Skip to main content
Global

3: Derivatives

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    178885

    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Kuhesabu kasi na mabadiliko katika kasi ni matumizi muhimu ya calculus, lakini ni mbali zaidi kuenea kuliko hiyo. Calculus ni muhimu katika matawi yote ya hisabati, sayansi, na uhandisi, na ni muhimu kwa uchambuzi katika biashara na afya pia. Katika sura hii, tunachunguza moja ya zana kuu za calculus, derivative, na kuonyesha njia rahisi za kuhesabu derivatives. Tunatumia sheria hizi kwa aina ya kazi katika sura hii ili tuweze kisha kuchunguza maombi ya mbinu hizi.

    • 3.0: Utangulizi wa Derivatives
      Kuhesabu kasi na mabadiliko katika kasi ni matumizi muhimu ya calculus, lakini ni mbali zaidi kuenea kuliko hiyo. Calculus ni muhimu katika matawi yote ya hisabati, sayansi, na uhandisi, na ni muhimu kwa uchambuzi katika biashara na afya pia. Katika sura hii, tunachunguza moja ya zana kuu za calculus, derivative, na kuonyesha njia rahisi za kuhesabu derivatives. Tunatumia sheria hizi kwa aina ya kazi katika sura hii ili tuweze kisha kuchunguza maombi ya th
    • 3.1: Kufafanua Derivative
      Mteremko wa mstari wa tangent kwa pembe hupima kiwango cha instantaneous cha mabadiliko ya curve. Tunaweza kuhesabu kwa kutafuta kikomo cha quotient tofauti au quotient tofauti na increment h. Derivative ya kazi f (x) kwa thamani a hupatikana kwa kutumia mojawapo ya ufafanuzi wa mteremko wa mstari wa tangent. Velocity ni kiwango cha mabadiliko ya msimamo. Kwa hivyo, kasi v (t) wakati t ni derivative ya nafasi s (t) wakati t.
    • 3.2: Derivative kama Kazi
    • 3.3: Kanuni za kutofautisha
      Derivative ya kazi ya mara kwa mara ni sifuri. Derivative ya kazi ya nguvu ni kazi ambayo nguvu juu ya x inakuwa mgawo wa muda na nguvu juu ya x katika derivative hupungua kwa 1. Derivative ya mara kwa mara c kuongezeka kwa kazi f ni sawa na mara kwa mara kuongezeka kwa derivative. Derivative ya jumla ya kazi f na kazi g ni sawa na jumla ya derivative ya f na derivative ya g.
    • 3.4: derivatives kama Viwango vya Mabadiliko
      Katika sehemu hii tunaangalia baadhi ya maombi ya derivative kwa kuzingatia tafsiri ya derivative kama kiwango cha mabadiliko ya kazi. Maombi haya ni pamoja na kuongeza kasi na kasi katika fizikia, viwango vya ukuaji wa idadi ya watu katika biolojia, na kazi pembezoni katika uchumi.
    • 3.5: Derivatives ya Kazi za Trigonometri
      Tunaweza kupata derivatives ya dhambi x na cos x kwa kutumia ufafanuzi wa derivative na formula kikomo kupatikana mapema. Kwa kanuni hizi mbili, tunaweza kuamua derivatives ya kazi zote sita za msingi za trigonometric.
    • 3.6: Utawala wa Mnyororo
      Dhana muhimu Utawala wa mnyororo unatuwezesha kutofautisha nyimbo za kazi mbili au zaidi. Inasema kwamba kwa\(h(x)=f(g(x)),\)\(h′(x)=f′(g(x))g′(x).\) Tunaweza kutumia utawala mnyororo na sheria nyingine ambazo tumejifunza, na tunaweza kupata formula kwa baadhi yao. Utawala wa mnyororo unachanganya na utawala wa nguvu ili kuunda utawala mpya: Ikiwa\(h(x)=(g(x))^n\), basi\(h′(x)=n(g(x))^{n−1}g′(x)\).
    • 3.7: Derivatives ya Kazi Inverse
      Theorem ya kazi ya inverse inatuwezesha kuhesabu derivatives ya kazi za inverse bila kutumia ufafanuzi wa kikomo wa derivative. Tunaweza kutumia theorem ya kazi inverse kuendeleza formula tofauti kwa kazi inverse trigonometric.
    • 3.8: Tofauti thabiti
      Tunatumia upambanuzi thabiti ili kupata derivatives ya kazi zilizoelezwa kwa usahihi (kazi zilizofafanuliwa na milinganyo). Kwa kutumia tofauti thabiti, tunaweza kupata equation ya mstari tangent kwa grafu ya Curve.
    • 3.9: Derivatives ya Kazi za Kielelezo na Logarithmic
      Katika sehemu hii, sisi kuchunguza derivatives ya kazi kielelezo na logarithmic. Kama tulivyojadiliwa katika Utangulizi wa Kazi na Grafu, kazi za kielelezo zina jukumu muhimu katika kuimarisha ukuaji wa idadi ya watu na kuoza kwa vifaa vya mionzi. Kazi za Logarithmic zinaweza kusaidia kurejesha kiasi kikubwa na husaidia hasa kwa kuandika upya maneno ngumu.
    • 3.10: Mazoezi ya Mapitio ya Sura ya 3

    Thumbnail: Derivatives (CC BY; OpenStax)