3.4E: Mazoezi ya Sehemu ya 3.4
- Page ID
- 178910
Katika mazoezi ya 1 - 3, kazi zilizopewa zinawakilisha nafasi ya chembe inayosafiri kwenye mstari usio na usawa.
a Kupata kasi na kuongeza kasi ya kazi.
b Kuamua vipindi vya muda wakati kitu kinapunguza kasi au kuharakisha.
1)\(s(t)=2t^3−3t^2−12t+8\)
2)\(s(t)=2t^3−15t^2+36t−10\)
- Jibu
- a.\(v(t)=6t^2−30t+36,\quad a(t)=12t−30\);
b. kasi ya juu\( (2,2.5)∪(3,∞)\), hupungua kwa\((0,2)∪(2.5,3)\)
3)\(s(t)=\dfrac{t}{1+t^2}\)
4) roketi inafukuzwa wima zaidi kutoka chini. Umbali\(s\) katika miguu ambayo roketi husafiri kutoka ardhini baada ya\(t\) sekunde hutolewa na\(s(t)=−16t^2+560t\).
Kupata kasi ya roketi 3 sekunde baada ya kufukuzwa kazi.
Kupata kasi ya roketi 3 sekunde baada ya kufukuzwa kazi.
- Jibu
- a.\(464\; \text{ft/s}^2\)
b.\(−32\;\text{ft/s}^2\)
5) Mpira unatupwa chini kwa kasi ya ft/s 8 kutoka juu ya jengo la urefu wa 64-futi. Baada ya\(t\) sekunde, urefu wake juu ya ardhi hutolewa na\(s(t)=−16t^2−8t+64.\)
a Kuamua muda gani inachukua kwa mpira kugonga ardhi.
b Kuamua kasi ya mpira wakati inapiga ardhi.
6) Kazi ya msimamo\(s(t)=t^2−3t−4\) inawakilisha nafasi ya nyuma ya gari inayounga mkono nje ya driveway na kisha kuendesha gari kwenye mstari wa moja kwa moja, wapi\(s\) miguu na\(t\) iko katika sekunde. Katika kesi hii,\(s(t)=0\) inawakilisha wakati ambapo nyuma ya gari iko kwenye mlango wa karakana, hivyo\(s(0)=−4\) ni nafasi ya kuanzia ya gari, miguu 4 ndani ya karakana.
a. kuamua kasi ya gari wakati\(s(t)=0\).
b Kuamua kasi ya gari wakati\(s(t)=14\).
- Jibu
- a.\(5\) ft/s
b.\(9\) ft/s
7) Msimamo wa hummingbird kuruka kwenye mstari wa moja kwa moja katika\(t\) sekunde hutolewa na\(s(t)=3t^3−7t\) mita.
a Kuamua kasi ya ndege kwa\(t=1\) sec.
b Kuamua kasi ya ndege kwa\(t=1\) sec.
c Kuamua kuongeza kasi ya ndege wakati kasi sawa 0.
8) viazi ni ilizinduliwa wima zaidi na kasi ya awali ya 100 ft/s kutoka bunduki viazi juu ya jengo 85 mguu-mrefu. Umbali kwa miguu ambayo viazi husafiri kutoka ardhini baada ya\(t\) sekunde hutolewa na\(s(t)=−16t^2+100t+85\).
Kupata kasi ya viazi baada ya\(0.5\) s na\(5.75\) s.
b Kupata kasi ya viazi katika\(0.5\) s na\(5.75\) s.
c Kuamua wakati viazi kufikia urefu wake wa juu.
d Kupata kasi ya viazi katika\(0.5\) s na\(1.5\) s.
e Kuamua muda gani viazi ni hewa.
f Kuamua kasi ya viazi juu ya kupiga ardhi.
- Jibu
- a. 84 ft/s, -84 ft/s
b. 84 ft/s
c.\(\frac{25}{8}\) s
d.\(−32 \; \text{ft/s}^2\) katika kesi zote mbili
e.\(\frac{1}{8}(25+\sqrt{965})\) s
f.\(−4\sqrt{965}\) ft/s
9) Kazi ya msimamo\(s(t)=t^3−8t\) inatoa nafasi katika maili ya treni ya mizigo ambapo mashariki ni mwelekeo mzuri na hupimwa\(t\) kwa masaa.
a. kuamua mwelekeo treni ni kusafiri wakati\(s(t)=0\).
b Kuamua mwelekeo treni ni kusafiri wakati\(a(t)=0\).
c Kuamua vipindi wakati treni inapunguza kasi au kuharakisha.
10) Grafu ifuatayo inaonyesha nafasi\(y=s(t)\) ya kitu kinachohamia kwenye mstari wa moja kwa moja.
a Tumia grafu ya kazi ya msimamo ili kuamua vipindi vya wakati wakati kasi ni chanya, hasi, au sifuri.
b Mchoro grafu ya kazi ya kasi.
c Tumia grafu ya kazi ya kasi ili kuamua vipindi vya muda wakati kasi ni chanya, hasi, au sifuri.
d Tambua vipindi vya muda wakati kitu kinaharakisha au kupunguza kasi.
- Jibu
- a. kasi ni chanya juu ya\((0,1.5)∪(6,7)\), hasi juu ya\((1.5,2)∪(5,6)\), na sifuri juu ya\((2,5)\).
b.
c. kuongeza kasi ni chanya juu ya\((5,7)\), hasi juu ya\((0,2)\), na sifuri juu ya\((2,5)\).
d. kitu ni kasi ya juu\((6,7)∪(1.5,2)\) na kupunguza kasi ya juu ya\((0,1.5)∪(5,6)\).
11) Kazi ya gharama, kwa dola, ya kampuni inayozalisha wasindikaji wa chakula hutolewa na\(C(x)=200+\dfrac{7}{x}+\dfrac{x}{27}\), wapi\(x\) idadi ya wasindikaji wa chakula viwandani.
Pata kazi ya gharama ndogo.
pata gharama ndogo ya viwanda wasindikaji wa chakula 12.
pata gharama halisi ya utengenezaji wa mchakato wa chakula cha kumi na tatu.
12) Bei p (\(x\)kwa dola) na mahitaji ya redio fulani ya saa ya digital hutolewa na kazi ya mahitaji ya bei\(p=10−0.001x\).
Pata kazi ya mapato\(R(x)\)
pata kazi ya mapato ya pembeni.
c. kupata mapato pembezoni katika\(x=2000\) na\(5000\).
- Jibu
- a.\(R(x)=10x−0.001x^2\)
b.\( R′(x)=10−0.002x\)
c. $6 kwa kila kitu, $0 kwa kila kitu
13) [T] Faida hupatikana wakati mapato yanazidi gharama. Tuseme kazi ya faida kwa mtengenezaji wa skateboard hutolewa na\(P(x)=30x−0.3x^2−250\), wapi\(x\) idadi ya skateboards kuuzwa.
Pata faida halisi kutokana na uuzaji wa skateboard ya thelathini.
pata kazi ya faida ya chini na uitumie ili kukadiria faida kutokana na uuzaji wa skateboard ya thelathini.
14) [T] Kwa ujumla, kazi ya faida ni tofauti kati ya mapato na kazi za gharama:\(P(x)=R(x)−C(x)\).
Tuseme bei ya mahitaji na gharama kazi kwa ajili ya uzalishaji wa drills cordless hutolewa kwa mtiririko huo\(p=143−0.03x\) na\(C(x)=75,000+65x\), ambapo\(x\) ni idadi ya drills cordless ambayo ni kuuzwa kwa bei ya\(p\) dola kwa drill na\(C(x)\) ni gharama ya kuzalisha drills\(x\) cordless.
Pata kazi ya gharama ndogo.
pata mapato na kazi za mapato ya pembezoni.
c Kupata\(R′(1000)\) na\(R′(4000)\). Tafsiri matokeo.
d. kupata faida na pembezoni faida kazi.
e Kupata\(P′(1000)\) na\(P′(4000)\). Tafsiri matokeo.
- Jibu
- a.\(C′(x)=65\)
b.\(R(x)=143x−0.03x^2\),\(R′(x)=143−0.06x\)
c\(R′(1000)=83, \quad R′(4000) = −97\). Katika ngazi ya uzalishaji wa drills 1000 cordless, mapato yanaongezeka kwa kiwango cha $83 kwa drill; katika ngazi ya uzalishaji wa drills 4000 cordless, mapato yanapungua kwa kiwango cha $97 kwa kuchimba.
d.\(P(x)=−0.03x^2+78x−75000, \quad P′(x)=−0.06x+78\)
e\(P′(1000)=18, \quad P′(4000) =−162\). Katika ngazi ya uzalishaji wa drills 1000 cordless, faida inaongezeka kwa kiwango cha $18 kwa drill; katika ngazi ya uzalishaji wa drills 4000 cordless, faida inapungua kwa kiwango cha $162 kwa drill.
15) mji mdogo katika Ohio utakamilika kampuni actuarial kufanya utafiti kwamba inatokana na kiwango cha mabadiliko ya idadi ya watu wa mji. Utafiti uligundua kuwa idadi ya watu wa mji (kipimo kwa maelfu ya watu) inaweza kuwa inatokana na kazi\(P(t)=−\frac{1}{3}t^3+64t+3000\), ambapo\(t\) ni kipimo katika miaka.
Pata kiwango cha mabadiliko ya kazi ya kazi\(P′(t)\) ya idadi ya watu.
b. kupata\(P′(1),\; P′(2),\; P′(3)\), na\(P′(4)\). Tafsiri nini matokeo yanamaanisha mji.
c. kupata\(P''(1),\; P''(2),\; P''(3)\), na\(P''(4)\). Tafsiri nini matokeo yanamaanisha kwa wakazi wa mji.
16) [T] Utamaduni wa bakteria unakua kwa idadi kulingana na kazi\(N(t)=3000(1+\dfrac{4t}{t^2+100})\), ambapo\(t\) hupimwa kwa masaa.
Pata kiwango cha mabadiliko ya idadi ya bakteria.
b. kupata\(N′(0),\; N′(10),\; N′(20)\), na\(N′(30)\).
c. kutafsiri matokeo katika (b).
d. kupata\(N''(0),\; N''(10),\; N''(20),\) na\(N''(30)\). Tafsiri nini majibu yanamaanisha kuhusu ukuaji wa idadi ya bakteria.
- Jibu
- a.\(N′(t)=3000\left(\dfrac{−4t^2+400}{(t^2+100)^2}\right)\)
b.\(120,0,−14.4,−9.6\)
c. idadi ya bakteria huongezeka kutoka saa 0 hadi 10; baadaye, idadi ya bakteria hupungua.
d\(0,−6,0.384,0.432\). Kiwango ambacho bakteria huongezeka hupungua wakati wa masaa 10 ya kwanza. Baadaye, idadi ya bakteria inapungua kwa kiwango cha kupungua.
17) Nguvu ya centripetal ya kitu cha molekuli m hutolewa na\(F(r)=\dfrac{mv^2}{r}\), wapi\(v\) kasi ya mzunguko na\(r\) ni umbali kutoka katikati ya mzunguko.
Pata kiwango cha mabadiliko ya nguvu ya centripetal kwa heshima na umbali kutoka katikati ya mzunguko.
pata kiwango cha mabadiliko ya nguvu ya centripetal ya kitu kilicho na kilo 1000, kasi ya 13.89 m/s, na umbali kutoka katikati ya mzunguko wa mita 200.
Maswali yafuatayo yanahusu idadi ya watu (kwa mamilioni) ya London kwa muongo mmoja katika karne ya 19, ambayo imeorodheshwa katika meza ifuatayo.
| Mwaka Tangu 1800 | Idadi ya watu (mamilioni) |
| 1 | 0.8975 |
| 11 | 1.040 |
| 21 | 1.264 |
| 31 | 1.516 |
| 41 | 1.661 |
| 51 | 2.000 |
| 61 | 2.634 |
| 71 | 3.272 |
| 81 | 3.911 |
| 91 | 4.422 |
Idadi ya wakazi wa London Chanzo: http://en.Wikipedia.org/wiki/Demographics_of_London
18) [T]
a Kutumia calculator au programu ya kompyuta, pata kazi inayofaa zaidi ya kupima idadi ya watu.
pata derivative ya equation katika. na kuelezea maana yake ya kimwili.
pata derivative ya pili ya equation na kuelezea maana yake ya kimwili.
- Jibu
- a.\(P(t)=0.03983+0.4280\)
b\(P′(t)=0.03983\). Idadi ya watu inaongezeka.
c\(P''(t)=0\). Kiwango ambacho idadi ya watu inaongezeka ni mara kwa mara.
19) [T]
a Kutumia calculator au programu ya kompyuta, pata safu bora ya quadratic kupitia data.
pata derivative ya equation na kuelezea maana yake ya kimwili.
pata derivative ya pili ya equation na kuelezea maana yake ya kimwili.
Kwa mazoezi yafuatayo, fikiria astronaut kwenye sayari kubwa katika galaxy nyingine. Ili kujifunza zaidi kuhusu muundo wa sayari hii, astronaut hupiga sensor ya elektroniki ndani ya mfereji wa kina. Sensor hupeleka msimamo wake wima kila pili kuhusiana na msimamo wa astronaut. Muhtasari wa data ya sensor ya kuanguka huonyeshwa kwenye meza ifuatayo.
| Muda baada ya kuacha (s) | Nafasi (m) |
| 0 | 0 |
| 1 | -1 |
| 2 | -2 |
| 3 | -5 |
| 4 | -7 |
| 5 | -14 |
20) [T]
a Kutumia calculator au programu ya kompyuta, kupata bora fit quadratic Curve kwa data.
pata derivative ya kazi ya msimamo na kuelezea maana yake ya kimwili.
pata derivative ya pili ya kazi ya msimamo na kuelezea maana yake ya kimwili.
- Jibu
- a.\(p(t)=−0.6071x^2+0.4357x−0.3571\)
b\(p′(t)=−1.214x+0.4357\). Hii ni kasi ya sensor.
c\(p''(t)=−1.214\). Hii ni kuongeza kasi ya sensor; ni kasi ya mara kwa mara kushuka.
21) [T]
a Kutumia calculator au programu ya kompyuta, kupata bora fit Curve ujazo kwa data.
pata derivative ya kazi ya msimamo na kuelezea maana yake ya kimwili.
pata derivative ya pili ya kazi ya msimamo na kuelezea maana yake ya kimwili.
Kutumia matokeo kutoka kwa c. kueleza kwa nini kazi ya ujazo sio chaguo nzuri kwa tatizo hili.
Matatizo yafuatayo yanashughulikia milinganyo ya aina ya Holling I, II, na III. Milinganyo hii inaelezea tukio la kiikolojia la ukuaji wa idadi ya wakulima kutokana na kiasi cha mawindo inayopatikana kwa matumizi.
22) [T] Holling aina I equation ni ilivyoelezwa na\(f(x)=ax\), ambapo\(x\) ni kiasi cha mawindo inapatikana na\(a>0\) ni kiwango ambacho simba hukutana mawindo kwa ajili ya matumizi.
a. Grafu Holling aina I equation, kutokana\(a=0.5\).
b Kuamua derivative kwanza ya aina Holling I equation na kueleza kimwili nini derivative ina maana.
c Kuamua derivative pili ya aina Holling I equation na kueleza kimwili nini derivative ina maana.
d Kutumia tafsiri kutoka b. na c. kueleza kwa nini aina ya Holling I equation inaweza kuwa kweli.
- Jibu
-
a.
b\(f′(x)=a\). Kuongezeka zaidi kwa mawindo, ukuaji zaidi kwa wadudu.
c\(f''(x)=0\). Kama kiasi cha mawindo kinaongezeka, kiwango ambacho ukuaji wa idadi ya wanyama huongezeka ni mara kwa mara.
d. equation hii inadhani kwamba kama kuna mawindo zaidi, mchungaji anaweza kuongeza matumizi linearly. Dhana hii ni unphysical kwa sababu tunataka kutarajia kuna baadhi ya kueneza uhakika ambapo kuna mawindo mno kwa simba kula vya kutosha.
23) [T] Holling aina II equation ni ilivyoelezwa na\(f(x)=\dfrac{ax}{n+x}\), ambapo\(x\) ni kiasi cha mawindo inapatikana na\(a>0\) ni kiwango cha juu cha matumizi ya mchungaji.
a. Grafu Holling aina II equation aliyopewa\(a=0.5\) na\(n=5\). Ni tofauti gani kati ya aina ya Holling I na II equations gani?
Kuchukua derivative ya kwanza ya Holling aina II equation na kutafsiri maana ya kimwili ya derivative.
Onyesha hilo\(f(n)=\frac{1}{2}a\) na kutafsiri maana ya parameter n.
Tafuta na kutafsiri maana ya derivative ya pili. Kinachofanya Holling aina II kazi kweli zaidi kuliko aina Holling mimi kazi?
24) [T] Holling aina III equation ni ilivyoelezwa na\(f(x)=\dfrac{ax^2}{n^2+x^2}\), ambapo x ni kiasi cha mawindo inapatikana na\(a>0\) ni kiwango cha juu cha matumizi ya mchungaji.
a. Grafu Holling aina III equation iliyotolewa\(a=0.5\) na\(n=5.\) ni tofauti kati ya Holling aina II na III milinganyo nini?
Kuchukua derivative ya kwanza ya Holling aina III equation na kutafsiri maana ya kimwili ya derivative.
c Kupata na kutafsiri maana ya derivative pili (inaweza kusaidia grafu derivative pili).
Je, ni matukio gani ya ziada ya kiikolojia ambayo kazi ya aina ya Holling III inaelezea ikilinganishwa na kazi ya aina ya Holling II?
- Jibu
-
a.
b\(f′(x)=\dfrac{2axn^2}{(n^2+x^2)^2}\). Wakati kiasi cha mawindo kinaongezeka, ukuaji wa mchungaji huongezeka.
c\(f''(x)=\dfrac{2an^2(n^2−3x^2)}{(n^2+x^2)^3}\). Wakati kiasi cha mawindo ni ndogo sana, kiwango ambacho ukuaji wa mchungaji unaongezeka kinaongezeka, lakini wakati kiasi cha mawindo kinafikia juu ya kizingiti fulani, kiwango ambacho ukuaji wa mchungaji unaongezeka huanza kupungua.
d Katika viwango vya chini vya mawindo, mawindo yanaweza kuepuka kugundua na mchungaji, hivyo watu wachache wa mawindo hutumiwa, na kusababisha ukuaji mdogo wa mchungaji.
25) [T] Watu wa sungura ya theluji (kwa maelfu) na lynx (katika mamia) zilizokusanywa zaidi ya miaka 7 kutoka 1937 hadi 1943 zinaonyeshwa katika meza ifuatayo. Sungura ya theluji ni mawindo ya msingi ya lynx.
| Idadi ya watu wa sungura ya theluji (maelfu) | Idadi ya wakazi wa lynx (mamia) |
| 20 | 10 |
| 5 | 15 |
| 65 | 55 |
| 95 | 60 |
Snowshoe Hare na Lynx idadi ya watu Chanzo: http://www.biotopics.co.uk/newgcse/predatorprey.html.
a. Grafu pointi data na kuamua ambayo Holling-aina kazi inafaa data bora.
b Kutumia maana ya vigezo\(a\) na\(n\), tambua maadili kwa vigezo hivi kwa kuchunguza grafu ya data. Kumbuka kwamba\(n\) hatua ya thamani ya mawindo husababisha nusu ya kiwango cha juu cha thamani ya mchungaji.
c Plot kusababisha Holling-aina I, II, na III kazi juu ya data. Ilikuwa matokeo kutoka sehemu a. sahihi?