Home
Kiswahili
Kitabu: Calculus (OpenStax)
3: Derivatives
3.4: derivatives kama Viwango vya Mabadiliko

3.4: derivatives kama Viwango vya Mabadiliko

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178906

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Kuamua thamani mpya ya wingi kutoka thamani ya zamani na kiasi cha mabadiliko.
Tumia kiwango cha wastani cha mabadiliko na ueleze jinsi inatofautiana na kiwango cha mabadiliko ya papo hapo.
Tumia viwango vya mabadiliko ya uhamisho, kasi, na kuongeza kasi ya kitu kinachohamia kwenye mstari wa moja kwa moja.
Kutabiri idadi ya watu baadaye kutoka thamani ya sasa na kiwango cha ukuaji wa idadi ya watu.
Tumia derivatives kuhesabu gharama ndogo na mapato katika hali ya biashara.

Katika sehemu hii tunaangalia baadhi ya maombi ya derivative kwa kuzingatia tafsiri ya derivative kama kiwango cha mabadiliko ya kazi. Maombi haya ni pamoja na kuongeza kasi na kasi katika fizikia, viwango vya ukuaji wa idadi ya watu katika biolojia, na kazi za pembezoni katika uchumi.

Kiasi cha Mfumo wa Mabadiliko

Programu moja ya derivatives ni kukadiria thamani isiyojulikana ya kazi kwa hatua kwa kutumia thamani inayojulikana ya kazi wakati fulani pamoja na kiwango chake cha mabadiliko katika hatua iliyotolewa. Ikiwa$f(x)$ ni kazi iliyoelezwa kwa muda$[a,a+h]$, basi kiasi cha mabadiliko ya$f(x)$ zaidi ya muda ni mabadiliko katika$y$ maadili ya kazi juu ya muda huo na hutolewa na

\[f(a+h)−f(a). \nonumber \]

Kiwango cha wastani cha mabadiliko ya kazi$f$ juu ya muda huo huo ni uwiano wa kiasi cha mabadiliko juu ya kipindi hicho kwa mabadiliko yanayofanana katika$x$ maadili. Ni iliyotolewa na

\[\frac{f(a+h)−f(a)}{h}. \nonumber \]

Kama sisi tayari kujua, kiwango cha instantaneous ya mabadiliko ya$f(x)$ saa$a$ ni derivative yake

\[f′(a)=\lim_{h→0}\frac{f(a+h)−f(a)}{h}. \nonumber \]

Kwa maadili madogo ya kutosha ya$h$,$f′(a)≈\frac{f(a+h)−f(a)}{h}$. Tunaweza kisha kutatua kwa$f(a+h)$ kupata kiasi cha mabadiliko formula:

\[f(a+h)≈f(a)+f′(a)h. \label{linapprox} \]

Tunaweza kutumia formula hii kama tunajua tu$f(a)$$f′(a)$ na na unataka kukadiria thamani ya$f(a+h)$. Kwa mfano, tunaweza kutumia idadi ya sasa ya mji na kiwango ambacho kinaongezeka ili kukadiria idadi yake katika siku za usoni. Kama tunavyoona katika Kielelezo$\PageIndex{1}$, sisi ni makadirio$f(a+h)$ na$y$ kuratibu katika+h kwenye mstari tangent kwa$f(x)$ saa$x=a$. Angalia kwamba usahihi wa makadirio haya inategemea thamani ya$h$ pamoja na thamani ya$f′(a)$.

Kwenye ndege ya kuratibu ya Cartesian na a + h iliyowekwa kwenye mhimili wa x, kazi f imewekwa. Inapita kupitia (a, f (a)) na (a + h, f (a + h)). Mstari wa moja kwa moja hutolewa kupitia (a, f (a)) na mteremko wake kuwa derivative wakati huo. Mstari huu wa moja kwa moja unapita kupitia (a + h, f (a) + f' (a) h). Kuna sehemu ya mstari inayounganisha (a + h, f (a + h)) na (a + h, f (a) + f' (a) h), na ni alama kwamba hii ni kosa katika kutumia f (a) + f' (a) h kukadiria f (a + h). — Kielelezo$\PageIndex{1}$: Thamani mpya ya kiasi kilichobadilishwa ni sawa na thamani ya awali pamoja na kiwango cha mabadiliko mara wakati wa mabadiliko:$f(a+h)≈f(a)+f′(a)h.$

Mfano$\PageIndex{1}$: Estimating the Value of a Function

Kama$f(3)=2$ na$f′(3)=5$, makadirio$f(3.2)$.

Suluhisho

Anza kwa kutafuta$h$. Sisi$h=3.2−3=0.2.$ ndivyo tunavyo,

$f(3.2)=f(3+0.2)≈f(3)+(0.2)f′(3)=2+0.2(5)=3.$

Zoezi$\PageIndex{1}$

Kutokana$f(10)=−5$ na$f′(10)=6$, makadirio$f(10.1)$.

Kidokezo: Tumia mchakato sawa na katika mfano uliotangulia.

Jibu: $−4.4$

Mwendo kando ya Mstari

Matumizi mengine kwa derivative ni kuchambua mwendo kando ya mstari. Tumeelezea kasi kama kiwango cha mabadiliko ya msimamo. Ikiwa tunachukua derivative ya kasi, tunaweza kupata kasi, au kiwango cha mabadiliko ya kasi. Pia ni muhimu kuanzisha wazo la kasi, ambayo ni ukubwa wa kasi. Hivyo, tunaweza kusema ufafanuzi wafuatayo wa hisabati.

Ufafanuzi

Hebu$s(t)$ kuwa kazi kutoa nafasi ya kitu kwa wakati t.

Kasi ya kitu kwa wakati$t$ hutolewa na$v(t)=s′(t)$.
Kasi ya kitu kwa wakati$t$ hutolewa na$|v(t)|$.
Kuharakisha kitu katika$t$ hutolewa na$a(t)=v′(t)=s''(t)$.

Mfano$\PageIndex{2}$: Comparing Instantaneous Velocity and Average Velocity

Mpira umeshuka kutoka urefu wa miguu 64. Urefu wake juu ya ardhi (kwa miguu)$t$ sekunde baadaye hutolewa na$s(t)=−16t^2+64$.

$Katika ndege ya kuratibu ya Cartesian, kazi s (t) = -16t2 + 64 imewekwa. Kazi hii huanza saa (0, 64) na itapungua kwa (0, 2).$

ni kasi instantaneous ya mpira wakati hits ardhi?
Je! Ni kasi ya wastani wakati wa kuanguka kwake?

Suluhisho

Kitu cha kwanza cha kufanya ni kuamua muda gani inachukua mpira kufikia ardhi. Ili kufanya hivyo, weka$s(t)=0$. Kutatua$−16t^2+64=0$, tunapata$t=2$, hivyo inachukua sekunde 2 kwa mpira kufikia ardhi.

Kasi ya papo hapo ya mpira kama inapiga ardhi ni$v(2)$. tangu$v(t)=s′(t)=−32t$, sisi kupata$v(t)=−64$ ft/s.
Kasi ya wastani ya mpira wakati wa kuanguka kwake ni

$v_{ave}=\frac{s(2)−s(0)}{2−0}=\frac{0−64}{2}=−32$ft/s.

Mfano$\PageIndex{3}$: Interpreting the Relationship between $v(t)$ and $a(t)$

Chembe inakwenda pamoja na mhimili wa kuratibu katika mwelekeo mzuri kwenda kulia. Msimamo wake$t$ kwa wakati hutolewa na$s(t)=t^3−4t+2$. Pata$v(1)$$a(1)$ na utumie maadili haya kujibu maswali yafuatayo.

Je, chembe huhamia kutoka kushoto kwenda kulia au kutoka kulia kwenda kushoto wakati$t=1$?
Je, chembe inaharakisha au kupunguza kasi kwa wakati$t=1$?

Suluhisho

Anza kwa kutafuta$v(t)$ na$a(t)$.

$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 4$na$a(t)=v′(t)=s''(t)=6t$.

Kutathmini kazi hizi katika$t=1$, sisi kupata$v(1)=−1$ na$a(1)=6$.

Kwa sababu$v(1)<0$, chembe inahamia kutoka kulia kwenda kushoto.
Kwa sababu$v(1)<0$ na$a(1)>0$, kasi na kuongeza kasi ni kaimu katika mwelekeo kinyume. Kwa maneno mengine, chembe inaharakishwa katika mwelekeo kinyume na mwelekeo ambao unasafiri, na$|v(t)|$ kusababisha kupungua. Chembe inapungua.

Mfano$\PageIndex{4}$: Position and Velocity

Msimamo wa chembe inayohamia kando ya mhimili wa kuratibu hutolewa na$s(t)=t^3−9t^2+24t+4,\; t≥0.$

Kupata$v(t)$.
Wakati gani (s) ni chembe inapumzika?
Kwa vipindi gani wakati ni chembe inayohamia kutoka kushoto kwenda kulia? Kutoka kulia kwenda kushoto?
Tumia maelezo yaliyopatikana ili mchoro njia ya chembe kwenye mhimili wa kuratibu.

Suluhisho

a. kasi ni derivative ya kazi nafasi:

$v(t)=s′(t)=3t^2−18t+24.$

b. chembe ni katika mapumziko wakati$v(t)=0$, hivyo kuweka$3t^2−18t+24=0$. Kuzingatia upande wa kushoto wa equation hutoa$3(t−2)(t−4)=0$. Kutatua, tunaona kwamba chembe inapumzika$t=2$ na$t=4$.

c. chembe ni kusonga kutoka kushoto kwenda kulia wakati$v(t)>0$ na kutoka kulia kwenda kushoto wakati$v(t)<0$. Kielelezo$\PageIndex{2}$ hutoa uchambuzi wa ishara ya$v(t)$ kwa$t≥0$, lakini haiwakilishi mhimili ambao chembe inahamia.

Mstari wa nambari uliowekwa na 0, 2, na 4. Kati ya 0 na 2, kuna ishara ya pamoja. Zaidi ya 2, kuna 0. Kati ya 2 na 4 kuna ishara hasi. Zaidi ya 4 kuna 0. baada 4 kuna ishara pamoja na v (t). — $\PageIndex{2}$Kielelezo:Ishara ya$v(t)$ huamua mwelekeo wa chembe.

Tangu$3t^2−18t+24>0$ kuendelea$[0,2)∪(4,+∞)$, chembe inahamia kutoka kushoto kwenda kulia kwa vipindi hivi.
Tangu$3t^2−18t+24<0$ kuendelea$(2,4)$, chembe inahamia kutoka kulia kwenda kushoto wakati huu.

d Kabla ya mchoro grafu ya chembe, tunahitaji kujua msimamo wake wakati unapoanza kusonga$(t=0)$ na wakati unabadilisha mwelekeo$(t=2,4)$. tuna$s(0)=4$,$s(2)=24$, na$s(4)=20$. Hii inamaanisha kwamba chembe huanza kwenye mhimili wa kuratibu$4$ na kubadilisha mwelekeo kwenye$24$ na$20$ kwenye mhimili wa kuratibu. Njia ya chembe inavyoonekana kwenye mhimili wa kuratibu katika Kielelezo$\PageIndex{3}$.

Mstari wa namba unapewa na juu yake nyoka za mstari, kuanzia saa t = 0 juu ya 4 kwenye mstari wa namba. Kisha mstari wa t = 2 ni juu ya 24 kwenye mstari wa nambari. Kisha mstari hupungua kwa t = 4 kuwa juu ya 20 kwenye mstari wa nambari, wakati ambapo mstari unarudi mwelekeo tena na huongezeka kwa muda usiojulikana. — Kielelezo$\PageIndex{3}$: Njia ya chembe inaweza kuamua kwa kuchambua$v(t)$.

Zoezi$\PageIndex{2}$

Chembe inakwenda pamoja na mhimili wa kuratibu. Msimamo wake$t$ kwa wakati hutolewa na$s(t)=t^2−5t+1$. Je, chembe huhamia kutoka kulia kwenda kushoto au kutoka kushoto kwenda kulia kwa wakati$t=3$?

Kidokezo: Pata$v(3)$ na uangalie ishara.

Jibu: kushoto kwenda kulia

Mabadiliko ya idadi ya watu

Mbali na kuchambua kasi, kasi, kuongeza kasi, na msimamo, tunaweza kutumia derivatives kuchambua aina mbalimbali za wakazi, ikiwa ni pamoja na wale walio tofauti kama makoloni ya bakteria na miji. Tunaweza kutumia idadi ya sasa, pamoja na kiwango cha ukuaji, kukadiria ukubwa wa idadi ya watu katika siku zijazo. Kiwango cha ukuaji wa idadi ya watu ni kiwango cha mabadiliko ya idadi ya watu na hivyo inaweza kuwakilishwa na derivative ya ukubwa wa idadi ya watu.

Ufafanuzi

Kama$P(t)$ ni idadi ya vyombo sasa katika idadi ya watu, basi kiwango cha ukuaji wa idadi ya watu$P(t)$ hufafanuliwa kuwa$P′(t)$.

Mfano$\PageIndex{5}$: Estimating a Population

Idadi ya wakazi wa mji ni mara tatu kila baada ya miaka 5. Ikiwa idadi yake ya sasa ni 10,000, itakuwa nini idadi yake ya takriban miaka 2 tangu sasa?

Suluhisho

Hebu$P(t)$ kuwa idadi ya watu (kwa maelfu)$t$ miaka tangu sasa. Hivyo, tunajua kwamba$P(0)=10$ na kulingana na taarifa, tunatarajia$P(5)=30$. Sasa makisio$P′(0)$, kiwango cha ukuaji wa sasa, kwa kutumia

$P′(0)≈\frac{P(5)−P(0)}{5−0}=\frac{30−10}{5}=4$.

Kwa kutumia Equation\ ref {linapprox} kwa$P(t)$, tunaweza kukadiria idadi ya watu miaka 2 kuanzia sasa kwa kuandika

$P(2)≈P(0)+(2)P′(0)≈10+2(4)=18$;

hivyo, katika miaka 2 idadi ya watu itakuwa 18,000.

Zoezi$\PageIndex{3}$

Idadi ya sasa ya koloni ya mbu inajulikana kuwa 3,000; yaani,$P(0)=3,000$. Ikiwa$P′(0)=100$, tathmini ukubwa wa idadi ya watu katika siku 3, ambapo$t$ hupimwa kwa siku.

Kidokezo: Tumia$P(3)≈P(0)+3P′(0)$

Jibu: 3,300

Mabadiliko katika Gharama na Mapato

Mbali na kuchambua mwendo pamoja na ukuaji wa mstari na idadi ya watu, derivatives ni muhimu katika kuchambua mabadiliko katika gharama, mapato, na faida. Dhana ya kazi ndogo ni ya kawaida katika maeneo ya biashara na uchumi na ina maana matumizi ya derivatives. Gharama ndogo ni derivative ya kazi ya gharama. Mapato ya chini ni derivative ya kazi ya mapato. Faida ndogo ni derivative ya kazi ya faida, ambayo inategemea kazi ya gharama na kazi ya mapato.

Ufafanuzi

Ikiwa$C(x)$ ni gharama ya kuzalisha$x$ vitu, basi gharama ndogo$MC(x)$ ni$MC(x)=C′(x)$.
Ikiwa$R(x)$ ni mapato yaliyopatikana kutokana na kuuza$x$ vitu, basi mapato ya chini$MR(x)$ ni$MR(x)=R′(x)$.
Ikiwa$P(x)=R(x)−C(x)$ ni faida iliyopatikana kutokana na kuuza$x$ vitu, basi faida ya chini$MP(x)$ hufafanuliwa kuwa$MP(x)=P′(x)=MR(x)−MC(x)=R′(x)−C′(x)$.

Tunaweza takribani takriban

\[MC(x)=C′(x)=\lim_{h→0}\frac{C(x+h)−C(x)}{h} \nonumber \]

kwa kuchagua thamani sahihi kwa ajili ya$h$. Kwa kuwa$x$ inawakilisha vitu, thamani nzuri na ndogo kwa$h$ ni 1. Hivyo, kwa kubadilisha$h=1$, tunapata makadirio$MC(x)=C′(x)≈C(x+1)−C(x)$. Kwa hiyo,$C′(x)$ kwa thamani fulani ya$x$ inaweza kufikiriwa kama mabadiliko katika gharama zinazohusiana na kuzalisha bidhaa moja ya ziada. Kwa namna hiyo hiyo,$MR(x)=R′(x)$ inalinganisha mapato yaliyopatikana kwa kuuza kipengee kimoja cha ziada, na$MP(x)=P′(x)$ inakaribia faida iliyopatikana kwa kuzalisha na kuuza kipengee kimoja cha ziada.

Mfano$\PageIndex{6}$: Applying Marginal Revenue

Kudhani kwamba idadi ya dinners barbeque ambayo inaweza kuuzwa,$x$, inaweza kuhusiana na bei kushtakiwa,$p$, na equation$p(x)=9−0.03x,0≤x≤300$.

Katika kesi hiyo, mapato ya dola zilizopatikana kwa kuuza dinners$x$ barbeque hutolewa kwa

$R(x)=xp(x)=x(9−0.03x)=−0.03x^2+9x\;\text{ for }0≤x≤300$.

Tumia kazi ya mapato ya pembeni ili kukadiria mapato yaliyopatikana kutokana na kuuza chakula cha jioni cha$101^{\text{st}}$ barbeque. Linganisha hii na mapato halisi yaliyopatikana kutokana na uuzaji wa chakula cha jioni hiki.

Suluhisho

Kwanza, tafuta kazi ya mapato ya chini:$MR(x)=R′(x)=−0.06x+9.$

Kisha, tumia$R′(100)$ takriban$R(101)−R(100)$, mapato yaliyopatikana kutokana na uuzaji wa$101^{\text{st}}$ chakula cha jioni. Tangu$R′(100)=3$, mapato yaliyopatikana kutokana na mauzo ya$101^{\text{st}}$ chakula cha jioni ni takriban $3.

Mapato halisi yaliyopatikana kutokana na mauzo ya$101^{\text{st}}$ chakula cha jioni ni

$R(101)−R(100)=602.97−600=2.97,$au$$2.97.$

Mapato ya chini ni makadirio mazuri katika kesi hii na ina faida ya kuwa rahisi kuhesabu.

Zoezi$\PageIndex{4}$

Tuseme kwamba faida iliyopatikana kutokana na uuzaji wa dinners ya$x$ samaki-kaanga hutolewa na$P(x)=−0.03x^2+8x−50$. Tumia kazi ya faida ya chini ili kukadiria faida kutokana na uuzaji wa chakula cha jioni cha$101^{\text{st}}$ samaki-kaanga.

Kidokezo: Tumia$P′(100)$ kwa takriban$P(101)−P(100)$.

Jibu: $2

Dhana muhimu

Kutumia$f(a+h)≈f(a)+f′(a)h$, inawezekana kukadiria$f(a+h)$ kupewa$f′(a)$ na$f(a)$.
Kiwango cha mabadiliko ya msimamo ni kasi, na kiwango cha mabadiliko ya kasi ni kuongeza kasi. Kasi ni thamani kamili, au ukubwa, wa kasi.
Kiwango cha ukuaji wa idadi ya watu na idadi ya sasa inaweza kutumika kutabiri ukubwa wa idadi ya watu baadaye.
Gharama ndogo, mapato ya chini, na kazi za faida ndogo zinaweza kutumika kutabiri, kwa mtiririko huo, gharama ya kuzalisha bidhaa moja zaidi, mapato yaliyopatikana kwa kuuza bidhaa moja zaidi, na faida iliyopatikana kwa kuzalisha na kuuza bidhaa moja zaidi.

faharasa

kuongeza kasi: ni kiwango cha mabadiliko ya kasi, yaani, derivative ya kasi

kiasi cha mabadiliko: kiasi cha kazi$f(x)$ juu ya muda$[x,x+h] is f(x+h)−f(x)$

wastani wa kiwango cha mabadiliko: ni kazi$f(x)$ zaidi ya muda$[x,x+h]$ ni$\frac{f(x+h)−f(a)}{b−a}$

gharama ndogo: ni derivative ya kazi ya gharama, au gharama ya takriban ya kuzalisha bidhaa moja zaidi

mapato ya pembeni: ni derivative ya kazi ya mapato, au mapato ya takriban yaliyopatikana kwa kuuza kipengee kimoja zaidi

faida ya pembeni: ni derivative ya kazi ya faida, au faida takriban kupatikana kwa kuzalisha na kuuza bidhaa moja zaidi

kiwango cha ukuaji wa idadi: ni derivative ya idadi ya watu kwa heshima na wakati

kasi: ni thamani kamili ya kasi,$|v(t)|$ yaani, kasi ya kitu kwa wakati$t$ ambao kasi hutolewa na$v(t)$

Mfano\(\PageIndex{1}\): Estimating the Value of a Function

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Ufafanuzi

Mfano\(\PageIndex{2}\): Comparing Instantaneous Velocity and Average Velocity

Mfano\(\PageIndex{3}\): Interpreting the Relationship between \(v(t)\) and \(a(t)\)

Mfano\(\PageIndex{4}\): Position and Velocity

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Ufafanuzi

Mfano\(\PageIndex{5}\): Estimating a Population

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Ufafanuzi

Mfano\(\PageIndex{6}\): Applying Marginal Revenue

Zoezi\(\PageIndex{4}\)