suponha que uma bola de neve esférica esteja derretendo ao sol.

a. Suponha$r=\dfrac{1}{(t+1)^2}−\dfrac{1}{12}$ onde$t$ está o tempo em minutos. Use a regra da cadeia$\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{dS}{dr}⋅\dfrac{dr}{dt}$ para encontrar a taxa na qual a bola de neve está derretendo.

b. Use o resultado na parte a. para encontrar a taxa na qual o volume está mudando no$t=1$ mínimo.

Responda: a.$\dfrac{dS}{dt}=−\dfrac{8πr^2}{(t+1)^3} = −\dfrac{8π\left( \dfrac{1}{(t+1)^2}−\dfrac{1}{12} \right)^2}{(t+1)^3}$

b. O volume está diminuindo a uma taxa de$−\frac{π}{36}\; \text{ft}^3$ /min

45) [T] A temperatura diária em graus Fahrenheit de Phoenix no verão pode ser modelada pela função$T(x)=94−10\cos\left[\frac{π}{12}(x−2)\right]$, onde$x$ é horas depois da meia-noite. Encontre a taxa na qual a temperatura está mudando às 16h.

46) [T] A profundidade (em pés) da água em uma doca muda com o aumento e a queda das marés. A profundidade é modelada pela função$D(t)=5\sin\left(\frac{π}{6}t−\frac{7π}{6}\right)+8$, onde$t$ é o número de horas após a meia-noite. Encontre a taxa na qual a profundidade está mudando às 6 da manhã.

Responda: $~2.3$pés/hora

\(x\)	\(f(x)\)	\(f'(x)\)	\(g(x)\)	\(g'(x)\)
0	2	5	0	2
1	1	−2	3	0
2	4	4	1	−1
3	3	−3	2	3