Skip to main content
Global

3.9E: Mazoezi ya Sehemu ya 3.9

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    178892

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Katika mazoezi 1 - 15, tafuta\(f′(x)\) kwa kila kazi.

    1)\(f(x)=x^2e^x\)

    Jibu
    \(f'(x) = 2xe^x+x^2e^x\)

    2)\(f(x)=\dfrac{e^{−x}}{x}\)

    3)\(f(x)=e^{x^3\ln x}\)

    Jibu
    \(f'(x) = e^{x^3\ln x}\left(3x^2\ln x+x^2\right)\)

    4)\(f(x)=\sqrt{e^{2x}+2x}\)

    5)\(f(x)=\dfrac{e^x−e^{−x}}{e^x+e^{−x}}\)

    Jibu
    \(f'(x) = \dfrac{4}{(e^x+e^{−x})^2}\)

    6)\(f(x)=\dfrac{10^x}{\ln 10}\)

    7)\(f(x)=2^{4x}+4x^2\)

    Jibu
    \(f'(x) = 2^{4x+2}⋅\ln 2+8x\)

    8)\(f(x)=3^{\sin 3x}\)

    9)\(f(x)=x^π⋅π^x\)

    Jibu
    \(f'(x) = πx^{π−1}⋅π^x+x^π⋅π^x\ln π\)

    10)\(f(x)=\ln(4x^3+x)\)

    11)\(f(x)=\ln\sqrt{5x−7}\)

    Jibu
    \(f'(x) = \dfrac{5}{2(5x−7)}\)

    12)\(f(x)=x^2\ln 9x\)

    13)\(f(x)=\log(\sec x)\)

    Jibu
    \(f'(x) = \dfrac{\tan x}{\ln 10}\)

    14)\(f(x)=\log_7(6x^4+3)^5\)

    15)\(f(x)=2^x⋅\log_37^{x^2−4}\)

    Jibu
    \(f'(x) = 2^x⋅\ln 2⋅\log_3 7^{x^2−4}+2^x⋅\dfrac{2x\ln 7}{\ln 3}\)

    Kwa mazoezi 16 - 23, tumia tofauti ya logarithmic ili kupata\(\dfrac{dy}{dx}\).

    16)\(y=x^{\sqrt{x}}\)

    17)\(y=(\sin 2x)^{4x}\)

    Jibu
    \(\dfrac{dy}{dx} = (\sin 2x)^{4x}\big[4⋅\ln(\sin 2x)+8x⋅\cot 2x\big]\)

    18)\(y=(\ln x)^{\ln x}\)

    19)\(y=x^{\log_2x}\)

    Jibu
    \(\dfrac{dy}{dx} = x^{\log_2x}⋅\dfrac{2\ln x}{x\ln 2}\)

    20)\(y=(x^2−1)^{\ln x}\)

    21)\(y=x^{\cot x}\)

    Jibu
    \(\dfrac{dy}{dx} = x^{\cot x}⋅\left[−\csc^2x⋅\ln x+\dfrac{\cot x}{x}\right]\)

    22)\(y=\dfrac{x+11}{\sqrt[3]{x^2−4}}\)

    23)\(y=x^{−1/2}(x^2+3)^{2/3}(3x−4)^4\)

    Jibu
    \(\dfrac{dy}{dx} = x^{−1/2}(x^2+3)^{2/3}(3x−4)^4⋅\left[\dfrac{−1}{2x}+\dfrac{4x}{3(x^2+3)}+\dfrac{12}{3x−4}\right]\)

    24) [T] Kupata equation ya mstari tangent kwa grafu ya\(f(x)=4xe^{(x^2−1)}\) katika hatua ambapo

    \(x=−1.\)Grafu kazi zote na mstari wa tangent.

    25) [T] Kupata equation ya mstari ambayo ni ya kawaida kwa graph ya\(f(x)=x⋅5^x\) katika hatua ambapo\(x=1\). Grafu kazi zote na mstari wa kawaida.

    Jibu
    \(y=\frac{−1}{5+5\ln 5}x+\left(5+\frac{1}{5+5\ln 5}\right)\)
    Kazi huanza saa (-3, 0), inapungua kidogo na kisha huongezeka kwa njia ya asili na huongezeka hadi (1.25, 10). Kuna mstari wa moja kwa moja uliowekwa alama T (x) na mteremko -1/ (5 + 5 ln 5) na y kukatiza 5 + 1/ (5 + 5 ln 5).

    26) [T] Kupata equation ya mstari tangent kwa graph ya\(x^3−x\ln y+y^3=2x+5\) katika hatua ambapo\(x=2\). (Kidokezo: Tumia upambanuzi thabiti ili upate\(\dfrac{dy}{dx}\).) Graph wote curve na mstari tangent.

    27) Fikiria\(y=x^{1/x}\) kazi\(x>0.\)

    a Tambua pointi kwenye grafu ambapo mstari wa tangent ni usawa.

    b Kuamua pointi kwenye grafu wapi\(y′>0\) na wale wapi\(y′<0\).

    Jibu
    a.\(x=e \approx 2.718\)
    b.\(y'>0 \text{ for } (0,e)\) na\(y'<0 \text{ for } (e,∞).\)

    28) Fomu\(I(t)=\dfrac{\sin t}{e^t}\) ni formula ya sasa ya kuoza.

    Jaza meza ifuatayo na maadili sahihi.

    \(t\) \(\frac{\sin t}{e^t}\)
    \ (t\) "> 0 \ (\ frac {\ sin t} {e ^ t}\) "> (i)
    \ (t\) ">\(π/2\) \ (\ frac {\ sin t} {e ^ t}\) "> (ii)
    \ (t\) ">\(π\) \ (\ frac {\ sin t} {e ^ t}\) "> (iii)
    \ (t\) ">\(3π/2\) \ (\ frac {\ sin t} {e ^ t}\) "> (vi)
    \ (t\) ">\(2π\) \ (\ frac {\ sin t} {e ^ t}\) "> (v)
    \ (t\) ">\(2π\) \ (\ frac {\ sin t} {e ^ t}\) "> (vi)
    \ (t\) ">\(3π\) \ (\ frac {\ sin t} {e ^ t}\) "> (vii)

    b Kutumia maadili tu katika meza, tambua wapi mstari wa tangent kwenye grafu\(I(t)\) ya usawa.

    29) [T] Idadi ya wakazi wa Toledo, Ohio, mwaka 2000 ilikuwa takriban 500,000. Kudhani idadi ya watu ni kuongezeka kwa kiwango cha 5% kwa mwaka.

    Andika kazi kielelezo ambayo inahusiana idadi ya watu wote kama kazi ya\(t\).

    b Tumia sehemu a. kuamua kiwango ambacho idadi ya watu inaongezeka kwa\(t\) miaka.

    c Tumia sehemu b. kuamua kiwango ambacho idadi ya watu inaongezeka katika miaka 10

    Jibu
    a.\(P=500,000(1.05)^t\) watu binafsi
    b.\(P′(t)=24395⋅(1.05)^t\) watu binafsi kwa mwaka
    c.\(39,737\) watu binafsi kwa mwaka

    30) [T] Isotopi ya elementi erbiamu ina nusumaisha ya takriban masaa 12. Awali kuna gramu 9 za isotopu zilizopo.

    Andika kazi kielelezo kwamba inahusiana kiasi cha dutu iliyobaki kama kazi ya\(t\), kipimo katika masaa.

    b Tumia a. kuamua kiwango ambacho dutu hii inaoza kwa\(t\) masaa.

    c Tumia b. kuamua kiwango cha kuoza kwa\(t=4\) saa.

    31) [T] Idadi ya matukio ya mafua huko New York City tangu mwanzo wa 1960 hadi mwanzo wa 1964 inatokana na kazi\(N(t)=5.3e^{0.093t^2−0.87t},(0≤t≤4)\), ambapo\(N(t)\) inatoa idadi ya kesi (kwa maelfu) na\(t\) hupimwa kwa miaka, na\(t=0\) sambamba na mwanzo wa 1960.

    Onyesha kazi ambayo inatathmini\(N(0)\) na\(N(4)\). Eleza kwa kifupi kile maadili haya yanaonyesha kuhusu ugonjwa huo huko New York City.

    b Onyesha kazi ambayo inatathmini\(N′(0)\) na\(N′(3)\). Eleza kwa kifupi kile maadili haya yanaonyesha kuhusu ugonjwa huo nchini Marekani.

    Jibu
    a Mwanzoni mwa 1960 kulikuwa na kesi 5.3,000 za ugonjwa huo huko New York City. Mwanzoni mwa 1963 kulikuwa na takriban kesi 723 za ugonjwa huo nchini Marekani.
    b Mwanzoni mwa 1960 idadi ya matukio ya ugonjwa huo ilipungua kwa kiwango cha\(−4.611\) elfu kwa mwaka; mwanzoni mwa 1963, idadi ya matukio ya ugonjwa huo ilipungua kwa kiwango cha\(−0.2808\) elfu kwa mwaka.

    32) [T] Kiwango cha jamaa cha mabadiliko ya kazi tofauti\(y=f(x)\) kinatolewa na Mfano\(\frac{100⋅f′(x)}{f(x)}%.\) mmoja kwa ukuaji wa idadi ya watu ni kazi ya ukuaji wa Gompertz, iliyotolewa na\(P(x)=ae^{−b⋅e^{−cx}}\) wapi\(a,b\), na\(c\) ni mara kwa mara.

    Pata kiwango cha jamaa cha formula ya mabadiliko kwa kazi ya Gompertz ya generic.

    b Matumizi sehemua. kupata kiwango cha jamaa ya mabadiliko ya idadi ya watu katika\(x=20\) miezi wakati\(a=204,\;b=0.0198,\) na\(c=0.15.\)

    c Kufafanua kwa ufupi nini matokeo ya sehemu b. ina maana.

    Kwa mazoezi 33 - 36, tumia idadi ya wakazi wa jiji la New York kutoka 1790 hadi 1860, iliyotolewa katika meza ifuatayo.

    Mwaka tangu 1790 Idadi ya watu
    0 33,131
    10 60,515
    20 96,373
    30 123,706
    40 202,300
    50 312,710
    60 515,547
    70 813,669

    New York City Idadi ya Watu Zaidi ya TimeSource: http://en.Wikipedia.org/wiki/Largest... _United_States

    _by_population_by_decocade

    33) [T] Kutumia programu ya kompyuta au calculator, fit ukuaji Curve kwa data ya fomu\(p=ab^t\).

    Jibu
    \(p=35741(1.045)^t\)

    34) [T] Kutumia kielelezo bora kwa data, weka meza iliyo na derivatives tathmini kila mwaka.

    35) [T] Kutumia kielelezo bora kwa data, weka meza iliyo na derivatives ya pili iliyopimwa kila mwaka.

    Jibu
    Mwaka tangu 1790 \(P"\)
    0 69.25
    10 107.5
    20 167.0
    30 259.4
    40 402.8
    50 625.5
    60 971.4
    70 1508.5

    36) [T] Kutumia meza za derivatives ya kwanza na ya pili na inafaa zaidi, jibu maswali yafuatayo:

    Je, mfano huo utakuwa sahihi katika kutabiri idadi ya watu ya baadaye ya jiji la New York? Kwa nini au kwa nini?

    b. makisio ya idadi ya watu katika 2010. Je utabiri sahihi kutoka sehemu a.?