4.4E: Exercícios para a Seção 4.4
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1) Por que você precisa de continuidade para aplicar o Teorema do Valor Médio? Construa um contra-exemplo.
2) Por que você precisa de diferenciabilidade para aplicar o Teorema do Valor Médio? Encontre um contra-exemplo.
- Resposta
- Um exemplo é\(f(x)=|x|+3,−2≤x≤2\)
3) Quando o teorema de Rolle e o teorema do valor médio são equivalentes?
4) Se você tem uma função com uma descontinuidade, ainda é possível ter o\(f′(c)(b−a)=f(b)−f(a)?\) Draw como exemplo ou provar por que não.
- Resposta
- Sim, mas o Teorema do Valor Médio ainda não se aplica
Nos exercícios 5 a 9, determine em quais intervalos (se houver) o Teorema do Valor Médio se aplica. Justifique sua resposta.
5)\(y=\sin(πx)\)
6)\(y=\dfrac{1}{x^3}\)
- Resposta
- \((−∞,0),(0,∞)\)
7)\(y=\sqrt{4−x^2}\)
8)\(y=\sqrt{x^2−4}\)
- Resposta
- \((−∞,−2),(2,∞)\)
9)\(y=\ln(3x−5)\)
Nos exercícios 10 a 13, faça um gráfico das funções em uma calculadora e desenhe a linha secante que conecta os pontos finais. Estime o número de pontos de\(c\) forma que\(f′(c)(b−a)=f(b)−f(a).\)
10) [T]\(y=3x^3+2x+1\) acabou\([−1,1]\)
- Resposta
- 2 pontos
11) [T]\(y=\tan\left(\frac{π}{4}x\right)\) acabou\(\left[−\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]\)
12) [T]\(y=x^2\cos(πx)\) acabou\([−2,2]\)
- Resposta
- 5 pontos
13) [T]\(y=x^6−\frac{3}{4}x^5−\frac{9}{8}x^4+\frac{15}{16}x^3+\frac{3}{32}x^2+\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}\) acabou\([−1,1]\)
Nos exercícios 14 a 19, use o Teorema do Valor Médio e encontre todos os pontos de\(0<c<2\) tal forma que\(f(2)−f(0)=f′(c)(2−0)\).
14)\(f(x)=x^3\)
- Resposta
- \(c=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
15)\(f(x)=\sin(πx)\)
16)\(f(x)=\cos(2πx)\)
- Resposta
- \(c=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\)
17)\(f(x)=1+x+x^2\)
18)\(f(x)=(x−1)^{10}\)
- Resposta
- \(c=1\)
19)\(f(x)=(x−1)^9\)
Nos exercícios 20 a 23, mostre que não\(c\) existe isso\(f(1)−f(−1)=f′(c)(2)\). Explique por que o teorema do valor médio não se aplica ao longo do intervalo\([−1,1].\)
20)\(f(x)=\left|x−\frac{1}{2} \right|\)
- Resposta
- Não diferenciável
21)\(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\)
22)\(f(x)=\sqrt{|x|}\)
- Resposta
- Não diferenciável
23)\(f(x)=\lfloor x \rfloor\) (Dica: Isso é chamado de função floor e é definida de forma que\(f(x)\) seja o maior número inteiro menor ou igual\(x\) a.)
Nos exercícios 24 a 34, determine se o Teorema do Valor Médio se aplica às funções em um determinado intervalo\([a,b]\). Justifique sua resposta.
24)\(y=e^x\) acabou\([0,1]\)
- Resposta
- sim
25)\(y=\ln(2x+3)\) mais\([−\frac{3}{2},0]\)
26)\(f(x)=\tan(2πx)\) acabou\([0,2]\)
- Resposta
- O Teorema do Valor Médio não se aplica, pois a função é descontínua em\(x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4}.\)
27)\(y=\sqrt{9−x^2}\) mais\([−3,3]\)
28)\(y=\dfrac{1}{|x+1|}\) acabou\([0,3]\)
- Resposta
- sim
29)\(y=x^3+2x+1\) acabou\([0,6]\)
30)\(y=\dfrac{x^2+3x+2}{x}\) mais\([−1,1]\)
- Resposta
- O teorema do valor médio não se aplica; descontínuo em\(x=0.\)
31)\(y=\dfrac{x}{\sin(πx)+1}\) acabou\([0,1]\)
32)\(y=\ln(x+1)\) mais\([0,e−1]\)
- Resposta
- sim
33)\(y=x\sin(πx)\) acabou\([0,2]\)
34)\(y=5+|x|\) acabou\([−1,1]\)
- Resposta
- O Teorema do Valor Médio não se aplica; não é diferenciável em\(x=0\).
Para os exercícios 35 a 37, considere as raízes de cada equação.
35) Mostre que a equação\(y=x^3+3x^2+16\) tem exatamente uma raiz real. O que é isso?
36) Encontre as condições para exatamente uma raiz (raiz dupla) para a equação\(y=x^2+bx+c\)
- Resposta
- \(b=±2\sqrt{c}\)
37) Encontre as condições\(y=e^x−b\) para ter uma raiz. É possível ter mais de uma raiz?
Nos exercícios 38 a 42, use uma calculadora para representar graficamente a função ao longo do intervalo\([a,b]\) e representar graficamente a linha secante de\(a\)\(b\) a. Use a calculadora para estimar todos os valores\(c\) conforme garantido pelo Teorema do Valor Médio. Em seguida, encontre o valor exato de\(c\), se possível, ou escreva a equação final e use uma calculadora para estimar até quatro dígitos.
38) [T]\(y=\tan(πx)\) acabou\(\left[−\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]\)
- Resposta
- \(c \approx ±0.1533\)
\(c=±\frac{1}{π}\cos^{−1}(\frac{\sqrt{π}}{2})\)
39) [T]\(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) acabou\([0,3]\)
40) [T]\(y=|x^2+2x−4|\) acabou\([−4,0]\)
- Resposta
- O Teorema do Valor Médio não se aplica.
41) [T]\(y=x+\dfrac{1}{x}\) acabou\(\left[\frac{1}{2},4\right]\)
42) [T]\(y=\sqrt{x+1}+\dfrac{1}{x^2}\) acabou\([3,8]\)
- Resposta
- \(\dfrac{1}{2\sqrt{c+1}}−\dfrac{2}{c^3}=\dfrac{521}{2880}\)
\(c \approx 3.133, 5.867\)
43) Às 10h17, você passa por um carro da polícia a 55 mph que está parado na rodovia. Você passa por um segundo carro da polícia a 55 mph às 10:53 da manhã, localizado a 63 km do primeiro carro da polícia. Se o limite de velocidade for 60 mph, a polícia pode citá-lo por excesso de velocidade?
44) Dois carros vão de um semáforo para o outro, saindo ao mesmo tempo e chegando ao mesmo tempo. Já houve um momento em que eles estão na mesma velocidade? Prove ou refute.
- Resposta
- sim
45)\(y=\sec^2x\) Mostre isso e\(y=\tan^2x\) tenha a mesma derivada. O que você pode dizer sobre isso\(y=\sec^2x−\tan^2x\)?
46)\(y=\csc^2x\) Mostre isso e\(y=\cot^2x\) tenha a mesma derivada. O que você pode dizer sobre isso\(y=\csc^2x−\cot^2x\)?
- Resposta
- É constante.