3.8: Diferenciação implícita

Objetivos de

• Encontre a derivada de uma função complicada usando a diferenciação implícita.
• Use a diferenciação implícita para determinar a equação de uma reta tangente.

Já estudamos como encontrar equações de retas tangentes a funções e a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Em todos esses casos, tínhamos a equação explícita para a função e diferenciamos essas funções explicitamente. Suponha, em vez disso, que desejemos determinar a equação de uma reta tangente a uma curva arbitrária ou a taxa de variação de uma curva arbitrária em um ponto. Nesta seção, resolvemos esses problemas encontrando as derivadas de funções que definem$y$ implicitamente em termos de$x$.

Diferenciação implícita

Na maioria das discussões de matemática, se a variável dependente$y$ for uma função da variável independente$x$, expressamos y em termos de$x$. Se for esse o caso, dizemos que$y$ é uma função explícita de$x$. Por exemplo, quando escrevemos a equação$y=x^2+1$, estamos definindo y explicitamente em termos de$x$. Por outro lado, se a relação entre a função$y$ e a variável$x$ é expressa por uma equação onde não$y$ é expressa inteiramente em termos de$x$, dizemos que a equação define$y$ implicitamente em termos de$x$. Por exemplo, a equação$y−x^2=1$ define a função$y=x^2+1$ implicitamente.

A diferenciação implícita nos permite encontrar inclinações de tangentes a curvas que claramente não são funções (elas falham no teste da linha vertical). Estamos usando a ideia de que partes de$y$ são funções que satisfazem a equação dada, mas que y não é realmente uma função de$x$.

Em geral, uma equação define uma função implicitamente se a função satisfizer essa equação. Uma equação pode definir muitas funções diferentes implicitamente. Por exemplo, as funções

$$y=\sqrt{25−x^2}\nonumber$$

e

$$y=\begin{cases}\sqrt{25−x^2}, & \text{if }−5≤x<0\\ −\sqrt{25−x^2}, & \text{if }0≤x≤5\end{cases}\nonumber$$

que são ilustradas na Figura$\PageIndex{1}$, são apenas duas das muitas funções definidas implicitamente pela equação$x^2+y^2=25$.

Figura: A$\PageIndex{1}$ equação define$x^2+y^2=25$ muitas funções implicitamente.

Se quisermos encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de$x^2+y^2=25$ no ponto$(3,4)$, poderíamos calcular a derivada da função$y=\sqrt{25−x^2}$ em$x=3$. Por outro lado, se quisermos a inclinação da reta tangente no ponto$(3,−4)$, poderíamos usar a derivada de$y=−\sqrt{25−x^2}$. No entanto, nem sempre é fácil resolver uma função definida implicitamente por uma equação. Felizmente, a técnica de diferenciação implícita nos permite encontrar a derivada de uma função definida implicitamente sem nunca resolver a função explicitamente. O processo de descoberta$\dfrac{dy}{dx}$ usando diferenciação implícita é descrito na seguinte estratégia de resolução de problemas.

Estratégia de resolução de problemas: diferenciação implícita

Para realizar a diferenciação implícita em uma equação que define uma função$y$ implicitamente em termos de uma variável$x$, use as seguintes etapas:

1. Pegue a derivada de ambos os lados da equação. Lembre-se de que isso$y$ é uma função do$x$. Consequentemente, enquanto $$\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\nonumber$$ e $$\dfrac{d}{dx}(\sin y)=\cos y\cdot\dfrac{dy}{dx}\nonumber$$ porque devemos usar a regra da cadeia para diferenciar em$\sin y$ relação$x$ a.
2. Reescreva a equação para que todos os termos que contêm$dy/dx$ estejam à esquerda e todos os termos que não contêm$dy/dx$ estejam à direita.
3. Fale$dy/dx$ à esquerda.
4. Resolva isso$dy/dx$ dividindo os dois lados da equação por uma expressão algébrica apropriada.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Using Implicit Differentiation

Supondo que$y$ seja definido implicitamente pela equação$x^2+y^2=25$, encontre$\dfrac{dy}{dx}$.

Solução

Siga as etapas da estratégia de solução de problemas.

$\dfrac{d}{dx}(x^2+y^2)=\dfrac{d}{dx}(25)$	Etapa 1. Diferencie os dois lados da equação.
$\dfrac{d}{dx}(x^2)+\dfrac{d}{dx}(y^2)=0$	Etapa 1.1. Use a regra de soma à esquerda. À direita$\dfrac{d}{dx}(25)=0$.
$2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$	Etapa 1.2. Pegue os derivados, então$\dfrac{d}{dx}(x^2)=2x$$\dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\dfrac{dy}{dx}$ e.
$2y\dfrac{dy}{dx}=−2x$	Etapa 2. Mantenha os termos com$\dfrac{dy}{dx}$ à esquerda. Mova os termos restantes para a direita.
$\dfrac{dy}{dx}=−\dfrac{x}{y}$	Etapa 4. Divida os dois lados da equação por$2y$. (A etapa 3 não se aplica nesse caso.)

Análise

Observe que a expressão resultante para$\dfrac{dy}{dx}$ é em termos da variável independente$x$ e da variável dependente$y$. Embora em alguns casos seja possível expressar$x$ apenas$\dfrac{dy}{dx}$ em termos de, geralmente não é possível fazê-lo.

Exemplo$\PageIndex{2}$: Using Implicit Differentiation and the Product Rule

Supondo que$y$ seja definido implicitamente pela equação$x^3\sin y+y=4x+3$, encontre$\dfrac{dy}{dx}$.

Solução

$\dfrac{d}{dx}(x^3\sin y+y)=\dfrac{d}{dx}(4x+3)$	Etapa 1: diferencie os dois lados da equação.
$\dfrac{d}{dx}(x^3\sin y)+\dfrac{d}{dx}(y)=4$	Etapa 1.1: aplique a regra de soma à esquerda. À direita,$\dfrac{d}{dx}(4x+3)=4$.
$\left(\dfrac{d}{dx}(x^3)⋅\sin y+\dfrac{d}{dx}(\sin y)⋅x^3\right)+\dfrac{dy}{dx}=4$	Etapa 1.2: Use a regra do produto para encontrar$\dfrac{d}{dx}(x^3\sin y)$. Observe isso$\dfrac{d}{dx}(y)=\dfrac{dy}{dx}$.
$3x^2\sin y+(\cos y\dfrac{dy}{dx})⋅x^3+\dfrac{dy}{dx}=4$	Etapa 1.3: Nós sabemos$\dfrac{d}{dx}(x^3)=3x^2$. Use a regra da cadeia para obter$\dfrac{d}{dx}(\sin y)=\cos y\dfrac{dy}{dx}$.
$x^3\cos y\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{dy}{dx}=4−3x^2\sin y$	Etapa 2: mantenha todos os termos$\dfrac{dy}{dx}$ contidos à esquerda. Mova todos os outros termos para a direita.
$\dfrac{dy}{dx}(x^3\cos y+1)=4−3x^2\sin y$	Etapa 3:$\dfrac{dy}{dx}$ fatore à esquerda.
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4−3x^2\sin y}{x^3\cos y+1}$	Etapa 4: resolva$\dfrac{dy}{dx}$ por dividindo os dois lados da equação por$x^3\cos y+1$.

Exemplo$\PageIndex{3}$: Using Implicit Differentiation to Find a Second Derivative

Descubra$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ se$x^2+y^2=25$.

Solução

No exemplo$\PageIndex{1}$, mostramos isso$\dfrac{dy}{dx}=−\dfrac{x}{y}$. Podemos pegar a derivada de ambos os lados dessa equação para encontrar$\dfrac{d^2y}{dx^2}$.

\ (\ begin {align*}\ dfrac {d^2y} {dx^2} &=\ dfrac {d} {dy}\ left (−\ dfrac {x} {y}\ right) &\ text {Diferencie os dois lados de}\ dfrac {dy} {dx} =−\ dfrac {x} {y}.\\ [4pt]
−\ dfrac {\ left (1⋅y−x\ dfrac {dy} {dx}\ right)} {y^2} & &\ text {Use a regra do quociente para encontrar}\ dfrac {d} {dy}\ left (−\ dfrac {x} {y} \ right).\\ [4pt]
&=\ dfrac {−y+x\ dfrac {dy} {dx}} {y^2} & &\ text {Simplifique.}\\ [4pt]
&=\ dfrac {−y+x\ left (−\ dfrac {x} {y}\ right)} {y^2} & &\ text {Substituto} dfrac {dy} {dx} =−\ dfrac {x} {y}.\\ [4pt]
&=\ dfrac {−y^2−x^2} {y^3} & &\ text {Simplificar.} \ end {align*}\)

Neste ponto, encontramos uma expressão para$\dfrac{d^2y}{dx^2}$. Se escolhermos, podemos simplificar ainda mais a expressão lembrando isso$x^2+y^2=25$ e fazendo essa substituição no numerador para obter$\dfrac{d^2y}{dx^2}=−\dfrac{25}{y^3}$.

Exercício$\PageIndex{1}$

Encontre$\dfrac{dy}{dx}$ para$y$ definido implicitamente pela equação$4x^5+\tan y=y^2+5x$.

Dica

Siga a estratégia de resolução de problemas, lembrando-se de aplicar a regra da cadeia para diferenciar$\tan y$$y^2$ e.

Responda

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{5−20x^4}{\sec^2y−2y} \nonumber$$

Encontrando linhas tangentes implicitamente

Agora que vimos a técnica de diferenciação implícita, podemos aplicá-la ao problema de encontrar equações de retas tangentes a curvas descritas por equações.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Finding a Tangent Line to a Circle

Encontre a equação da reta tangente à curva$x^2+y^2=25$ no ponto$(3,−4)$.

Solução

Embora pudéssemos encontrar essa equação sem usar diferenciação implícita, usar esse método torna isso muito mais fácil. No exemplo$\PageIndex{1}$, encontramos$\dfrac{dy}{dx}=−\dfrac{x}{y}$.

A inclinação da reta tangente é encontrada$(3,−4)$ substituindo-a por essa expressão. Consequentemente, a inclinação da reta tangente é$\dfrac{dy}{dx}\Big|_{(3,−4)}=−\dfrac{3}{−4}=\dfrac{3}{4}$.

Usando o ponto$(3,−4)$ e a inclinação$\dfrac{3}{4}$ na equação ponto-inclinação da reta, obtemos a equação$y=\dfrac{3}{4}x−\dfrac{25}{4}$ (Figura$\PageIndex{2}$).

Figura$\PageIndex{2}$: A reta$y=\dfrac{3}{4}x−\dfrac{25}{4}$ é tangente a$x^2+y^2=25$ no ponto (3, −4).

Exemplo$\PageIndex{5}$: Finding the Equation of the Tangent Line to a Curve

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de$y^3+x^3−3xy=0$ no ponto$\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ (Figura$\PageIndex{3}$). Essa curva é conhecida como fólio (ou folha) de Descartes.

Figura$\PageIndex{3}$: Encontrando a linha tangente ao fólio de Descartes em$\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$.

Solução

Comece encontrando$\dfrac{dy}{dx}$.

$\dfrac{d}{dx}\big(y^3+x^3−3xy\big)=\dfrac{d}{dx}\big(0\big)$

$3y^2\dfrac{dy}{dx}+3x^2−\left(3y+3x\dfrac{dy}{dx}\right)=0$

$3y^2\dfrac{dy}{dx}+3x^2−3y-3x\dfrac{dy}{dx}=0$

$\left(3y^2-3x\right)\dfrac{dy}{dx}=3y-3x^2$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3y−3x^2}{3y^2−3x}$.

Em seguida,$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3y−3x^2}{3y^2−3x}$ substitua$\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ em para encontrar a inclinação da reta tangente:

$\dfrac{dy}{dx}\Bigg|_{\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)}=−1$.

Finalmente, substitua a equação ponto-inclinação da linha para obter

$y=−x+3$.

Exemplo$\PageIndex{6}$: Applying Implicit Differentiation

Em um videogame simples, um foguete viaja em uma órbita elíptica cujo caminho é descrito pela equação$4x^2+25y^2=100$. O foguete pode disparar mísseis ao longo de linhas tangentes ao seu caminho. O objetivo do jogo é destruir um asteróide que se aproxima viajando ao longo do$x$ eixo positivo em direção a$(0,0)$. Se o foguete disparar um míssil quando estiver localizado$\left(3,\frac{8}{5}\right)$, onde ele cruzará o$x$ eixo -?

Solução

Para resolver esse problema, devemos determinar onde a reta tangente ao gráfico de

$4x^2+25y^2=100$at$\left(3,\frac{8}{5}\right)$ cruza o$x$ eixo y. Comece encontrando$\dfrac{dy}{dx}$ implicitamente.

Diferenciando, temos

$8x+50y\dfrac{dy}{dx}=0.$

Resolvendo para$\dfrac{dy}{dx}$,

nós temos

$\dfrac{dy}{dx}=−\dfrac{4x}{25y}$.

A inclinação da reta tangente é$\dfrac{dy}{dx}\Bigg|_{\left(3,\frac{8}{5}\right)}=−\dfrac{3}{10}$. A equação da reta tangente é$y=−\dfrac{3}{10}x+\dfrac{5}{2}$. Para determinar onde a linha cruza o$x$ eixo -, resolva$0=−\dfrac{3}{10}x+\dfrac{5}{2}$. A solução é$x=\dfrac{25}{3}$. O míssil cruza o$x$ eixo -no ponto$\left(\frac{25}{3},0\right)$.

Exercício$\PageIndex{2}$

Encontre a equação da reta tangente à hipérbole$x^2−y^2=16$ no ponto$(5,3)$.

Dica

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y}$

Responda

$y=\dfrac{5}{3}x−\dfrac{16}{3}$

Conceitos-chave

• Usamos a diferenciação implícita para encontrar derivadas de funções definidas implicitamente (funções definidas por equações).
• Usando a diferenciação implícita, podemos encontrar a equação de uma reta tangente ao gráfico de uma curva.

Glossário

diferenciação implícita

é uma técnica de computação$\dfrac{dy}{dx}$ para uma função definida por uma equação, realizada diferenciando os dois lados da equação (lembrando de tratar a variável$y$ como uma função) e resolvendo$\dfrac{dy}{dx}$