3.2: A derivada como função

Objetivos de

• Defina a função derivada de uma determinada função.
• Faça um gráfico de uma função derivada do gráfico de uma determinada função.
• Declare a conexão entre derivadas e continuidade.
• Descreva três condições para quando uma função não tem uma derivada.
• Explique o significado de uma derivada de ordem superior.

Como vimos, a derivada de uma função em um determinado ponto nos dá a taxa de mudança ou inclinação da reta tangente à função naquele ponto. Se diferenciarmos uma função de posição em um determinado momento, obteremos a velocidade naquele momento. Parece razoável concluir que conhecer a derivada da função em cada ponto produziria informações valiosas sobre o comportamento da função. No entanto, o processo de encontrar a derivada até mesmo em alguns valores usando as técnicas da seção anterior rapidamente se tornaria bastante tedioso. Nesta seção, definimos a função derivada e aprendemos um processo para encontrá-la.

Funções derivadas

A função derivada fornece a derivada de uma função em cada ponto no domínio da função original para a qual a derivada é definida. Podemos definir formalmente uma função derivada da seguinte forma.

Definição: Função derivada

$f$Seja uma função. A função derivada, denotada por$f'$, é a função cujo domínio consiste nos valores de$x$ tal forma que existe o seguinte limite:

$$f'(x)=\lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}. \label{derdef}$$

$f(x)$Diz-se que uma função é diferenciável$a$ se$f'(a)$ existir. De forma mais geral, diz-se que uma função é diferenciável$S$ se for diferenciável em cada ponto de um conjunto aberto$S$, e uma função diferenciável é aquela em que$f'(x)$ existe em seu domínio.

Nos próximos exemplos, usamos a Equação\ ref {derdef} para encontrar a derivada de uma função.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Finding the Derivative of a Square-Root Function

Encontre a derivada de$f(x)=\sqrt{x}$.

Solução

Comece diretamente com a definição da função derivada.

Substitua$f(x+h)=\sqrt{x+h}$ e$f(x)=\sqrt{x}$ entre$f'(x)= \displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}$.

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}$
$=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}⋅\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$	Multiplique o numerador e o denominador por$\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$ sem distribuir no denominador.
$=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{h}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}$	Multiplique os numeradores e simplifique.
$=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{1}{\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}$	Cancele$h$ o.
$=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	Avalie o limite

Exemplo$\PageIndex{2}$: Finding the Derivative of a Quadratic Function

Encontre a derivada da função$f(x)=x^2−2x$.

Solução

Siga o mesmo procedimento aqui, mas sem precisar multiplicar pelo conjugado.

Substituir$f(x+h)=(x+h)^2−2(x+h)$ e$f(x)=x^2−2x$ entrar$f'(x)= \displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}.$

$f'(x)=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{((x+h)^2−2(x+h))−(x^2−2x)}{h}$
$=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{x^2+2xh+h^2−2x−2h−x^2+2x}{h}$	Expandir$(x+h)^2−2(x+h)$.
$=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{2xh−2h+h^2}{h}$	Simplifique
$=\displaystyle\lim_{h→0}\frac{h(2x−2+h)}{h}$	Fator a$h$ partir do numerador
$=\displaystyle\lim_{h→0}(2x−2+h)$	Cancele o fator comum de$h$
$=2x−2$	Avalie o limite

Exercício$\PageIndex{1}$

Encontre a derivada de$f(x)=x^2$.

Dica

Use a Equação\ ref {derdef} e siga o exemplo.

Responda

$f'(x)=2x$

Usamos uma variedade de notações diferentes para expressar a derivada de uma função. No exemplo,$\PageIndex{2}$ mostramos que se$f(x)=x^2−2x$, então$f'(x)=2x−2$. Se tivéssemos expressado essa função na forma$y=x^2−2x$, poderíamos ter expressado a derivada como$y′=2x−2$ ou$\dfrac{dy}{dx}=2x−2$. Poderíamos ter transmitido a mesma informação por escrito$\dfrac{d}{dx}\left(x^2−2x\right)=2x−2$. Assim, para a função$y=f(x)$, cada uma das seguintes notações representa a derivada de$f(x)$:

$f'(x), \quad \dfrac{dy}{dx}, \quad y′,\quad \dfrac{d}{dx}\big(f(x)\big)$.

No lugar de$f'(a)$, também podemos usar$\dfrac{dy}{dx}\Big|_{x=a}$. O uso da$\dfrac{dy}{dx}$ notação (chamada de notação de Leibniz) é bastante comum em engenharia e física. Para entender melhor essa notação, lembre-se de que a derivada de uma função em um ponto é o limite das inclinações das retas secantes à medida que as linhas secantes se aproximam da reta tangente. As inclinações dessas linhas secantes são frequentemente expressas na forma em$\dfrac{Δy}{Δx}$ que$Δy$ está a diferença nos$y$ valores correspondentes à diferença nos$x$ valores, que são expressos como$Δx$ (Figura$\PageIndex{1}$). Assim, a derivada, que pode ser considerada como a taxa instantânea de variação de em$y$ relação a$x$, é expressa como

$\displaystyle \frac{dy}{dx}= \lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}$.

Figura$\PageIndex{1}$: A derivada é expressa como$\dfrac{dy}{dx}=\displaystyle\lim_{Δx→0}\frac{Δy}{Δx}$.

Representação gráfica de uma derivada

Já discutimos como representar graficamente uma função, então, dada a equação de uma função ou a equação de uma função derivada, poderíamos representá-la graficamente. Considerando ambas, esperaríamos ver uma correspondência entre os gráficos dessas duas funções, uma vez que$f'(x)$ fornece a taxa de mudança de uma função$f(x)$ (ou inclinação da reta tangente a$f(x)$).

No exemplo$\PageIndex{1}$,, descobrimos que para$f(x)=\sqrt{x}$,$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Se representarmos graficamente essas funções nos mesmos eixos$\PageIndex{2}$, como na Figura, podemos usar os gráficos para entender a relação entre essas duas funções. Primeiro, notamos que$f(x)$ está aumentando em todo o seu domínio, o que significa que as inclinações de suas retas tangentes em todos os pontos são positivas. Consequentemente, esperamos todos$f'(x)>0$ os valores de x em seu domínio. Além disso, à medida que$x$ aumenta, as inclinações das retas tangentes$f(x)$ estão diminuindo e esperamos ver uma diminuição correspondente em$f'(x)$. Também observamos que$f(0)$ é indefinido e que$\displaystyle \lim_{x→0^+}f'(x)=+∞$, correspondendo a uma tangente vertical a$f(x)$ at$0$.

Figura$\PageIndex{2}$: A derivada$f'(x)$ é positiva em todos os lugares porque a função$f(x)$ está aumentando.

Em exemplo$\PageIndex{2}$, descobrimos isso para$f(x)=x^2−2x,\; f'(x)=2x−2$. Os gráficos dessas funções são mostrados na Figura$\PageIndex{3}$. Observe que$f(x)$ está diminuindo para$x<1$. Para esses mesmos valores de$x$,$f'(x)<0$. Para valores de$x>1$,$f(x)$ está aumentando$f'(x)>0$ e. Além disso,$f(x)$ tem uma tangente horizontal em$x=1$$f'(1)=0$ e.

Figura$\PageIndex{3}$: A derivada$f'(x)<0$ em que a função$f(x)$ está diminuindo e$f'(x)>0$ onde$f(x)$ está aumentando. A derivada é zero onde a função tem uma tangente horizontal

Exemplo$\PageIndex{3}$: Sketching a Derivative Using a Function

Use o gráfico a seguir de$f(x)$ para esboçar um gráfico de$f'(x)$.

Solução

A solução é mostrada no gráfico a seguir. Observe que$f(x)$ está aumentando e assim$f'(x)>0$ por diante$(–2,3)$. Além disso,$f(x)$ está diminuindo$(−∞,−2)$ e$f'(x)<0$ assim por diante$(3,+∞)$. Observe também que$f(x)$ tem tangentes horizontais em$–2$ e$3$,$f'(−2)=0$ e$f'(3)=0$ e.

Exercício$\PageIndex{2}$

Esboce o gráfico de$f(x)=x^2−4$. Em que intervalo está o gráfico$f'(x)$ acima do$x$ eixo -?

Dica

O gráfico de$f'(x)$ é positivo onde$f(x)$ está aumentando.

Responda

$(0,+∞)$

Derivadas e continuidade

Agora que podemos representar graficamente uma derivada, vamos examinar o comportamento dos gráficos. Primeiro, consideramos a relação entre diferenciabilidade e continuidade. Veremos que se uma função é diferenciável em um ponto, ela deve ser contínua lá; no entanto, uma função que é contínua em um ponto não precisa ser diferenciável nesse ponto. Na verdade, uma função pode ser contínua em um ponto e não ser diferenciável no ponto por uma das várias razões.

Diferenciabilidade implica continuidade

$f(x)$Seja uma função e$a$ esteja em seu domínio. Se$f(x)$ é diferenciável em$a$, então$f$ é contínuo em$a$.

Prova

Se$f(x)$ é diferenciável em$a$, então$f'(a)$ existe e, se deixarmos$h = x - a$, temos$x = a + h$, e como$h=x-a\to 0$, podemos ver isso$x\to a$.

Então

$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\nonumber$$

pode ser reescrito como

$f'(a)=\displaystyle \lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}$.

Queremos mostrar que$f(x)$ é uma arte contínua,$a$ mostrando que$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a).$ Assim,

\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição\ lim_ {x→a} f (x) &=\ lim_ {x→a}\;\ big (f (x) −f (a) +f (a)\ grande)\ [4pt]
&=\ lim_ {x→a}\ left (\ frac {f (x) −f (a)} {x−a}. (x−a) +f (a)\ right) & &\ text {Multiplique e divida} (f (x) −f (a))\ text {por} x−a.\\ [4pt]
&=\ left (\ lim_ {x→a}\ frac {f (x) −f (a)} {x−a}\ direita) ‣\ esquerda (\ lim_ {x→a}\; (x−a)\ direita) +\ lim_ {x→a} f (a)\\ [4pt]
&=f' (a) ⋅0+f (a)\\ [4pt]
&=f (a). \ end {align*}\)

Portanto, uma vez que$f(a)$ é definido e$\displaystyle \lim_{x→a}f(x)=f(a)$, concluímos que$f$ é contínuo em$a$.

□

Acabamos de provar que diferenciabilidade implica continuidade, mas agora consideramos se continuidade implica diferenciabilidade. Para determinar uma resposta a essa pergunta, examinamos a função$f(x)=|x|$. Essa função é contínua em todos os lugares; no entanto,$f'(0)$ é indefinida. Essa observação nos leva a acreditar que continuidade não implica diferenciabilidade. Vamos explorar mais. Para$f(x)=|x|$,

$f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{f(x)−f(0)}{x−0}= \lim_{x→0}\frac{|x|−|0|}{x−0}= \lim_{x→0}\frac{|x|}{x}$.

Esse limite não existe porque

$\displaystyle \lim_{x→0^−}\frac{|x|}{x}=−1$$\displaystyle \lim_{x→0^+}\frac{|x|}{x}=1$e.

Veja a Figura$\PageIndex{4}$.

Figura$\PageIndex{4}$: A função$f(x)=|x|$ é contínua em$0$, mas não é diferenciável em$0$.

Vamos considerar algumas situações adicionais nas quais uma função contínua não é diferenciável. Considere a função$f(x)=\sqrt[3]{x}$:

$f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sqrt[3]{x}−0}{x−0}=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=+∞$.

Portanto,$f'(0)$ não existe. Uma rápida olhada no gráfico de$f(x)=\sqrt[3]{x}$ esclarece a situação. A função tem uma linha tangente vertical em$0$ (Figura$\PageIndex{5}$).

Figura$\PageIndex{5}$: A função$f(x)=\sqrt[3]{x}$ tem uma tangente vertical em$x=0$. É contínuo em$0$, mas não é diferenciável em$0$.

A função$f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & & \text{ if } x=0\end{cases}$ também tem uma derivada que exibe um comportamento interessante em$0$.

Nós vemos isso

$f'(0)=\displaystyle \lim_{x→0}\frac{x\sin\left(1/x\right)−0}{x−0}= \lim_{x→0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$.

Esse limite não existe, essencialmente porque as inclinações das linhas secantes mudam continuamente de direção à medida que se aproximam de zero (Figura$\PageIndex{6}$).

Figura$\PageIndex{6}$: A função não$f(x)=\begin{cases} x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & & \text{ if } x=0\end{cases}$ é diferenciável em$0$.

Em resumo:

1. Observamos que se uma função não é contínua, ela não pode ser diferenciável, pois toda função diferenciável deve ser contínua. No entanto, se uma função for contínua, ela ainda pode não ser diferenciável.
2. Vimos que isso$f(x)=|x|$ não era diferenciável$0$ porque o limite das inclinações das retas tangentes à esquerda e à direita não era o mesmo. Visualmente, isso resultou em um canto nítido no gráfico da função em. A$0.$ partir disso, concluímos que, para ser diferenciável em um ponto, uma função deve ser “suave” nesse ponto.
3. Como vimos no exemplo de$f(x)=\sqrt[3]{x}$, uma função falha em ser diferenciável em um ponto onde há uma reta tangente vertical.
4. Como vimos,$f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac{1}{x}\right), & & \text{ if } x≠0\\0, & &\text{ if } x=0\end{cases}$ uma função também pode não ser diferenciável em um ponto de maneiras mais complicadas.

Exemplo$\PageIndex{4}$: A Piecewise Function that is Continuous and Differentiable

Uma empresa de brinquedos quer projetar uma pista para um carro de brinquedo que começa ao longo de uma curva parabólica e depois se converte em uma linha reta (Figura$\PageIndex{7}$). A função que descreve a trilha é ter a forma$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{10}x^2+bx+c, & & \text{ if }x<−10\\−\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}, & & \text{ if } x≥−10\end{cases}$ onde$x$ e$f(x)$ estão em polegadas. Para que o carro se mova suavemente ao longo da pista, a função$f(x)$ deve ser contínua e diferenciável em$−10$. Encontre valores de$b$ e$c$ que$f(x)$ os tornam contínuos e diferenciáveis.

Figura$\PageIndex{7}$: Para que o carro se mova suavemente ao longo da pista, a função deve ser contínua e diferenciável.

Solução

Para que a função seja contínua em$x=−10$,$\displaystyle \lim_{x→10^−}f(x)=f(−10)$. Assim, uma vez que

$\displaystyle \lim_{x→−10^−}f(x)=\frac{1}{10}(−10)^2−10b+c=10−10b+c$

e$f(−10)=5$, devemos ter$10−10b+c=5$. Equivalentemente, nós temos$c=10b−5$.

Para que a função seja diferenciável em$−10$,

$f'(10)=\displaystyle \lim_{x→−10}\frac{f(x)−f(−10)}{x+10}$

deve existir. Como$f(x)$ é definido usando regras diferentes à direita e à esquerda, devemos avaliar esse limite da direita e da esquerda e, em seguida, defini-los iguais entre si:

\ (\ estilo de exibição\ begin {align*}\ lim_ {x→−10^−}\ frac {f (x) −f (−10)} {x+10} &=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {\ frac {1} {10} x^2+bx+c−5} {x+10}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {\ frac {1} {10} x^2+bx+ (10b−5) −5} {x+10} & &\ texto {Substituto} c=10b−5.\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {x^2−100+10bx+ 100b} {10 (x+10)}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^−}\ frac {(x+10) (x−10+10b)} {10 (x+10)} & &\ text {Fator por agrupamento}\\ [4pt]
&=b−2\ end {align*}\).

Nós também temos

\ (\ estilo de exibição\ begin {align*}\ lim_ {x→−10^+}\ frac {f (x) −f (−10)} {x+10} &=\ lim_ {x→−10^+}\ frac {−\ frac {1} {4} x+\ frac {5} {2} −5} {x+10}\\ [4pt]
&=\ lim_ {x→−10^+}\ frac {− (x+10)} {4 (x+10)}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {4}\ end {align*}\).

Isso nos dá$b−2=−\frac{1}{4}$. Assim$b=\frac{7}{4}$,$c=10(\frac{7}{4})−5=\frac{25}{2}$ e.

Exercício$\PageIndex{3}$

Encontre valores de a e b que tornam$f(x)=\begin{cases}ax+b, & & \text{ if } x<3\\x^2, & & \text{ if } x≥3\end{cases}$ ambos contínuos e diferenciáveis em$3$.

Dica

Use o exemplo$\PageIndex{4}$ como guia.

Responda

$a=6$e$b=−9$

Derivados de ordem superior

A derivada de uma função é em si uma função, então podemos encontrar a derivada de uma derivada. Por exemplo, a derivada de uma função de posição é a taxa de mudança de posição ou velocidade. A derivada da velocidade é a taxa de variação da velocidade, que é a aceleração. A nova função obtida pela diferenciação da derivada é chamada de segunda derivada. Além disso, podemos continuar usando derivadas para obter a terceira derivada, a quarta derivada e assim por diante. Coletivamente, eles são chamados de derivativos de ordem superior. A notação para as derivadas de ordem superior de$y=f(x)$ pode ser expressa em qualquer uma das seguintes formas:

$f''(x),\; f'''(x),\; f^{(4)}(x),\; …\; ,\; f^{(n)}(x)$

$y''(x),\; y'''(x),\; y^{(4)}(x),\; …\; ,\; y^{(n)}(x)$

$\dfrac{d^2y}{dx^2},\;\dfrac{d^3y}{dy^3},\;\dfrac{d^4y}{dy^4},\;…\;,\;\dfrac{d^ny}{dy^n}.$

É interessante notar que a notação para$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ pode ser vista como uma tentativa de se expressar de forma$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ mais compacta.

Analogamente,$\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\right)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d^2y}{dx^2}\right)=\dfrac{d^3y}{dx^3}$.

Exemplo$\PageIndex{5}$: Finding a Second Derivative

Para$f(x)=2x^2−3x+1$, encontre$f''(x)$.

Solução

Primeira descoberta$f'(x)$.

Substituir$f(x)=2x^2−3x+1$ e$f(x+h)=2(x+h)^2−3(x+h)+1$ entrar$f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\dfrac{f(x+h)−f(x)}{h}.$

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(2(x+h)^2−3(x+h)+1)−(2x^2−3x+1)}{h}$
$=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{4xh+2h^2−3h}{h}$	Simplifique o numerador.
$=\displaystyle \lim_{h→0}(4x+2h−3)$	Fatize o$h$ no numerador e cancele com o$h$ no denominador.
$=4x−3$	Pegue o limite.

Em seguida, encontre$f''(x)$ usando a derivada de$f'(x)=4x−3.$

$f''(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f'(x+h)−f'(x)}{h}$	Use$f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}$ com$f ′(x)$ no lugar de$f(x).$
$=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(4(x+h)−3)−(4x−3)}{h}$	Substituir$f'(x+h)=4(x+h)−3$ e$f'(x)=4x−3.$
$=\displaystyle \lim_{h→0}4$	Simplifique.
$=4$	Pegue o limite.

Exercício$\PageIndex{4}$

Encontre$f''(x)$ por$f(x)=x^2$.

Dica

Encontramos$f'(x)=2x$ em um posto de controle anterior. Use a Equação\ ref {derdef} para encontrar a derivada de$f'(x)$

Responda

$f''(x)=2$

Exemplo$\PageIndex{6}$: Finding Acceleration

A posição de uma partícula ao longo de um eixo de coordenadas no tempo$t$ (em segundos) é dada por$s(t)=3t^2−4t+1$ (em metros). Encontre a função que descreve sua aceleração no momento$t$.

Solução

Desde$v(t)=s′(t)$ e$a(t)=v′(t)=s''(t)$, começamos encontrando a derivada de$s(t)$:

\ (\ estilo de exibição\ begin {align*} s′( t) &=\ lim_ {h→0}\ frac {s (t+h) −s (t)} {h}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ frac {3 (t+h) ^2−4 (t+h) +1− (3t^2−4t+1} {h}\\ [4pt]
&=6t−4. \ end {align*}\)

Em seguida,

\ (\ displaystyle\ begin {align*} s “(t) &=\ lim_ {h→0}\ frac {s′( t+h) −s′s (t)} {h}\\ [4pt]
&=\ lim_ {h→0}\ frac {6 (t+h) −4− (6t−4)} {h}\\ [4pt]
6. \ end {align*}\)

Assim,$a=6 \;\text{m/s}^2$.

Exercício$\PageIndex{5}$

Para$s(t)=t^3$, encontre$a(t).$

Dica

Use o exemplo$\PageIndex{6}$ como guia.

Responda

$a(t)=6t$

Conceitos-chave

• A derivada de uma função$f(x)$ é a função cujo valor em$x$ é$f'(x)$.
• O gráfico de uma derivada de uma função$f(x)$ está relacionado ao gráfico de$f(x)$. Onde$f(x)$ tem uma reta tangente com inclinação positiva,$f'(x)>0$. Onde$f(x)$ tem uma reta tangente com inclinação negativa,$f'(x)<0$. Onde$f(x)$ tem uma linha tangente horizontal,$f'(x)=0.$
• Se uma função é diferenciável em um ponto, ela é contínua nesse ponto. Uma função não é diferenciável em um ponto se não for contínua no ponto, se tiver uma linha tangente vertical no ponto ou se o gráfico tiver um canto ou cúspide nítido.
• Derivadas de ordem superior são derivadas de derivadas, da segunda derivada para a$n^{\text{th}}$ derivada.

Equações-chave

• A função derivada

$f'(x)=\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(x+h)−f(x)}{h}$

Glossário

função derivada

fornece a derivada de uma função em cada ponto no domínio da função original para a qual a derivada é definida

diferenciável em$a$

uma função para a qual$f'(a)$ existe é diferenciável em$a$

diferenciável em$S$

uma função que$f'(x)$ existe para cada uma$x$ no conjunto aberto$S$ é diferenciável em$S$

função diferenciável

uma função para a qual$f'(x)$ existe é uma função diferenciável

derivada de ordem superior

uma derivada de uma derivada, da segunda derivada para a$n^{\text{th}}$ derivada, é chamada de derivada de ordem superior

Contribuidores e atribuições

• Template:ContribOpenStaxCalc
• Paul Seeburger (Monroe Community College) added explanation of the alternative definition of the derivative used in the proof of that differentiability implies continuity.