3.1E: Mazoezi ya Sehemu ya 3.1

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178917

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Kwa mazoezi ya 1 - 10, tumia equation$ m_{\text{sec}}=\dfrac{f(x)−f(a)}{x−a} $ ili kupata mteremko wa mstari wa salama kati ya maadili$x_1$ na$x_2$ kwa kila kazi$y=f(x)$.

1)$f(x)=4x+7; \quad x_1=2, \quad x_2=5$

Jibu: $m_{\text{sec}}=4$

2)$f(x)=8x−3;\quad x_1=−1,\quad x_2=3$

3)$f(x)=x^2+2x+1;\quad x_1=3,\quad x_2=3.5$

Jibu: $m_{\text{sec}}=8.5$

4)$f(x)=−x^2+x+2;\quad x_1=0.5,\quad x_2=1.5$

5)$f(x)=\dfrac{4}{3x−1};\quad x_1=1,\quad x_2=3$

Jibu: $m_{\text{sec}}=−\frac{3}{4}$

6)$f(x)=\dfrac{x−7}{2x+1};\quad x_1=−2,\quad x_2=0$

7)$f(x)=\sqrt{x};\quad x_1=1,\quad x_2=16$

Jibu: $m_{\text{sec}}=0.2$

8)$f(x)=\sqrt{x−9};\quad x_1=10,\quad x_2=13$

9)$f(x)=x^{1/3}+1;\quad x_1=0,\quad x_2=8$

Jibu: $m_{\text{sec}}=0.25$

10)$f(x)=6x^{2/3}+2x^{1/3};\quad x_1=1,\quad x_2=27$

Kwa kazi katika mazoezi 11 - 20,

a. tumia equation$ \displaystyle m_{\text{tan}}=\lim_{h→0}\frac{f(a+h)−f(a)}{h} $ ili kupata mteremko wa mstari wa tangent$m_{\text{tan}}=f′(a)$, na

b. kupata equation ya mstari tangent kwa$f$ saa$x=a$.

11)$f(x)=3−4x, \quad a=2$

Jibu: a.$m_{\text{tan}}=−4$
b.$y=−4x+3$

12)$f(x)=\dfrac{x}{5}+6, \quad a=−1$

13)$f(x)=x^2+x, \quad a=1$

Jibu: a.$m_{\text{tan}}=3$
b.$y=3x−1$

14)$f(x)=1−x−x^2, \quad a=0$

15)$f(x)=\dfrac{7}{x}, \quad a=3$

Jibu: a.$m_{\text{tan}}=\frac{−7}{9}$
b.$y=\frac{−7}{9}x+\frac{14}{3}$

16)$f(x)=\sqrt{x+8}, \quad a=1$

17)$f(x)=2−3x^2, \quad a=−2$

Jibu: a.$m_{\text{tan}}=12$
b.$y=12x+14$

18)$f(x)=\dfrac{−3}{x−1}, \quad a=4$

19)$f(x)=\dfrac{2}{x+3}, \quad a=−4$

Jibu: a.$m_{\text{tan}}=−2$
b.$y=−2x−10$

20)$f(x)=\dfrac{3}{x^2}, \quad a=3$

Kwa kazi$y=f(x)$ katika mazoezi 21 - 30, tafuta$f′(a)$ kutumia equation$ \displaystyle f′(a)=\lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a} $.

21)$f(x)=5x+4, \quad a=−1$

Jibu: $f'(-1) = 5$

22)$f(x)=−7x+1, \quad a=3$

23)$f(x)=x^2+9x, \quad a=2$

Jibu: $f'(2) = 13$

24)$f(x)=3x^2−x+2, \quad a=1$

25)$f(x)=\sqrt{x}, \quad a=4$

Jibu: $f'(4) = \frac{1}{4}$

26)$f(x)=\sqrt{x−2}, \quad a=6$

27)$f(x)=\dfrac{1}{x}, \quad a=2$

Jibu: $f'(2) = −\frac{1}{4}$

28)$f(x)=\dfrac{1}{x−3}, \quad a=−1$

29)$f(x)=\dfrac{1}{x^3}, \quad a=1$

Jibu: $f'(1) = -3$

30)$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}, \quad a=4$

Kwa mazoezi yafuatayo, kutokana na kazi$y=f(x)$,

a. kupata mteremko wa mstari wa salama$PQ$ kwa kila hatua$Q(x,f(x))$ na$x$ thamani iliyotolewa katika meza.

b Tumia majibu kutoka a. kukadiria thamani ya mteremko wa mstari wa tangent saa$P$.

c Tumia jibu kutoka b. ili kupata equation ya mstari wa tangent hadi$f$ wakati$P$.

31) [T]$f(x)=x^2+3x+4, \quad P(1,8)$ (Pande zote hadi maeneo ya$6$ decimal.)

$x$	$Slope m_{PQ}$	$x$	$Slope m_{PQ}$
1.1	(i)	0.9	(vii)
1.01	(ii)	0.99	(viii)
1.001	(iii)	0.999	(ix)
1.0001	(iv)	0.9999	(x)
1.00001	(v)	0.99999	(xi)
1.000001	(vi)	0.999999	(XII)

Jibu: $a. (i)5.100000, (ii)5.010000, (iii)5.001000, (iv)5.000100, (v)5.000010, (vi)5.000001, (vii)4.900000, (viii)4.990000, (ix)4.999000, (x)4.999900, (xi)4.999990, (x)4.999999$
b.$m_{\text{tan}}=5$
c.$y=5x+3$

32) [T]$f(x)=\dfrac{x+1}{x^2−1}, \quad P(0,−1)$

$x$	$Slope m_{PQ}$	$x$	$Slope m_{PQ}$
0.1	(i)	-0.1	(vii)
0.01	(ii)	-0.01	(viii)
0.001	(iii)	-0.001	(ix)
0.0001	(iv)	-0.0001	(x)
0.00001	(v)	-0.00001	(xi)
0.000001	(vi)	-0.000001	(XII)

33) [T]$f(x)=10e^{0.5x}, \quad P(0,10)$ (Pande zote hadi maeneo ya$4$ decimal.)

$x$	$Slope m_{PQ}$
-0.1	(i)
-0.01	(ii)
-0.001	(iii)
-0.0001	(iv)
-0.00001	(v)
-0.000001	(vi)

Jibu: a.$(i)4.8771, \;(ii)4.9875, \;(iii)4.9988, \;(iv)4.9999, \;(v)4.9999, \;(vi)4.9999 $
b.$m_{\text{tan}}=5$
c.$y=5x+10$

34) [T]$f(x)=\tan(x), \quad P(π,0)$

$x$	$Slope m_{PQ}$
3.1	(i)
3.14	(ii)
3.141	(iii)
3.1415	(iv)
3.14159	(v)
3.141592	(vi)

[T] Kwa kazi zifuatazo nafasi$y=s(t)$, kitu ni kusonga pamoja mstari wa moja kwa moja, ambapo$t$ ni katika sekunde na$s$ ni katika mita. Kupata

a. kujieleza rahisi kwa kasi ya wastani kutoka$t=2$ kwa$t=2+h$;

b. kasi ya wastani kati$t=2$ na$t=2+h$, wapi$(i)\;h=0.1, \;(ii)\;h=0.01, \;(iii)\;h=0.001$, na$(iv)\;h=0.0001$; na

c. tumia jibu kutoka kwa. kukadiria kasi ya papo hapo kwa$t=2$ pili.

35)$s(t)=\frac{1}{3}t+5$

Jibu: a.$\frac{1}{3}$;
b.$(i)\;\frac{1}{3}$ m/s,$(ii)\;\frac{1}{3}$ m/s,$(iii)\;\frac{1}{3}$$(iv)\;\frac{1}{3}$ m/s;
c.$\frac{1}{3}$ m/s

36)$s(t)=t^2−2t$

37)$s(t)=2t^3+3$

Jibu: a.$2(h^2+6h+12)$;
b.$(i)\;25.22$ m/s,$(ii)\; 24.12$ m/s,$(iii)\; 24.01$$(iv)\; 24$ m/s;
c.$24$ m/s

38)$s(t)=\dfrac{16}{t^2}−\dfrac{4}{t}$

39) Tumia grafu ifuatayo ili kutathmini.$f′(1)$ na b.$f′(6).$

$Grafu hii inaonyesha makundi mawili ya mstari yaliyounganishwa: moja kutoka (1, 0) hadi (4, 6) na nyingine kutoka (4, 6) hadi (8, 8).$

Jibu: a.$1.25$; b.$0.5$

40) Tumia grafu ifuatayo ili kutathmini.$f′(−3)$ na b$f′(1.5)$.

$Grafu hii inaonyesha makundi mawili ya mstari yaliyounganishwa: moja kutoka (-4, 3) hadi (1, 3) na nyingine inatoka (1, 3) hadi (1.5, 4).$

Kwa mazoezi yafuatayo, tumia ufafanuzi wa kikomo wa derivative ili kuonyesha kwamba derivative haipo$x=a$ kwa kila kazi zilizopewa.

41)$f(x)=x^{1/3}, \quad x=0$

Jibu: $\displaystyle \lim_{x→0^−}\frac{x^{1/3}−0}{x−0}=\lim_{x→0^−}\frac{1}{x^{2/3}}=∞$

42)$f(x)=x^{2/3}, \quad x=0$

43)$f(x)=\begin{cases}1, & \text{if } x<1\\x, & \text{if } x≥1\end{cases}, \quad x=1$

Jibu: $\displaystyle \lim_{x→1^−}\frac{1−1}{x−1}=0≠1=\lim_{x→1^+}\frac{x−1}{x−1}$

44)$f(x)=\dfrac{|x|}{x}, \quad x=0$

45) [T] nafasi katika miguu ya gari mbio pamoja kufuatilia moja kwa moja baada ya$t$ sekunde ni inatokana na kazi$s(t)=8t^2−\frac{1}{16}t^3.$

Pata kasi ya wastani ya gari juu ya vipindi vya muda vifuatavyo hadi sehemu nne za decimal:

i. [$4, 4.1$]

ii. [$4, 4.01$]

iii. [$4, 4.001$]

iv. [$4, 4.0001$]

b Tumia a. kuteka hitimisho kuhusu kasi ya instantaneous ya gari kwa$t=4$ sekunde.

Jibu: a.$(i)61.7244 ft/s, \;(ii)61.0725 ft/s, \;(iii)61.0072 ft/s, \;(iv)61.0007 ft/s$
b Kwa$4$ sekunde gari la mbio linasafiri kwa kiwango/kasi ya$61$ ft/s.

46) [T] umbali katika miguu kwamba mpira Rolls chini elekea ni inatokana na kazi$s(t)=14t^2$,

ambapo t ni sekunde baada ya mpira kuanza rolling.

a. Kupata kasi ya wastani wa mpira juu ya vipindi zifuatazo wakati:

i. [5, 5.1]

ii. [5, 5.01]

iii. [5, 5.001]

iv. [5, 5.0001]

b Matumizi majibu kutoka a. kuteka hitimisho kuhusu kasi instantaneous ya mpira katika$t=5$ sekunde.

47) Magari mawili huanza kusafiri kwa upande kando ya barabara moja kwa moja. Kazi zao za msimamo, zilizoonyeshwa kwenye grafu ifuatayo, zinatolewa$s=f(t)$ na na$s=g(t)$, ambapo s hupimwa kwa miguu na t hupimwa kwa sekunde.

$Kazi mbili s = g (t) na s = f (t) zimefunikwa. Kazi ya kwanza s = g (t) huanza saa (0, 0) na hupanda juu kwa njia ya takribani (2, 1) hadi (4, 4). Kazi ya pili s = f (t) ni mstari wa moja kwa moja unaopitia (0, 0) na (4, 4).$

a Ni gari gani ambalo limesafiri mbali zaidi kwa$t=2$ sekunde?

b Ni kasi ya takriban ya kila gari kwa$t=3$ sekunde?

c Ni gari gani linasafiri kwa kasi kwa$t=4$ sekunde?

Je, ni kweli kuhusu nafasi za magari kwa$t=4$ sekunde?

Jibu: a. gari inawakilishwa na$f(t)$, kwa sababu ina alisafiri$2$ miguu, ambapo$g(t)$ ina alisafiri$1$ mguu.
b. kasi ya$f(t)$ ni mara kwa mara katika$1$ ft/s, wakati kasi ya$g(t)$ ni takriban$2$ ft/s.
c. gari inawakilishwa na$g(t)$, na kasi ya takriban$4$ ft/s.
d. wote wamesafiri $4$miguu katika$4$ sekunde.

48) [T] Gharama ya jumla$C(x)$, kwa mamia ya dola, kuzalisha$x$ mitungi ya mayonnaise hutolewa na$C(x)=0.000003x^3+4x+300$.

a Tumia gharama ya wastani kwa kila jar juu ya vipindi vifuatavyo:

i. [100, 100.1]

ii. [100, 100.01]

iii. [100, 100.001]

iv. [100, 100.0001]

b Tumia majibu kutoka kwa. kukadiria gharama ya wastani ya kuzalisha$100$ mitungi ya mayonnaise.

49) [T] Kwa kazi$f(x)=x^3−2x^2−11x+12$, fanya zifuatazo.

a Tumia calculator ya graph kwa grafu$f$ katika dirisha sahihi la kutazama.

b Matumizi ZOOM kipengele kwenye calculator kwa takriban maadili mawili ya$x=a$ ambayo$m_{tan}=f′(a)=0$.

Jibu

$Kazi huanza katika roboduara ya tatu, hupita kupitia mhimili x saa x = 1-3, huongezeka hadi kiwango cha juu karibu y = 20, hupungua na hupita kupitia mhimili x saa x = 1, inaendelea kupungua kwa kiwango cha chini karibu y = -13, na kisha huongezeka kupitia mhimili x saa x = 4, baada ya hapo inaendelea kuongezeka.$

b.$a≈−1.361,\;2.694$

50) [T] Kwa kazi$f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$, fanya zifuatazo.

a Tumia calculator ya graph kwa grafu$f$ katika dirisha sahihi la kutazama.

b Tumia kipengele cha ZOOM kwenye calculator ili takriban maadili$x=a$ ya ambayo$m_{\text{tan}}=f′(a)=0$.

51) Tuseme kwamba$N(x)$ computes idadi ya galoni ya gesi kutumiwa na gari kusafiri$x$ maili. Tuseme gari anapata$30$ mpg.

a Kupata kujieleza hisabati kwa$N(x)$.

b. ni nini$N(100)$? Eleza maana ya kimwili.

c. ni nini$N′(100)$? Eleza maana ya kimwili.

Jibu: a.$N(x)=\dfrac{x}{30}$
b.$3.3$ Galoni. Wakati gari linasafiri$100$ maili, limetumia$3.3$ galoni za gesi.
c$\frac{1}{30}$. Kiwango cha matumizi ya gesi katika galoni kwa maili ambayo gari linafikia baada ya kusafiri$100$ maili.

52) [T] Kwa kazi$f(x)=x^4−5x^2+4$, fanya zifuatazo.

a Tumia calculator ya graph kwa grafu$f$ katika dirisha sahihi la kutazama.

b Matumizi ya$nDeriv$ kazi, ambayo numerically hupata derivative, juu ya graphing calculator kukadiria$f′(−2),\;f′(−0.5),\;f′(1.7)$, na$f′(2.718)$.

53) [T] Kwa kazi$f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$, fanya zifuatazo.

a Tumia calculator ya graph kwa grafu$f$ katika dirisha sahihi la kutazama.

Kutumia$nDeriv$ kazi kwenye calculator graphing kupata$f′(−4),\;f′(−2),\;f′(2)$, na$f′(4)$.

Jibu

$Kazi huanza katika quadrant ya pili na hupungua kwa upole, hugusa asili, na kisha huongezeka kwa upole.$
b.$−0.028,−0.16,0.16,0.028$

\(x\)	\(Slope m_{PQ}\)	\(x\)	\(Slope m_{PQ}\)
1.1	(i)	0.9	(vii)
1.01	(ii)	0.99	(viii)
1.001	(iii)	0.999	(ix)
1.0001	(iv)	0.9999	(x)
1.00001	(v)	0.99999	(xi)
1.000001	(vi)	0.999999	(XII)