3.7E: Mazoezi ya Sehemu ya 3.7

Last updated
Save as PDF

Page ID: 178896

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Katika mazoezi ya 1 - 4, tumia grafu$y=f(x)$ ya

a. mchoro grafu ya$y=f^{−1}(x)$, na

b. kutumia sehemu a. kukadiria$\big(f^{−1}\big)′(1)$.

$Mstari wa moja kwa moja unaopitia (0, 1-3) na (3, 3).$

$Mstari wa pembe unaoanzia saa (-2, 0) na kupitia (-1, 1) na (2, 2).$

Jibu

$alt$

b.$(f^{−1})′(1)\approx 2$

$Mstari wa pembe kuanzia saa (4, 0) na kupitia (0, 1) na (-1, 4).$

$mduara robo kuanzia saa (0, 4) na kuishia katika (4, 0).$

Jibu

$mduara robo kuanzia saa (0, 4) na kuishia katika (4, 0).$

b.$(f^{−1})′(1)\approx −1/\sqrt{3}$

Kwa mazoezi ya 5 - 8, tumia kazi iliyotolewa$y=f(x)$ ili kupata

a.$\dfrac{df}{dx}$ katika$x=a$ na

b$x=f^{−1}(y)$.

c Kisha tumia sehemu b. kupata$\dfrac{df^{−1}}{dy}$$y=f(a).$

5)$f(x)=6x−1,\; x=−2$

6)$f(x)=2x^3−3,\; x=1$

Jibu: a.$\dfrac{df}{dx} = 6$
b.$x=f^{−1}(y)=\left(\dfrac{y+3}{2}\right)^{1/3}$
c.$\dfrac{df^{−1}}{dy} = \frac{1}{6}$

7)$f(x)=9−x^2,\; 0≤x≤3,x=2$

8)$f(x)=\sin x,\; x=0$

Jibu: a.$\dfrac{df}{dx} = 1$
b.$x=f^{−1}(y)=\sin^{−1}y$
c.$\dfrac{df^{−1}}{dy} = 1$

Kwa kila kazi katika mazoezi 9 - 14, tafuta$\big(f^{−1}\big)′(a)$.

9)$f(x)=x^2+3x+2,\; x≥−1,\; a=2$

10$f(x)=x^3+2x+3,\; a=0$

Jibu: $\big(f^{−1}\big)′(1) = \frac{1}{5}$

11)$f(x)=x+\sqrt{x},\; a=2$

12)$f(x)=x−\frac{2}{x},\; x<0,\; a=1$

Jibu: $\big(f^{−1}\big)′(1) = \frac{1}{3}$

13)$f(x)=x+\sin x,\; a=0$

14)$f(x)=\tan x+3x^2,\; a=0$

Jibu: $\big(f^{−1}\big)′(0) = 1$

Kwa kila kazi$y=f(x)$, iliyotolewa katika mazoezi 15-19,

a. kupata mteremko wa mstari wa tangent kwa kazi yake inverse$f^{−1}$ katika hatua iliyoonyeshwa$P$, na

b. kupata equation ya mstari tangent kwa grafu ya$f^{−1}$ katika hatua maalum.

15)$f(x)=\dfrac{4}{1+x^2},\quad P(2,1)$

16)$f(x)=\sqrt{x−4},\quad P(2,8)$

Jibu: a.$4$
b.$y=4x$

17)$f(x)=(x^3+1)^4,\quad P(16,1)$

18)$f(x)=−x^3−x+2,\quad P(−8,2)$

Jibu: a.$−\frac{1}{96}$
b.$y=−\frac{1}{13}x+\frac{18}{13}$

19)$f(x)=x^5+3x^3−4x−8,\quad P(−8,1)$

Katika mazoezi 20 - 29,$\dfrac{dy}{dx}$ tafuta kazi iliyotolewa.

20)$y=\sin^{−1}(x^2)$

Jibu: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{\sqrt{1−x^4}}$

21)$y=\cos^{−1}\left(\sqrt{x}\right)$

22)$y=\sec^{−1}\left(\frac{1}{x}\right)$

Jibu: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{−1}{\sqrt{1−x^2}}$

23)$y=\sqrt{\csc^{−1}x}$

24)$y=(1+\tan^{−1}x)^3$

Jibu: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3(1+\tan^{−1}x)^2}{1+x^2}$

25)$y=\cos^{−1}(2x)⋅\sin^{−1}(2x)$

26)$y=\dfrac{1}{\tan^{−1}(x)}$

Jibu: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{−1}{(1+x^2)(\tan^{−1}x)^2}$

27)$y=\sec^{−1}(−x)$

28)$y=\cot^{−1}\sqrt{4−x^2}$

Jibu: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{(5−x^2)\sqrt{4−x^2}}$

29)$y=x⋅\csc^{−1}x$

Katika mazoezi 30 - 35, tumia maadili yaliyotolewa ili kupata$\big(f^{−1}\big)′(a)$.

30)$f(π)=0,f'(π)=−1,a=0$

Jibu: $\big(f^{−1}\big)′(0) = −1$

31)$f(6)=2,\; f′(6)=\frac{1}{3},\; a=2$

32)$f(\frac{1}{3})=−8,\; f'(\frac{1}{3})=2,\; a=−8$

Jibu: $\big(f^{−1}\big)′(-8) = \frac{1}{2}$

33)$f(\sqrt{3})=\frac{1}{2},f'(\sqrt{3})=\frac{2}{3},a=\frac{1}{2}$

34)$f(1)=−3,\; f'(1)=10,\; a=−3$

Jibu: $\big(f^{−1}\big)′(-3) =\frac{1}{10}$

35)$f(1)=0,\; f'(1)=−2,\; a=0$

36) [T] nafasi ya kusonga Hockey puck baada ya$t$ sekunde$s$ ni$s(t)=tan^{−1}t$ wapi katika mita.

Pata kasi ya puck ya Hockey wakati wowote$t$.

pata kasi ya puck wakati wowote$t$.

c. kutathmini sehemu a. na b. kwa$t=2,\, 4$, na$6$ sekunde.

d Ni hitimisho gani inayoweza kupatikana kutokana na matokeo katika c.?

Jibu

a.$v(t)=\dfrac{1}{1+t^2}$
b.$a(t)=\dfrac{−2t}{(1+t^2)^2}$
c. (a)$0.2,\, 0.06,\, 0.03$; (b)$−0.16,\, −0.028,\, −0.0088$

d. puck Hockey ni decelerating/kupunguza kasi ya sekunde 2, 4, na 6.

Suluhisho:

37) [T] Jengo ambalo ni urefu wa futi 225 linatupa kivuli cha urefu mbalimbali$x$ kadiri siku inavyoendelea. Pembe ya mwinuko$θ$ huundwa na mistari kutoka juu na chini ya jengo hadi ncha ya kivuli, kama inavyoonekana katika takwimu zifuatazo. Kupata kiwango cha mabadiliko ya angle ya mwinuko$\frac{dθ}{dx}$ wakati$x=272$ miguu.

$Jengo linaonyeshwa kwa urefu wa 225 ft. Pembetatu inafanywa na urefu wa jengo kama upande wa pili kutoka pembe. Upande wa karibu una urefu x.$

38) [T] Pole inasimama urefu wa miguu 75. Pembe$θ$ hutengenezwa wakati waya wa urefu wa$x$ miguu mbalimbali huunganishwa kutoka chini hadi juu ya pole, kama inavyoonekana katika takwimu ifuatayo. Pata kiwango cha mabadiliko ya angle$\frac{dθ}{dx}$ wakati waya wa urefu wa miguu 90 imefungwa.

$Bendera inavyoonyeshwa kwa urefu wa 75 ft. Pembetatu inafanywa na urefu wa bendera kama upande wa pili kutoka pembe. Hypotenuse ina urefu x.$

Jibu: $−0.0168$radians kwa mguu

39) [T] Kamera ya televisheni kwenye ngazi ya chini iko mbali na futi 2000 mbali na pedi ya uzinduzi wa roketi ya nafasi ambayo imewekwa kuzima wima, kama inavyoonekana katika takwimu zifuatazo. Angle ya mwinuko wa kamera inaweza kupatikana na$θ=\tan^{−1}\left(\frac{x}{2000}\right)$, ambapo$x$ ni urefu wa roketi. Kupata kiwango cha mabadiliko ya angle ya mwinuko baada ya uzinduzi wakati kamera na roketi ni 5000 miguu mbali.

$roketi ni inavyoonekana na katika hewa na umbali kutoka pua yake na ardhi kuwa x. pembetatu ni kufanywa na urefu roketi kama upande kinyume kutoka angle. Upande wa karibu una urefu wa 2000.$

40) [T] mitaa sinema ukumbi na 30 mguu-high screen yaani 10 miguu juu ya ngazi ya jicho mtu wakati ameketi ina angle ya kutazama$θ$ (katika radians) iliyotolewa na$θ=\cot^{−1}\frac{x}{40}−\cot^{−1}\frac{x}{10}$,

ambapo$x$ ni umbali katika miguu mbali na screen movie kwamba mtu ni kukaa, kama inavyoonekana katika takwimu zifuatazo.

$Mtu anaonyeshwa na pembetatu ya kulia inayotokana na jicho lao (angle ya kulia kuwa upande wa pili kutoka jicho), na urefu wa 10 na msingi x Kuna mstari unaotokana na jicho hadi juu ya skrini, ambayo inafanya angle na hypotenuse ya pembetatu. Screen ina urefu wa 30.$

a. kupata$\dfrac{dθ}{dx}$.

b. kutathmini$\dfrac{dθ}{dx}$ kwa$x=5,\,10,\,15,$ na$20$.

c Kutafsiri matokeo katika sehemu b.

d. kutathmini$\dfrac{dθ}{dx}$ kwa$x=25,\,30,\,35$, na$40$.

e Tafsiri matokeo katika sehemu d. umbali gani mtu$x$ anapaswa kusimama ili kuongeza angle yake ya kutazama?

Jibu: a.$\dfrac{dθ}{dx}=\dfrac{10}{100+x^2}−\dfrac{40}{1600+x^2}$
b.$\frac{18}{325},\,\frac{9}{340},\,\frac{42}{4745},\,0$
c. kama mtu anakwenda mbali mbali na skrini, angle ya kutazama inaongezeka, ambayo ina maana kwamba kama yeye huenda mbali zaidi, maono yake ya skrini yanaongezeka. d.$−\frac{54}{12905},\,−\frac{3}{500},\,−\frac{198}{29945},\,−\frac{9}{1360}$
e Kama mtu huenda zaidi ya miguu 20 kutoka skrini, angle ya kutazama inapungua. Umbali bora mtu anapaswa kusimama kwa kuongeza angle ya kutazama ni miguu 20.