16: Cálculo vetorial
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Neste capítulo, aprendemos a modelar novos tipos de integrais em campos como campos magnéticos, campos gravitacionais ou campos de velocidade. Também aprendemos como calcular o trabalho realizado em uma partícula carregada viajando por um campo magnético, o trabalho realizado em uma partícula com massa viajando por um campo gravitacional e o volume por unidade de tempo da água fluindo por uma rede lançada em um rio. Todas essas aplicações são baseadas no conceito de campo vetorial.
- 16.0: Prelúdio do cálculo vetorial
- Os campos vetoriais têm muitas aplicações porque podem ser usados para modelar campos reais, como campos eletromagnéticos ou gravitacionais. Uma compreensão profunda da física ou da engenharia é impossível sem uma compreensão dos campos vetoriais. Além disso, os campos vetoriais têm propriedades matemáticas que merecem ser estudadas por si mesmas. Em particular, campos vetoriais podem ser usados para desenvolver várias versões de maior dimensão do Teorema Fundamental do Cálculo.
- 16.1: Campos vetoriais
- Os campos vetoriais são uma ferramenta importante para descrever muitos conceitos físicos, como gravitação e eletromagnetismo, que afetam o comportamento dos objetos em uma grande região de um plano ou do espaço. Eles também são úteis para lidar com comportamentos em grande escala, como tempestades atmosféricas ou correntes oceânicas de alto mar. Nesta seção, examinamos as definições básicas e os gráficos dos campos vetoriais para que possamos estudá-los com mais detalhes no restante deste capítulo.
- 16.2: Integrais de linha
- As integrais de linha têm muitas aplicações em engenharia e física. Eles também nos permitem fazer várias generalizações úteis do Teorema Fundamental do Cálculo. E eles estão intimamente ligados às propriedades dos campos vetoriais, como veremos.
- 16.3: Campos vetoriais conservadores
- Nesta seção, continuamos o estudo de campos vetoriais conservadores. Examinamos o Teorema Fundamental para Integrais de Linha, que é uma generalização útil do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha de campos vetoriais conservadores. Também descobrimos como testar se um determinado campo vetorial é conservador e determinar como construir uma função potencial para um campo vetorial conhecido por ser conservador.
- 16.4: Teorema de Green
- O teorema de Green é uma extensão do Teorema Fundamental do Cálculo para duas dimensões. Tem duas formas: uma forma de circulação e uma forma de fluxo, ambas exigem que a região\(D\) na integral dupla seja simplesmente conectada. No entanto, estenderemos o teorema de Green para regiões que não estão simplesmente conectadas. O teorema de Green relaciona uma integral de linha em torno de uma curva plana simplesmente fechada\(C\) e uma integral dupla sobre a região delimitada por\(C\).
- 16.5: Divergência e curvatura
- Divergência e curvatura são duas operações importantes em um campo vetorial. Eles são importantes para o campo do cálculo por vários motivos, incluindo o uso de curvatura e divergência para desenvolver algumas versões de maior dimensão do Teorema Fundamental do Cálculo. Além disso, curvatura e divergência aparecem em descrições matemáticas da mecânica dos fluidos, eletromagnetismo e teoria da elasticidade, que são conceitos importantes em física e engenharia.
- 16.6: Integrais de superfície
- Se quisermos nos integrar sobre uma superfície (um objeto bidimensional) em vez de um caminho (um objeto unidimensional) no espaço, então precisamos de um novo tipo de integral. Podemos estender o conceito de uma integral de linha para uma integral de superfície para nos permitir realizar essa integração. Integrais de superfície são importantes pelos mesmos motivos que integrais de linha. Eles têm muitas aplicações em física e engenharia e nos permitem expandir o Teorema Fundamental do Cálculo para dimensões mais altas.
- 16.7: Teorema de Stokes
- Nesta seção, estudamos o teorema de Stokes, uma generalização de maior dimensão do teorema de Green. Este teorema, como o Teorema Fundamental para Integrais de Linha e o Teorema de Green, é uma generalização do Teorema Fundamental do Cálculo para dimensões superiores. O teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície vetorial sobre a superfície S no espaço com uma integral de linha ao redor do limite de S.
- 16.8: O Teorema da Divergência
- Examinamos várias versões do Teorema Fundamental do Cálculo em dimensões superiores que relacionam a integral em torno de um limite orientado de um domínio a uma “derivada” dessa entidade no domínio orientado. Nesta seção, declaramos o teorema da divergência, que é o teorema final desse tipo que estudaremos.
Miniatura: Superfície\(Σ\) com limite fechado\(∂Σ\). \(\vec{F}\)poderiam ser os\(\vec{B}\) campos\(\vec{E}\) ou. \(n\)é a unidade normal. (Domínio público; Maschen).