3.6: Utawala wa Mnyororo

Malengo ya kujifunza

• Weka utawala wa mnyororo kwa muundo wa kazi mbili.
• Tumia utawala wa mnyororo pamoja na utawala wa nguvu.
• Tumia utawala wa mnyororo na sheria za bidhaa/quotient kwa usahihi pamoja wakati wote wawili ni muhimu.
• Tambua utawala wa mnyororo kwa muundo wa kazi tatu au zaidi.
• Eleza ushahidi wa utawala wa mnyororo.

Tumeona mbinu za kutofautisha kazi za msingi (\(x^n,\sin x,\cos x,\)nk) pamoja na kiasi, tofauti, bidhaa, quotients, na mafungu ya mara kwa mara ya kazi hizi. Hata hivyo, mbinu hizi haziruhusu sisi kutofautisha nyimbo za kazi, kama vile\(h(x)=\sin(x^3)\) au\(k(x)=\sqrt{3x^2+1}\). Katika sehemu hii, tunasoma utawala wa kutafuta derivative ya muundo wa kazi mbili au zaidi.

Deriving Utawala Chain

Tunapokuwa na kazi ambayo ni muundo wa kazi mbili au zaidi, tunaweza kutumia mbinu zote ambazo tayari tumejifunza kutofautisha. Hata hivyo, kutumia mbinu hizo zote kuvunja kazi katika sehemu rahisi ambazo tunaweza kutofautisha zinaweza kupata mbaya. Badala yake, tunatumia utawala wa mnyororo, ambayo inasema kuwa derivative ya kazi ya Composite ni derivative ya kazi ya nje tathmini katika nyakati za kazi ya ndani derivative ya kazi ya ndani.

Ili kuweka sheria hii katika muktadha, hebu tuangalie mfano:\(h(x)=\sin(x^3)\). Tunaweza kufikiria derivative ya kazi hii kwa heshima na\(x\) kama kiwango cha mabadiliko ya\(\sin(x^3)\) jamaa na mabadiliko katika\(x\). Kwa hiyo, tunataka kujua jinsi\(\sin(x^3)\) mabadiliko kama\(x\) mabadiliko. Tunaweza kufikiria tukio hili kama mmenyuko mnyororo: Kama\(x\)\(x^3\) mabadiliko, mabadiliko, ambayo inaongoza kwa mabadiliko katika\(\sin(x^3)\). Hii mmenyuko mnyororo inatupa vidokezo kuhusu nini ni kushiriki katika kompyuta derivative ya\(\sin(x^3)\). Kwanza kabisa, mabadiliko katika\(x\) kulazimisha mabadiliko katika\(x^3\) inaonyesha kwamba kwa namna fulani derivative ya\(x^3\) ni kushiriki. Aidha, mabadiliko katika\(x^3\) kulazimisha mabadiliko katika\(\sin(x^3)\) unaonyesha kuwa derivative ya kuhusiana\(\sin(u)\) na\(u\), ambapo\(u=x^3\), pia ni sehemu ya derivative mwisho.

Tunaweza kuangalia rasmi zaidi derivative ya\(h(x)=\sin(x^3)\) kwa kuanzisha kikomo ambayo kutupa derivative katika thamani maalum\(a\) katika uwanja wa\(h(x)=\sin(x^3)\).

\[h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x−a}\nonumber \]

Maneno haya hayaonekani kuwa na manufaa hasa; hata hivyo, tunaweza kurekebisha kwa kuzidisha na kugawa kwa kujieleza\(x^3−a^3\) ili kupata

\[h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x^3−a^3}⋅\dfrac{x^3−a^3}{x−a}.\nonumber \]

Kutokana na ufafanuzi wa derivative, tunaweza kuona kwamba sababu ya pili ni derivative ya\(x^3\) saa\(x=a.\) Hiyo ni,

\[\lim_{x→a}\dfrac{x^3−a^3}{x−a}=\dfrac{d}{dx}(x^3)\Big|_{x=a}=3a^2.\nonumber \]

Hata hivyo, inaweza kuwa kidogo changamoto zaidi kutambua kwamba muda wa kwanza pia ni derivative. Tunaweza kuona hili kwa kuruhusu\(u=x^3\) na kuchunguza kwamba kama\(x→a,u→a^3\):

\[ \begin{align*} \lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x^3−a^3} &=\lim_{u→a^3}\dfrac{\sin u−\sin(a^3)}{u−a^3} \\[4pt] &=\dfrac{d}{du}(\sin u)\Big|_{u=a^3} \\[4pt] &=\cos(a^3) \end{align*}. \nonumber \]

Hivyo,\(h'(a)=\cos(a^3)⋅3a^2\).

Kwa maneno mengine, ikiwa\(h(x)=\sin(x^3)\), basi\(h'(x)=\cos(x^3)⋅3x^2\). Hivyo, ikiwa tunadhani\(h(x)=\sin(x^3)\) kama muundo\((f∘g)(x)=f\big(g(x)\big)\) ambapo\(f(x)= \sin x\) na\(g(x)=x^3\), basi derivative ya\(h(x)=\sin(x^3)\) ni bidhaa ya derivative ya\(g(x)=x^3\) na derivative ya kazi\(f(x)=\sin x\) tathmini katika kazi\(g(x)=x^3\). Katika hatua hii, tunatarajia kwamba kwa\(h(x)=\sin\big(g(x)\big)\), kuna uwezekano kabisa kwamba\(h'(x)=\cos\big(g(x)\big)g'(x)\). Kama tulivyoamua hapo juu, hii ndiyo kesi\(h(x)=\sin(x^3)\).

Sasa kwa kuwa tumepata kesi maalum ya utawala wa mnyororo, tunasema kesi ya jumla na kisha kuitumia kwa fomu ya jumla kwa kazi nyingine za composite. Ushahidi usio rasmi hutolewa mwishoni mwa sehemu hiyo.

Kanuni: Utawala wa Mnyororo

Hebu\(f\) na\(g\) uwe kazi. Kwa wote\(x\) katika uwanja wa\(g\) ambayo\(g\) ni tofauti katika\(x\) na\(f\) kutofautishwa katika\(g(x)\), derivative ya kazi Composite

\[h(x)=(f∘g)(x)=f\big(g(x)\big) \nonumber \]

inatolewa na

\[h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x). \nonumber \]

Au, kama\(y\) ni kazi ya\(u\), na\(u\) ni kazi ya\(x\), kisha

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}. \nonumber \]

Mkakati wa Kutatua matatizo: Kutumia Utawala wa Chain

1. Ili kutofautisha\(h(x)=f\big(g(x)\big)\), kuanza kwa kutambua\(f(x)\) na\(g(x)\).
2. Kupata\(f'(x)\) na kutathmini katika\(g(x)\) kupata\(f'\big(g(x)\big)\).
3. Kupata\(g'(x).\)
4. Andika\(h'(x)=f'\big(g(x)\big)⋅g'(x).\)

Kumbuka: Wakati wa kutumia utawala wa mnyororo kwa muundo wa kazi mbili au zaidi, kukumbuka kwamba tunafanya kazi yetu kutoka kwa kazi ya nje. Pia ni muhimu kukumbuka kwamba derivative ya muundo wa kazi mbili inaweza kufikiriwa kuwa na sehemu mbili; derivative ya muundo wa kazi tatu ina sehemu tatu; na kadhalika. Pia, kumbuka kwamba hatuwezi kutathmini derivative katika derivative.

Kanuni za Mnyororo na Nguvu zimeunganishwa

Sasa tunaweza kutumia utawala wa mnyororo kwa kazi za kuchanganya, lakini kumbuka kwamba mara nyingi tunahitaji kuitumia na sheria nyingine. Kwa mfano, ili kupata derivatives ya kazi za fomu\(h(x)=\big(g(x)\big)^n\), tunahitaji kutumia utawala wa mnyororo pamoja na utawala wa nguvu. Kwa kufanya hivyo, tunaweza kufikiria\(h(x)=\big(g(x)\big)^n\) kama\(f\big(g(x)\big)\) wapi\(f(x)=x^n\). Kisha\(f'(x)=nx^{n−1}\). Hivyo,\(f'\big(g(x)\big)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\). Hii inatuongoza kwa derivative ya kazi ya nguvu kwa kutumia utawala mnyororo,

\(h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)\)

Kanuni: Utawala wa Nguvu kwa Muundo wa Kazi (Utawala Mkuu wa Nguvu

Kwa maadili yote ambayo derivative ni defined, kama\(x\)

\[h(x)=\big(g(x)\big)^n, \nonumber \]

Kisha

\[h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x) \label{genpow}. \]

Mfano\(\PageIndex{1}\): Using the Chain and Power Rules

Kupata derivative ya\(h(x)=\dfrac{1}{(3x^2+1)^2}\).

Suluhisho

Kwanza, andika tena\(h(x)=\dfrac{1}{(3x^2+1)^2}=(3x^2+1)^{−2}\).

Kutumia utawala wa nguvu na\(g(x)=3x^2+1\), tuna

\(h'(x)=−2(3x^2+1)^{−3}\cdot 6x\).

Kuandika tena kwenye fomu ya awali inatupa

\(h'(x)=\dfrac{−12x}{(3x^2+1)^3}\)

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Kupata derivative ya\(h(x)=(2x^3+2x−1)^4\).

Kidokezo

Matumizi General Power Utawala (equation\ ref {genpow}) kwa\(g(x)=2x^3+2x−1\).

Jibu

\(h'(x)=4(2x^3+2x−1)^3(6x^2+2)=8(3x^2+1)(2x^3+2x−1)^3\)

Mfano\(\PageIndex{2}\): Using the Chain and Power Rules with a Trigonometric Function

Kupata derivative ya\(h(x)=\sin^3x\).

Suluhisho

Kwanza kukumbuka kwamba\(\sin^3x=(\sin x)^3\), ili tuweze kuandika upya\(h(x)=\sin^3x\) kama\(h(x)=(\sin x)^3\).

Kutumia utawala wa nguvu na\(g(x)=\sin x\), tunapata

\(h'(x)=3(\sin x)^2\cos x=3\sin^2x\cos x\).

Mfano\(\PageIndex{3}\): Finding the Equation of a Tangent Line

Kupata equation ya tangent line kwa graph ya\(h(x)=\dfrac{1}{(3x−5)^2}\) saa\(x=2\).

Suluhisho

Kwa sababu sisi ni kutafuta equation ya mstari, tunahitaji uhakika. \(x\)Kuratibu ya uhakika ni 2. Kupata\(y\) -kuratibu, mbadala 2 katika\(h(x)\). Tangu\(h(2)=\dfrac{1}{(3(2)−5)^2}=1\), hatua ni\((2,1)\).

Kwa mteremko, tunahitaji\(h'(2)\). Ili kupata\(h'(x)\), kwanza tunaandika tena\(h(x)=(3x−5)^{−2}\) na kutumia utawala wa nguvu ili kupata

\(h'(x)=−2(3x−5)^{−3}(3)=−6(3x−5)^{−3}\).

Kwa kubadilisha, tuna\(h'(2)=−6(3(2)−5)^{−3}=−6.\)

Kwa hiyo, mstari una equation\(y−1=−6(x−2)\). Kuandika upya, equation ya mstari ni\(y=−6x+13\).

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Kupata equation ya tangent line kwa grafu ya\(f(x)=(x^2−2)^3\) saa\(x=−2\).

Kidokezo

Tumia mfano uliotangulia kama mwongozo.

Jibu

\(y=−48x−88\)

Kuchanganya Utawala wa Chain na Kanuni Zingine

Sasa kwa kuwa tunaweza kuchanganya utawala wa mnyororo na utawala wa nguvu, tunachunguza jinsi ya kuchanganya utawala wa mnyororo na sheria nyingine ambazo tumejifunza. Hasa, tunaweza kuitumia kwa fomu za derivatives ya kazi za trigonometric au kwa utawala wa bidhaa.

Mfano\(\PageIndex{4}\): Using the Chain Rule on a General Cosine Function

Kupata derivative ya\(h(x)=\cos\big(g(x)\big).\)

Suluhisho

Fikiria\(h(x)=\cos\big(g(x)\big)\) kama\(f\big(g(x)\big)\) wapi\(f(x)=\cos x\). tangu\(f'(x)=−\sin x\), tuna\(f'\big(g(x)\big)=−\sin\big(g(x)\big)\). Kisha tunafanya hesabu zifuatazo.

\ [\ kuanza {align*} h' (x) &=f'\ kubwa (g (x)\ kubwa)\ cdot g' (x) &\ maandishi {Weka utawala mnyororo.}\\ [4pt]
&=-\ dhambi\ kubwa (g (x)\ kubwa)\ cdot g' (x) &\ maandishi {mbadala}\; f'\ kubwa (g (x)\ kubwa) =\\ dhambi\ kubwa (g (x)\ kubwa). \ mwisho {align*}\ nonumber\]

Hivyo, derivative ya\(h(x)=\cos\big(g(x)\big)\) hutolewa na\(h'(x)=−\sin\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\)

Katika mfano unaofuata tunatumia utawala ambao tuna tu inayotokana.

Mfano\(\PageIndex{5}\): Using the Chain Rule on a Cosine Function

Kupata derivative ya\(h(x)=\cos(5x^2).\)

Suluhisho

Hebu\(g(x)=5x^2\). Kisha\(g'(x)=10x\). Kutumia matokeo kutoka kwa mfano uliopita,

\(h'(x)=−\sin(5x^2)⋅10x=−10x\sin(5x^2)\)

Mfano\(\PageIndex{6}\): Using the Chain Rule on Another Trigonometric Function

Kupata derivative ya\(h(x)=\text{sec}(4x^5+2x).\)

Suluhisho

Tumia utawala wa mnyororo\(h(x)=\text{sec}\big(g(x)\big)\) ili kupata

\(h'(x)=\text{sec}(g(x))\tan\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\)

Katika tatizo hili,\(g(x)=4x^5+2x,\) hivyo tuna\(g'(x)=20x^4+2.\) hiyo, tunapata

\(h'(x)=\text{sec}(4x^5+2x)\tan(4x^5+2x)(20x^4+2)=(20x^4+2)\text{sec}(4x^5+2x)\tan(4x^5+2x).\)

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Kupata derivative ya\(h(x)=\sin(7x+2).\)

Kidokezo

Tumia utawala wa mnyororo kwa\(h(x)=\sin\big(g(x)\big)\) kwanza na kisha utumie\(g(x)=7x+2\).

Jibu

\(h'(x)=7\cos(7x+2)\)

Kwa hatua hii tunatoa orodha ya fomu za derivative ambazo zinaweza kupatikana kwa kutumia utawala wa mnyororo kwa kushirikiana na fomu za derivatives ya kazi za trigonometric. Derivations yao ni sawa na yale yaliyotumika katika mifano hapo juu. Kwa urahisi, fomu pia hutolewa katika maelezo ya Leibniz, ambayo wanafunzi wengine hupata rahisi kukumbuka. (Tunazungumzia utawala wa mnyororo kwa kutumia nukuu ya Leibniz mwishoni mwa sehemu hii.) Si lazima kabisa kukariri hizi kama formula tofauti kama wao ni maombi yote ya utawala wa mlolongo kwa formula zilizojifunza hapo awali.

Kutumia Utawala wa Chain na Kazi za Trigonometric

Kwa maadili yote ambayo derivative hufafanuliwa,\(x\)

\(\dfrac{d}{dx}\Big(\sin(g(x))\Big)=\cos(g(x))\cdot g'(x)\)	\(\dfrac{d}{dx}\Big(\sin u\Big)=\cos u\cdot\dfrac{du}{dx}\)
\(\dfrac{d}{dx}\Big(\cos(g(x))\Big)=−\sin(g(x))\cdot g'(x)\)	\(\dfrac{d}{dx}\Big(\cos u\Big)=−\sin u\cdot\dfrac{du}{dx}\)
\(\dfrac{d}{dx}\Big(\tan(g(x))\Big)=\sec^2(g(x))\cdot g'(x)\)	\(\dfrac{d}{dx}\Big(\tan u\Big)= \text{sec}^2u\cdot\dfrac{du}{dx}\)
\(\dfrac{d}{dx}\Big(\cot(g(x))\Big)=−\text{csc}^2(g(x))\cdot g'(x)\)	\(\dfrac{d}{dx}\Big(\cot u\Big)=−\text{csc}^2u\cdot\dfrac{du}{dx}\)
\(\dfrac{d}{dx}\Big(\text{sec}(g(x))\Big)=\text{sec}(g(x))\tan(g(x))\cdot g'(x)\)	\(\dfrac{d}{dx}\Big(\text{sec}\,u\Big)=\text{sec}\,u\tan u\cdot\dfrac{du}{dx}\)
\(\dfrac{d}{dx}\Big(\text{csc}(g(x))\Big)=−\text{csc}(g(x))\cot(g(x))\cdot g'(x)\)	\(\dfrac{d}{dx}\Big(\text{csc}\,u\Big)=−\text{csc}\,u\cot u \cdot\dfrac{du}{dx}.\)

Mfano\(\PageIndex{7}\): Combining the Chain Rule with the Product Rule

Kupata derivative ya\(h(x)=(2x+1)^5(3x−2)^7\).

Suluhisho

Kwanza tumia utawala wa bidhaa, kisha utumie utawala wa mnyororo kwa kila muda wa bidhaa.

\ (\ kuanza {align*} h' (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ kubwa (2x+1) ^5\ kubwa) ∙ (3x-1) ^7+\ dfrac {d} {dx}\ kubwa (3x-1) ^7\ kubwa) (2x+1) ^5 &\ maandishi {Tumia utawala wa bidhaa.}\\ [4pt]
&=5 (2x+1) ^42 (3x-2) ^7+7 (3x-2) ^63( 2x+1) ^5 &\ maandishi {Tumia utawala wa mnyororo.}\\ [4pt]
&=10 (2x+1) ^4 (3x-2) ^7+21 ( 3x-1 2) ^6 (2x+1) ^5 & &\ maandishi {Kurahisisha.}\\ [4pt]
& =( 2x+1) ^4 (3x-1) ^6 (10 (3x-1) +21 (2x+1)) & &\ maandishi {Factor nje} (2x+1) ^4 (3x-1) ^6\\ [4pt] & =( 2x+1) ^4 (3x-1) ^6\\ [4pt] & =( 2x+1) ^4 (3x-1) ^6\\ [4pt]
& =( 2x+1) x+1) ^4 (3x-2) ^6 (72x+1) & &\ maandishi {kurahisisha.} \ mwisho {align*}\)

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Kupata derivative ya\(h(x)=\dfrac{x}{(2x+3)^3}\).

Kidokezo

Anza kwa kutumia utawala wa quotient. Kumbuka kutumia utawala wa mnyororo ili kutofautisha denominator.

Jibu

\(h'(x)=\dfrac{3−4x}{(2x+3)^4}\)

Composites ya Kazi Tatu au Zaidi

Sasa tunaweza kuchanganya utawala wa mnyororo na sheria nyingine za kutofautisha kazi, lakini tunapofafanua muundo wa kazi tatu au zaidi, tunahitaji kutumia utawala wa mnyororo zaidi ya mara moja. Ikiwa tunaangalia hali hii kwa ujumla, tunaweza kuzalisha formula, lakini hatuna haja ya kukumbuka, kwa kuwa tunaweza tu kutumia utawala wa mnyororo mara nyingi.

Kwa ujumla, kwanza sisi basi

\[k(x)=h\Big(f\big(g(x)\big)\Big).\nonumber \]

Kisha, kutumia utawala mnyororo mara tu sisi kupata

\[k'(x)=\dfrac{d}{dx}\Big(h\big(f\big(g(x)\big)\big)\Big)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)⋅\dfrac{d}{dx}\Big(f\big(g(x)\big)\Big).\nonumber \]

Kutumia utawala wa mnyororo tena, tunapata

\[k'(x)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)\cdot f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\nonumber \]

Kanuni: Utawala wa Chain kwa Muundo wa Kazi Tatu

Kwa maadili yote ambayo kazi ni tofauti, kama\(x\)

\(k(x)=h\Big(f\big(g(x)\big)\Big),\)

basi

\(k'(x)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)\cdot f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\)

Kwa maneno mengine, tunatumia utawala wa mnyororo mara mbili.

Angalia kwamba derivative ya muundo wa kazi tatu ina sehemu tatu. (Vile vile, derivative ya muundo wa kazi nne ina sehemu nne, na kadhalika.) Pia, kumbuka, tunaweza daima kufanya kazi kutoka nje, kuchukua derivative moja kwa wakati mmoja.

Mfano\(\PageIndex{8}\): Differentiating a Composite of Three Functions

Kupata derivative ya\(k(x)=\cos^4(7x^2+1).\)

Suluhisho

Kwanza, andika tena\(k(x)\) kama

\(k(x)=\big(\cos(7x^2+1)\big)^4\).

Kisha kutumia utawala wa mnyororo mara kadhaa.

\ (\ kuanza {align*} k' (x) &=4 (\ cos (7x ^ 2+1)) ^3\ cdot\ dfrac {d} {dx}\ kubwa (\ cos (7x ^ 2+1)\ kubwa) & &\ maandishi {Tumia utawala wa mlolongo.}\\ [4pt]
&=4 (\ cos (7x ^ 2+1)) ^3 (\ dhambi (7x ^ 2+1))\ cdot\ dfrac {d} {dx}\ kubwa (7x ^ 2+1\ kubwa) & &\ maandishi {Weka utawala wa mnyororo.}\\ [4pt]
&=4 (\ cos (7x ^ 2+1)) ^3 (∙\ dhambi (7x ^ 2+1)) (14x) & &\ maandishi {Weka utawala wa mnyororo.}\\ [4pt]
&=-56x\ dhambi (7x ^ 2+1)\ cos ^ 3 (7x^2+1) & &\ maandishi {Kurahisisha}\ mwisho {align*}\)

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Kupata derivative ya\(h(x)=\sin^6(x^3).\)

Kidokezo

Andika upya\(h(x)=\sin^6(x^3)=\big(\sin(x^3)\big)^6\) na utumie Mfano\(\PageIndex{8}\) kama mwongozo.

Jibu

\(h'(x)=18x^2\sin^5(x^3)\cos(x^3)\)

Mfano\(\PageIndex{9}\): Using the Chain Rule in a Velocity Problem

Chembe inakwenda pamoja na mhimili wa kuratibu. Msimamo wake wakati ni kutolewa na\(s(t)=\sin(2t)+\cos(3t)\). Je! Ni kasi gani ya chembe kwa wakati\(t=\dfrac{π}{6}\)?

Suluhisho

Ili kupata\(v(t)\), kasi ya chembe kwa wakati\(t\), tunapaswa kutofautisha\(s(t)\). Hivyo,

\[v(t)=s'(t)=2\cos(2t)−3\sin(3t).\nonumber \]

Uthibitisho wa Kanuni ya Chain

Kwa hatua hii, tunawasilisha ushahidi usio rasmi wa utawala wa mnyororo. Kwa ajili ya unyenyekevu sisi kupuuza masuala fulani: Kwa mfano, sisi kudhani kwamba\(g(x)≠g(a)\)\(x≠a\) kwa baadhi ya muda wazi zenye\(a\). Tunaanza kwa kutumia ufafanuzi wa kikomo wa derivative kwa kazi\(h(x)\) ili kupata\(h'(a)\):

\[h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{x−a}. \nonumber \]

Kuandika upya, tunapata

\[h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{g(x)−g(a)}⋅\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}. \nonumber \]

Pamoja na kwamba ni wazi kwamba

\[\lim_{x→a}\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}=g'(a), \nonumber \]

si dhahiri kwamba

\[\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{g(x)−g(a)}=f'\big(g(a)\big). \nonumber \]

Kuona kwamba hii ni kweli, kwanza kukumbuka kwamba tangu\(g\) ni differentiable katika\(a\), pia\(g\) ni kuendelea katika\(a.\) Hivyo,

\[\lim_{x→a}g(x)=g(a). \nonumber \]

Next, kufanya badala\(y=g(x)\) na\(b=g(a)\) na matumizi ya mabadiliko ya vigezo katika kikomo ili kupata

\[\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f \big(g(a) \big)}{g(x)−g(a)}=\lim_{y→b}\dfrac{f(y)−f(b)}{y−b}=f'(b)=f'\big(g(a)\big). \nonumber \]

Hatimaye,

\[h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big )}{g(x)−g(a)}⋅\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}=f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a). \nonumber \]

□

Mfano\(\PageIndex{10}\): Using the Chain Rule with Functional Values

Hebu\(h(x)=f\big(g(x)\big).\) Kama\(g(1)=4,g'(1)=3\), na\(f'(4)=7\), tafuta\(h'(1).\)

Suluhisho

Tumia utawala wa mnyororo, kisha ubadilishe.

\ [kuanza {align*} h' (1) &=f'\ kubwa (g (1)\ kubwa)\ cdot g' (1) & &\ maandishi {Weka utawala mnyororo.}\\ [4pt]
&=f' (4) 3 & &\ maandishi {mbadala}\; g (1) =4\;\ maandishi {na}\; g' (1) =3.\\ [4pt]
&=73 &\ maandishi {mbadala}\; f' (4) =7.\\ [4pt]
&=21 &\ maandishi {Kurahisisha.} \ mwisho {align*}\ nonumber\]

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Kutokana\(h(x)=f(g(x))\). Ikiwa\(g(2)=−3,g'(2)=4,\) na\(f'(−3)=7\), tafuta\(h'(2)\).

Kidokezo

Fuata Mfano\(\PageIndex{10}\).

Jibu

28

Utawala wa Mlolongo Kutumia Nukuu ya Leibniz

Kama ilivyo na derivatives nyingine ambazo tumeona, tunaweza kueleza utawala wa mnyororo kwa kutumia nukuu ya Leibniz. Nukuu hii kwa utawala wa mnyororo hutumiwa sana katika maombi ya fizikia.

Kwa\(h(x)=f(g(x)),\) basi\(u=g(x)\) na\(y=h(x)=f(u).\) hivyo,

\[h'(x)=\dfrac{dy}{dx}\nonumber \]

\[f'(g(x))=f'(u)=\dfrac{dy}{du}\nonumber \]

na

\[g'(x)=\dfrac{du}{dx}.\nonumber \]

Kwa hiyo,

\[\dfrac{dy}{dx}=h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}.\nonumber \]

Kanuni: Utawala wa Mlolongo Kutumia Notation ya Leibniz

Kama\(y\) ni kazi ya\(u\), na\(u\) ni kazi ya\(x\), kisha

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}. \nonumber \]

Mfano\(\PageIndex{11}\): Taking a Derivative Using Leibniz’s Notation I

Kupata derivative ya\(y=\left(\dfrac{x}{3x+2}\right)^5.\)

Suluhisho

Kwanza, basi\(u=\dfrac{x}{3x+2}\). Hivyo,\(y=u^5\). Kisha, tafuta\(\dfrac{du}{dx}\) na\(\dfrac{dy}{du}\). Kutumia utawala wa quotient,

\(\dfrac{du}{dx}=\dfrac{2}{(3x+2)^2}\)

na

\(\dfrac{dy}{du}=5u^4\).

Hatimaye, tunaiweka yote pamoja.

\ [kuanza {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\\ dfrac {dy} {du}}\ dfrac {dfrac {du} {dx} & &\ maandishi {Tumia utawala wa mlolongo.}\\ [4pt]
&=5u ^4u\ dfrac {2} {(3x+2) ^2} & &\ maandishi {mbadala}\\ frac {2} {(3x+2) ^2} &\ maandishi {mbadala}\\ c {dy} {du} =5u ^ 4\;\ maandishi {na}\;\ frac {du} {dx} =\ frac {2} {(3x+2) ^2}.\\ [4pt]
&=5\ kushoto (\ dfrac {x} {3x+2}\ haki) ^4\ dfrac {2} {(3x+2) ^2} &\ maandishi {mbadala}\; u=\ Frac {x} {3x+2}.\ [4pt]
&=\ dfrac {10x^4} {(3x+2) ^6} &\ maandishi {Kurahisisha.} \ mwisho {align*}\]

Ni muhimu kukumbuka kwamba, wakati wa kutumia fomu ya Leibniz ya utawala wa mnyororo, jibu la mwisho lazima lielezwe kabisa kwa suala la kutofautiana awali iliyotolewa katika tatizo.

Mfano\(\PageIndex{12}\): Taking a Derivative Using Leibniz’s Notation II

Kupata derivative ya\(y=\tan(4x^2−3x+1).\)

Suluhisho

Kwanza, basi\(u=4x^2−3x+1.\) basi\(y=\tan u\). Kisha, tafuta\(\dfrac{du}{dx}\) na\(\dfrac{dy}{du}\):

\(\dfrac{du}{dx}=8x−3\)na\(\dfrac{dy}{du}=\text{sec}^2u.\)

Hatimaye, tunaiweka yote pamoja.

\ [kuanza {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ dfrac {dfrac {du} {du}\ dfrac {du} {dx} & &\ maandishi {Tumia utawala mnyororo.}\\ [4pt]
&=\ maandishi {sec} ^2ux-3) & &\ maandishi {Matumizi}\;\ dfrac {du} {du} dx} =8x-3\;\ maandishi {na}\;\ dfrac {dy} {du} =\ maandishi {sec} ^2u.\\ [4pt]
&=\ maandishi {sec} ^2 (4x^2,13x+1) (8x-1) & amp;\ maandishi {mbadala}\; u=4x^2,13x+1. \ mwisho {align*}\ nonumber\]

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Matumizi nukuu Leibniz ya kupata derivative ya\(y=\cos(x^3)\). Hakikisha kwamba jibu la mwisho linaelezwa kabisa kwa suala la kutofautiana\(x\).

Kidokezo

Hebu\(u=x^3\).

Jibu

\(\dfrac{dy}{dx}=−3x^2\sin(x^3).\)

Dhana muhimu

• Utawala wa mnyororo unatuwezesha kutofautisha nyimbo za kazi mbili au zaidi. Inasema kuwa kwa\(h(x)=f\big(g(x)\big),\)

\(h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\)

Katika nukuu ya Leibniz sheria hii inachukua fomu

\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}\).

• Tunaweza kutumia utawala wa mnyororo na sheria zingine ambazo tumejifunza, na tunaweza kupata fomu kwa baadhi yao.
• Utawala wa mnyororo unachanganya na utawala wa nguvu ili kuunda utawala mpya:

Ikiwa\(h(x)=\big(g(x)\big)^n\), basi\(h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)\).

• Ikiwa inatumika kwa muundo wa kazi tatu, utawala wa mnyororo unaweza kuelezwa kama ifuatavyo: Ikiwa\(h(x)=f\Big(g\big(k(x)\big)\Big),\) basi\(h'(x)=f'\Big(g\big(k(x)\big)\Big)\cdot g'\big(k(x)\big)\cdot k'(x).\)

Mlinganyo muhimu

• Utawala wa mnyororo

\(h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)\)

• Utawala wa nguvu kwa kazi

\(h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)\)

faharasa

utawala wa mnyororo

utawala wa mnyororo unafafanua derivative ya kazi ya composite kama derivative ya kazi ya nje, tathmini katika nyakati za kazi ya ndani, derivative ya kazi ya ndani.