4.9E: Exercícios para a Seção 4.9

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Nos exercícios 1 a 5, escreva a fórmula de Newton$x_{n+1}=F(x_n)$ para resolver$f(x)=0$.

1)$f(x)=x^2+1$

2)$f(x)=x^3+2x+1$

Resposta: $F(x_n)=x_n−\dfrac{x_n^3+2x_n+1}{3x_n^2+2}$

3)$f(x)=\sin x$

4)$f(x)=e^x$

Resposta: $F(x_n)=x_n−\dfrac{e^{x_n}}{e^{x_n}}$

5)$f(x)=x^3+3xe^x$

Nos exercícios 6 a 8, resolva$f(x)=0$ usando a iteração$x_{n+1}=x_{n−c}f(x_n)$, que difere um pouco do método de Newton. Encontre um$c$ que funcione e um$c$ que falhe na convergência, com exceção de$c=0.$

6)$f(x)=x^2−4,$ com$x_0=0$

Resposta: $|c|>0.5$falha,$|c|≤0.5$ funciona

7)$f(x)=x^2−4x+3,$ com$x_0=2$

8) Qual é o valor do método$“c”$ de Newton?

Resposta: $c=\dfrac{1}{f′(x_n)}$

Nos exercícios 9 a 16, calcule$x_1$ e$x_2$ use o método iterativo especificado.

Comece às

a.$x_0=0.6$ e

b.$x_0=2.$

9)$x_{n+1}=x_n^2−\frac{1}{2}$

10)$x_{n+1}=2x_n\left(1−x_n\right)$

Resposta: a.$ x_1=\frac{12}{25}, \; x_2=\frac{312}{625};$
b.$x_1=−4, \; x_2=−40$

11)$x_{n+1}=\sqrt{x_n}$

12)$x_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{x_n}}$

Resposta: a.$x_1=1.291, \; x_2=0.8801;$
b.$x_1=0.7071, \; x_2=1.189$

13)$x_{n+1}=3x_n(1−x_n)$

14)$x_{n+1}=x_n^2+x_{n−2}$

Resposta: a.$x_1=−\frac{26}{25}, \; x_2=−\frac{1224}{625};$
b.$x_1=4, \;x_2=18$

15)$x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n−1$

16)$x_{n+1}=|x_n|$

Resposta: a.$x_1=\frac{6}{10},\; x_2=\frac{6}{10};$
b.$x_1=2, \; x_2=2$

Nos exercícios 17 a 26, resolva até quatro casas decimais usando o método de Newton e um computador ou calculadora. Escolha qualquer suposição inicial$x_0$ que não seja a raiz exata.

17)$x^2−10=0$

18)$x^4−100=0$

Resposta: $3.1623$ou$−3.1623$

19)$x^2−x=0$

20)$x^3−x=0$

Resposta: $0,$$−1$ou$1$

21)$x+5\cos x=0$

22)$x+\tan x =0,$ escolha$x_0∈\left(−\frac{π}{2},\frac{π}{2}\right)$

Resposta: $0$

23)$\dfrac{1}{1−x}=2$

24)$1+x+x^2+x^3+x^4=2$

Resposta: $0.5188$ou$−1.2906$

25)$x^3+(x+1)^3=10^3$

26)$x=\sin^2(x)$

Resposta: $0$

Nos exercícios 27 a 30, use o método de Newton para encontrar os pontos fixos da função onde$f(x)=x$; arredonde para três decimais.

27)$\sin x$

28)$\tan x$ em$x=\left(\frac{π}{2},\frac{3π}{2}\right)$

Resposta: $4.493$

29)$e^x−2$

30)$\ln(x)+2$

Resposta: $0.159,\; 3.146$

O método de Newton pode ser usado para encontrar máximos e mínimos de funções além das raízes. Nesse caso, aplique o método de Newton à função derivada$f′(x)$ para encontrar suas raízes, em vez da função original. Nos exercícios 31 a 32, considere a formulação do método.

31) Para encontrar candidatos para máximos e mínimos, precisamos encontrar os pontos críticos.$f′(x)=0.$ Mostrar que, para resolver os pontos críticos de uma função$f(x)$, o método de Newton é dado por$x_{n+1}=x_n−\dfrac{f′(x_n)}{f''(x_n)}$.

32) Quais restrições adicionais são necessárias na função$f$?

Resposta: Precisamos$f$ ser duas vezes continuamente diferenciáveis.

Nos exercícios 33 a 40, use o método de Newton para encontrar a localização dos mínimos e/ou máximos locais das seguintes funções; arredonde para três decimais.

33) Mínimo de$f(x)=x^2+2x+4$

34) Mínimo de$f(x)=3x^3+2x^2−16$

Resposta: $x=0$

35) Mínimo de$f(x)=x^2e^x$

36) Máximo de$f(x)=x+\dfrac{1}{x}$

Resposta: $x=−1$

37) Máximo de$f(x)=x^3+10x^2+15x−2$

38) Máximo de$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}−\sqrt[3]{x}}{x}$

Resposta: $x=5.619$

39) Mínimo do mínimo diferente de zero$f(x)=x^2\sin x,$ mais próximo de$x=0$

40) Mínimo de$f(x)=x^4+x^3+3x^2+12x+6$

Resposta: $x=−1.326$

Nos exercícios 41 a 44, use o método especificado para resolver a equação. Se não funcionar, explique por que não funciona.

41) Método de Newton,$x^2+2=0$

42) Método de Newton,$0=e^x$

Resposta: Não há solução para a equação.

43) Método de Newton,$0=1+x^2$ começando em$x_0=0$

44) Resolvendo$x_{n+1}=−x_n^3$ a partir de$x_0=−1$

Resposta: Ele entra em um ciclo.

Nos exercícios 45 a 48, use o método secante, um método iterativo alternativo ao método de Newton. A fórmula é dada por

$x_n=x_{n−1}−f(x_{n−1})\dfrac{x_{n−1}−x_{n−2}}{f(x_{n−1})−f(x_{n−2})}.$

45) uma raiz com$0=x^2−x−3$ precisão de três casas decimais.

46) Encontre uma raiz com$0=\sin x+3x$ precisão de quatro casas decimais.

Resposta: $0$

47) Encontre uma raiz com$0=e^x−2$ precisão de quatro casas decimais.

48) Encontre uma raiz com$\ln(x+2)=\dfrac{1}{2}$ precisão de quatro casas decimais.

Resposta: $−0.3513$

49) Por que você usaria o método secante em vez do método de Newton? Quais são as restrições necessárias$f$?

Nos exercícios 50 a 54, use o método de Newton e o método secante para calcular uma raiz para as seguintes equações. Use uma calculadora ou um computador para calcular quantas iterações de cada uma são necessárias para chegar dentro de três casas decimais da resposta exata. Para o método secante, use a primeira estimativa do método de Newton.

50)$f(x)=x^2+2x+1,\quad x_0=1$

Resposta: Newton:$11$ iterações, secante:$16$ iterações

51)$f(x)=x^2, \quad x_0=1$

52)$f(x)=\sin x, \quad x_0=1$

Resposta: Newton: três iterações, secante: seis iterações

53)$f(x)=e^x−1, \quad x_0=2$

54)$f(x)=x^3+2x+4, \quad x_0=0$

Resposta: Newton: cinco iterações, secante: oito iterações

Nos exercícios 55 a 56, considere a equação de Kepler em relação às órbitas planetárias$M=E−ε\sin(E)$, onde$M$ está a anomalia média,$E$ é anomalia excêntrica e$ε$ mede a excentricidade.

55) Use o método de Newton para resolver a anomalia excêntrica$E$ quando a anomalia média$M=\frac{π}{3}$ e a excentricidade da órbita são$ε=0.25;$ arredondadas para três decimais.

56) Use o método de Newton para resolver a anomalia excêntrica$E$ quando a anomalia média$M=\frac{3π}{2}$ e a excentricidade da órbita são$ε=0.8;$ arredondadas para três decimais.

Resposta: $E=4.071$

Nos exercícios 57 a 58, considere um investimento bancário. O investimento inicial é$$10,000$. Depois de$25$ anos, o investimento triplicou para$$30,000.$

57) Use o método de Newton para determinar a taxa de juros se os juros forem compostos anualmente.

58) Use o método de Newton para determinar a taxa de juros se os juros forem compostos continuamente.

Resposta: $4.394%$

59) O custo de impressão de um livro pode ser dado pela equação$C(x)=1000+12x+\frac{1}{2}x^{2/3}$. Use o método de Newton para encontrar o ponto de equilíbrio se a impressora vender cada livro por$$20.$