3.8E: Mazoezi ya Sehemu ya 3.8

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178909

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Katika mazoezi ya 1 - 10, tumia tofauti tofauti ili kupata$\dfrac{dy}{dx}$.

1)$x^2−y^2=4$

2)$6x^2+3y^2=12$

Jibu: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{−2x}{y}$

3)$x^2y=y−7$

4)$3x^3+9xy^2=5x^3$

Jibu: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{3y}−\dfrac{y}{2x}$

5)$xy−\cos(xy)=1$

6)$y\sqrt{x+4}=xy+8$

Jibu: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y−\dfrac{y}{2\sqrt{x+4}}}{\sqrt{x+4}−x}$

7)$−xy−2=\frac{x}{7}$

8)$y\sin(xy)=y^2+2$

Jibu: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2\cos(xy)}{2y−\sin(xy)−xy\cos(xy)}$

9)$(xy)^2+3x=y^2$

10)$x^3y+xy^3=−8$

Jibu: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{−3x^2y−y^3}{x^3+3xy^2}$

Kwa mazoezi 11 - 16, pata usawa wa mstari wa tangent kwenye grafu ya equation iliyotolewa kwenye hatua iliyoonyeshwa. Tumia calculator au programu ya kompyuta ili kuchora kazi na mstari wa tangent.

11) [T]$x^4y−xy^3=−2, \quad (−1,−1)$

12) [T]$x^2y^2+5xy=14,\quad (2,1)$

Jibu

$y=−\frac{1}{2}x+2$

$Grafu ina crescent katika kila quadrants nne. Kuna mstari wa moja kwa moja uliowekwa alama T (x) na mteremko -1/2 na y kukatiza 2.$

13) [T]$\tan(xy)=y,\quad \left(\frac{π}{4},1\right)$

14) [T]$xy^2+\sin(πy)−2x^2=10, \quad (2,−3)$

Jibu

$y=\frac{1}{π+12}x−\frac{3π+38}{π+12}$

$Grafu ina curves mbili, moja katika quadrant ya kwanza na moja katika quadrant ya nne. Wao ni sawa kuhusu mhimili wa x. Curve katika quadrant ya kwanza inakwenda kutoka (0.3, 5) hadi (1.5, 3.5) hadi (5, 4). Kuna mstari wa moja kwa moja unaoashiria T (x) wenye mteremko 1/ (π + 12) na y intercept - (3π + 38)/(π + 12).$

15) [T]$\dfrac{x}{y}+5x−7=−\frac{3}{4}y, \quad (1,2)$

16) [T]$xy+\sin(x)=1,\quad \left(\frac{π}{2},0\right)$

Jibu

$y=0$

$Grafu inaanza katika roboduara ya tatu karibu (-5, 0), inabaki karibu 0 hadi x = -4, ambapo inapungua hadi kufikia karibu (0, -5). Kuna asymptote saa x = 0. Grafu huanza tena karibu (0, 5) hupungua hadi (1, 0) na kisha huongezeka kidogo kabla ya kupungua kuwa karibu (5, 0). Kuna mstari wa moja kwa moja uliowekwa alama T (x) unaofanana na y = 0.$

17) [T] Grafu ya folium ya Descartes na equation$2x^3+2y^3−9xy=0$ inatolewa katika grafu ifuatayo.

$Folium ni graphed ambayo ina equation 2x3 + 2y3 - 9xy = 0. Ni misalaba juu ya yenyewe katika (0, 0).$

Pata equation ya mstari wa tangent katika hatua$(2,1)$. Grafu mstari wa tangent pamoja na folium.

pata equation ya mstari wa kawaida kwa mstari wa tangent katika. kwa uhakika$(2,1)$.

18) Kwa equation$x^2+2xy−3y^2=0,$

a Kupata equation ya kawaida kwa mstari tangent katika hatua$(1,1)$.

b Katika hatua gani nyingine gani mstari wa kawaida katika. intersect grafu ya equation?

Jibu: a.$y=−x+2$
b.$(3,−1)$

19) Pata pointi zote kwenye grafu ambayo mstari wa tangent ni wima.$y^3−27y=x^2−90$

20) Kwa equation$x^2+xy+y^2=7$,

a. Kupata$x$ -intercept (s).

b.Pata mteremko wa mstari wa tangent kwenye$x$ -intercept (s).

c Thamani (s) katika sehemu b. zinaonyesha nini kuhusu mstari (s) wa tangent?

Jibu: a.$\left(±\sqrt{7},0\right)$
b.$−2$
c. wao ni sambamba tangu mteremko ni sawa katika intercepts zote mbili.

21) Pata usawa wa mstari wa tangent kwenye grafu ya equation$\sin^{−1}x+\sin^{−1}y=\frac{π}{6}$ kwa uhakika$\left(0,\frac{1}{2}\right)$.

22) Pata usawa wa mstari wa tangent kwenye grafu ya equation$\tan^{−1}(x+y)=x^2+\frac{π}{4}$ kwa uhakika$(0,1)$.

Jibu: $y=−x+1$

23) Kupata$y′$ na$y''$ kwa$x^2+6xy−2y^2=3$.

24) [T] Idadi ya simu za mkononi zinazozalishwa wakati$x$ dola zinatumika kwenye kazi na$y$ dola zinatumika kwenye mji mkuu imewekeza na mtengenezaji inaweza kuwa inatokana na equation$60x^{3/4}y^{1/4}=3240$.

Pata$\frac{dy}{dx}$ na tathmini wakati huo$(81,16)$.

b Kutafsiri matokeo ya a.

Jibu: a.$\frac{dy}{dx}=−0.5926$
b Wakati $81 inatumiwa kwenye kazi na $16 hutumiwa kwenye mji mkuu, kiasi kilichotumiwa kwenye mji mkuu kinapungua kwa $0.5926 kwa $1 iliyotumiwa kwenye kazi.

25) [T] Idadi ya magari zinazozalishwa wakati$x$ dola zinatumika kwenye kazi na$y$ dola zinatumika kwenye mji mkuu uliowekeza na mtengenezaji inaweza kuelekezwa na equation$30x^{1/3}y^{2/3}=360$.

(Wote$x$ na$y$ ni kipimo katika maelfu ya dola.)

Pata$\frac{dy}{dx}$ na tathmini wakati huo$(27,8)$.

b Kutafsiri matokeo ya sehemu a.

26) Kiasi cha koni ya mviringo ya radius$x$ na urefu$y$ hutolewa na$V=\frac{1}{3}πx^2y$. Tuseme kwamba kiasi cha koni ni$85π\,\text{cm}^3$. Pata$\dfrac{dy}{dx}$$x=4$ lini na$y=16$.

Jibu: $\dfrac{dy}{dx} = −8$

Kwa mazoezi 27 - 28, fikiria sanduku la mstatili lililofungwa na msingi wa mraba na upande$x$ na urefu$y$.

27) Pata usawa kwa eneo la uso wa sanduku la mstatili,$S(x,y)$.

28) Ikiwa eneo la uso wa sanduku la mstatili ni miguu ya mraba 78,$\dfrac{dy}{dx}$ tafuta wakati$x=3$ miguu na$y=5$ miguu.

Jibu: $\dfrac{dy}{dx} = −2.67$

Katika mazoezi 29 - 31, tumia tofauti ya wazi ili kuamua$y′$. Je! Jibu linakubaliana na kanuni ambazo tumeamua hapo awali?

29)$x=\sin y$

30)$x=\cos y$

Jibu: $y′=−\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}}$

31)$x=\tan y$