3.3E: Mazoezi ya Sehemu

Katika mazoezi 1 - 12, tafuta$f'(x)$ kwa kila kazi.

1)$f(x)=x^7+10$

2)$f(x)=5x^3−x+1$

Jibu

$f'(x)=15x^2−1$

3)$f(x)=4x^2−7x$

4)$f(x)=8x^4+9x^2−1$

Jibu

$f'(x) = 32x^3+18x$

5)$f(x)=x^4+2x$

6)$f(x)=3x\left(18x^4+\dfrac{13}{x+1}\right)$

Jibu

$f'(x) = 270x^4+\dfrac{39}{(x+1)^2}$

7)$f(x)=(x+2)(2x^2−3)$

8)$f(x)=x^2\left(\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}\right)$

Jibu

$f'(x) = \dfrac{−5}{x^2}$

9)$f(x)=\dfrac{x^3+2x^2−4}{3}$

10)$f(x)=\dfrac{4x^3−2x+1}{x^2}$

Jibu

$f'(x) = \dfrac{4x^4+2x^2−2x}{x^4}$

11)$f(x)=\dfrac{x^2+4}{x^2−4}$

12)$f(x)=\dfrac{x+9}{x^2−7x+1}$

Jibu

$f'(x) = \dfrac{−x^2−18x+64}{(x^2−7x+1)^2}$

Katika mazoezi 13 - 16, pata usawa wa mstari wa tangent$T(x)$ kwenye grafu ya kazi iliyotolewa kwenye hatua iliyoonyeshwa. Tumia calculator ya graphing ili kuchora kazi na mstari wa tangent.

13) [T]$y=3x^2+4x+1$ katika$(0,1)$

14) [T]$y=2\sqrt{x}+1$ katika$(4,5)$

Jibu

$T(x)=\frac{1}{2}x+3$

15) [T]$y=\dfrac{2x}{x−1}$ katika$(−1,1)$

16) [T]$y=\dfrac{2}{x}−\dfrac{3}{x^2}$ katika$(1,−1)$

Jibu

$T(x)=4x−5$

Katika mazoezi 17 - 20, kudhani kwamba$f(x)$ na wote$g(x)$ ni kazi tofauti kwa wote$x$. Pata derivative ya kila kazi$h(x)$.

17)$h(x)=4f(x)+\dfrac{g(x)}{7}$

18)$h(x)=x^3f(x)$

Jibu

$h'(x)=3x^2f(x)+x^3f′(x)$

19)$h(x)=\dfrac{f(x)g(x)}{2}$

20)$h(x)=\dfrac{3f(x)}{g(x)+2}$

Jibu

$h'(x)=\dfrac{3f′(x)(g(x)+2)−3f(x)g′(x)}{(g(x)+2)^2}$

Kwa mazoezi 21 - 24, kudhani kuwa$f(x)$ na$g(x)$ ni kazi zote mbili tofauti na maadili kama ilivyoelezwa katika meza ifuatayo. Tumia meza ifuatayo ili kuhesabu derivatives zifuatazo.

$x$	1	2	3	4
$f(x)$	3	5	-2	0
$g(x)$	2	3	-4	6
$f′(x)$	-1	7	8	1-3
$g′(x)$	4	1	2	9

21) Pata$h′(1)$ kama$h(x)=x f(x)+4g(x)$.

22) Pata$h′(2)$ kama$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Jibu

$h'(2) =\frac{16}{9}$

23) Tafuta$h′(3)$ kama$h(x)=2x+f(x)g(x)$.

24) Tafuta$h′(4)$ kama$h(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{g(x)}{f(x)}$.

Jibu

$h'(4)$haijafafanuliwa.

Katika mazoezi 25 - 27, tumia takwimu zifuatazo ili kupata derivatives zilizoonyeshwa, ikiwa zipo.

25) Hebu$h(x)=f(x)+g(x)$. Kupata

a)$h′(1)$,

b)$h′(3)$, na

c)$h′(4)$.

26) Hebu$h(x)=f(x)g(x).$ Tafuta

a)$h′(1),$

b)$h′(3)$, na

c)$h′(4).$

Jibu

a.$h'(1) = 2$,
b.$h'(3)$ haipo,
c.$h'(4) = 2.5$

27) Hebu$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}.$ Tafuta

a)$h′(1),$

b)$h′(3)$, na

c)$h′(4).$

Katika mazoezi 28 - 31,

a) kutathmini$f′(a)$, na

b) grafu kazi$f(x)$ na mstari wa tangent saa$x=a$.

28) [T]$f(x)=2x^3+3x−x^2, \quad a=2$

Jibu

a. 23
b.$y=23x−28$

29) [T]$f(x)=\dfrac{1}{x}−x^2, \quad a=1$

30) [T]$f(x)=x^2−x^{12}+3x+2, \quad a=0$

Jibu

a.$3$
b.$y=3x+2$

31) [T]$f(x)=\dfrac{1}{x}−x^{2/3}, \quad a=−1$

32) Pata usawa wa mstari wa tangent kwenye grafu ya$f(x)=2x^3+4x^2−5x−3$ saa$x=−1.$

Jibu

$y=−7x−3$

33) Pata usawa wa mstari wa tangent kwenye grafu ya$f(x)=x^2+\dfrac{4}{x}−10$ saa$x=8$.

34) Pata usawa wa mstari wa tangent kwenye grafu ya$f(x)=(3x−x^2)(3−x−x^2)$ saa$x=1$.

Jibu

$y=−5x+7$

35) Kupata uhakika juu ya grafu ya$f(x)=x^3$ vile kwamba line tangent katika hatua hiyo ina$x$ -intercept ya$(6,0)$.

36) Kupata equation ya mstari kupita kwa njia ya uhakika$P(3,3)$ na tangent kwa grafu ya$f(x)=\dfrac{6}{x−1}$.

Jibu

$y=−\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}$

37) Tambua pointi zote kwenye grafu ambayo mteremko wa mstari wa tangent ni$f(x)=x^3+x^2−x−1$

a. usawa

b. -1.

38) Pata polynomial quadratic kama hiyo$f(1)=5,\; f′(1)=3$ na$f''(1)=−6.$

Jibu

$y=−3x^2+9x−1$

39) Gari inayoendesha gari kando ya barabara kuu na trafiki imesafiri$s(t)=t^3−6t^2+9t$ mita kwa$t$ sekunde.

a Kuamua wakati kwa sekunde wakati kasi ya gari ni 0.

b Kuamua kasi ya gari wakati kasi ni 0.

40) [T] sill kuogelea pamoja mstari wa moja kwa moja ina alisafiri$s(t)=\dfrac{t^2}{t^2+2}$ miguu katika$t$

sekunde. Kuamua kasi ya herring wakati imesafiri sekunde 3.

Jibu

$\frac{12}{121}$au 0.0992 ft/s

41) Idadi ya watu katika mamilioni ya flounder ya arctic katika Bahari ya Atlantiki inatokana na kazi$P(t)=\dfrac{8t+3}{0.2t^2+1}$, ambapo$t$ hupimwa kwa miaka.

a Tambua idadi ya watu ya awali ya flounder.

b Kuamua$P′(10)$ na kutafsiri kwa ufupi matokeo.

42) [T] Mkusanyiko wa antibiotiki katika$t$ masaa ya damu baada ya kuingizwa hutolewa na kazi$C(t)=\dfrac{2t^2+t}{t^3+50}$, ambapo$C$ hupimwa kwa miligramu kwa lita moja ya damu.

Kupata kiwango cha mabadiliko ya$C(t).$

b Kuamua kiwango cha mabadiliko kwa$t=8,12,24$, na$36$.

c. kuelezea kwa kifupi kile kinachoonekana kuwa kinatokea kama idadi ya masaa inavyoongezeka.

Jibu

a.$\dfrac{−2t^4−2t^3+200t+50}{(t^3+50)^2}$
b.$−0.02395$ mg/L-hr,$−0.01344$ mg/L-hr,$−0.003566$$−0.001579$ mg/L-hr, mg/L-hr
c. kiwango ambacho mkusanyiko wa madawa ya kulevya katika damu hupungua kwa 0 kama ongezeko la muda.

43) Mchapishaji wa kitabu ana kazi ya gharama iliyotolewa na$C(x)=\dfrac{x^3+2x+3}{x^2}$, wapi$x$ idadi ya nakala za kitabu kwa maelfu na$C$ ni gharama, kwa kitabu, kipimo kwa dola. Tathmini$C′(2)$ na kuelezea maana yake.

44) [T] Kwa mujibu wa sheria ya Newton ya gravitation zima, nguvu$F$ kati ya miili miwili ya molekuli ya mara kwa mara$m_1$ na$m_2$ inatolewa na formula$F=\dfrac{Gm_1m_2}{d^2}$, ambapo$G$ ni mara kwa mara mvuto na$d$ ni umbali kati ya miili.

a Tuseme kwamba$G,m_1,$ na$m_2$ ni mara kwa mara. Pata kiwango cha mabadiliko ya nguvu$F$ kwa heshima na umbali$d$.

pata kiwango cha mabadiliko ya nguvu$F$ na mara kwa mara ya mvuto$G=6.67×10^{−11} \text{Nm}^2/\text{kg}^2$, juu ya miili miwili mita 10 mbali, kila mmoja na uzito wa kilo 1000.

Jibu

a.$F'(d)=\dfrac{−2Gm_1m_2}{d_3}$
b.$−1.33×10^{−7}$ N/m