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16.5: Divergência e curvatura

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objetivos de
  • Determine a divergência da fórmula para um determinado campo vetorial.
  • Determine a curvatura a partir da fórmula para um determinado campo vetorial.
  • Use as propriedades de curvatura e divergência para determinar se um campo vetorial é conservador.

Nesta seção, examinamos duas operações importantes em um campo vetorial: divergência e curvatura. Eles são importantes para o campo do cálculo por vários motivos, incluindo o uso de curvatura e divergência para desenvolver algumas versões de maior dimensão do Teorema Fundamental do Cálculo. Além disso, curvatura e divergência aparecem em descrições matemáticas da mecânica dos fluidos, eletromagnetismo e teoria da elasticidade, que são conceitos importantes em física e engenharia. Também podemos aplicar curl e divergência a outros conceitos que já exploramos. Por exemplo, sob certas condições, um campo vetorial é conservador se e somente se sua curvatura for zero.

Além de definir curvatura e divergência, examinamos algumas interpretações físicas delas e mostramos sua relação com campos vetoriais conservadores e livres de fontes.

Divergência

A divergência é uma operação em um campo vetorial que nos diz como o campo se comporta em direção ou longe de um ponto. Localmente, a divergência de um campo vetorialFR3 emR2 ou em um ponto específicoP é uma medida da “saída” do campo vetorial emP. SeF representa a velocidade de um fluido, então a divergência deF atP mede a taxa líquida de variação em relação ao tempo da quantidade de fluido que saiP (a tendência do fluido de fluir “para fora” de P). Em particular, se a quantidade de fluido que flui para dentroP for a mesma que sai, então a divergência emP é zero.

Definição: divergência emR3

SeF=P,Q,R é um campo vetorial emR3Px,Qy, eRz todos existem, então a divergência deF é definida por

divF=Px+Qy+Rz=Px+Qy+Rz.

Observe que a divergência de um campo vetorial não é um campo vetorial, mas uma função escalar. Em termos do operador de gradiente

=x,y,z

a divergência pode ser escrita simbolicamente como o produto escalar

divF=F.

Observe que isso é apenas uma notação útil, porque o produto escalar de um vetor de operadores e um vetor de funções não está definido de forma significativa, dada a nossa definição atual de produto escalar.

SeF=P,Q for um campo vetorial emR2,Px eQy ambos existirem, então a divergência deF é definida de forma semelhante como

divF=Px+Qy=Px+Qy=F.

Para ilustrar esse ponto, considere os dois campos vetoriais na Figura16.5.1. Em qualquer ponto específico, a quantidade que entra é a mesma que sai, então, em cada ponto, a “saída” do campo é zero. Portanto, esperamos que a divergência de ambos os campos seja zero, e esse é realmente o caso, como

div(1,2)=x(1)+y(2)=0

e

div(y,x)=x(y)+y(x)=0.

Duas imagens dos campos vetoriais A e B em duas dimensões. O campo vetorial A tem setas apontando para cima e para a direita. Eles não mudam de tamanho ou direção. Tem zero divergência. O campo vetorial B tem setas ao redor da origem no sentido anti-horário. As flechas são maiores quanto mais próximas estão da origem. Também tem zero divergência.
Figura16.5.1: (a) O campo vetorial1,2 tem divergência zero. (b) O campo vetorialy,x também tem divergência zero.

Por outro lado, considere o campo vetorial radialR(x,y)=x,y na Figura16.5.2. Em qualquer ponto, mais fluido está fluindo para dentro do que está fluindo para fora e, portanto, a “saída” do campo é negativa. Esperamos que a divergência desse campo seja negativa, e esse é realmente o caso, pois

div(R)=x(x)+y(y)=2.

Um campo vetorial em duas dimensões com divergência negativa. As setas apontam para a origem em um padrão radial. Quanto mais próximas as flechas estiverem da origem, maiores elas serão.
Figura16.5.2: Esse campo vetorial tem divergência negativa.

Para ter uma noção global do que a divergência está nos dizendo, suponha que um campo vetorial emR2 represente a velocidade de um fluido. Imagine pegar um círculo elástico (um círculo com uma forma que pode ser alterada pelo campo vetorial) e soltá-lo em um fluido. Se o círculo mantiver sua área exata à medida que flui pelo fluido, a divergência será zero. Isso ocorreria para os dois campos vetoriais na Figura16.5.1. Por outro lado, se a forma do círculo estiver distorcida de forma que sua área encolha ou se expanda, a divergência não será zero. Imagine soltar esse círculo elástico no campo vetorial radial na Figura16.5.2 para que o centro do círculo caia no ponto(3,3). O círculo fluiria em direção à origem e, ao fazê-lo, a frente do círculo viajaria mais lentamente do que a de trás, fazendo com que o círculo se “apertasse” e perdesse área. É assim que você pode ver uma divergência negativa.

Exemplo16.5.1: Calculating Divergence at a Point

SeF(x,y,z)=exˆi+yzˆjyz2ˆk, então encontre a divergência deF at(0,2,1).

Solução

A divergência deF é

x(ex)+y(yz)z(yz2)=ex+z2yz.

Portanto, a divergência em(0,2,1) ée01+4=4. SeF representa a velocidade de um fluido, então mais fluido está fluindo para fora do que fluindo para dentro no ponto(0,2,1).

Exercício16.5.1

EncontredivF para

F(x,y,z)=xy,5z2,x2+y2.

Dica

Siga o exemplo16.5.1.

Responda

divF=y

Uma aplicação para divergência ocorre na física, quando se trabalha com campos magnéticos. Um campo magnético é um campo vetorial que modela a influência de correntes elétricas e materiais magnéticos. Os físicos usam a divergência na lei de Gauss para magnetismo, que afirma que seB é um campo magnético, entãoB=0; em outras palavras, a divergência de um campo magnético é zero.

Exemplo16.5.2: Determining Whether a Field Is Magnetic

É possível queF(x,y)=x2y,yxy2 seja um campo magnético?

Solução

SeF fosse magnético, sua divergência seria zero. A divergência deF é

x(x2y)+y(yxy2)=2xy+12xy=1

e, portanto,F não pode modelar um campo magnético (Figura16.5.3).

Um campo vetorial em duas dimensões com divergência igual a 1. As setas são bem planas perto do eixo x e verticais perto do eixo y. Eles parecem se aproximar assintoticamente dos eixos nos quadrantes 2 e 4, apontando para cima e para a direita no quadrante 2 e para baixo e para a esquerda no quadrante 4. No quadrante 1, eles começam apontando para cima e para a direita perto do eixo y, mas logo passam a apontar para baixo e para a direita. No quadrante 3, eles começam apontando para baixo e para a esquerda perto do eixo y, mas logo passam a apontar para cima e para a esquerda. Quanto mais próximas as flechas estão da origem, mais curtas elas são.
Figura16.5.3: A divergência do campo vetorialF(x,y)=x2y,yxy2 é uma, então ele não pode modelar um campo magnético.

Outra aplicação para divergência é detectar se um campo é livre de fonte. Lembre-se de que um campo sem fonte é um campo vetorial que tem uma função de fluxo; equivalentemente, um campo sem fonte é um campo com um fluxo zero ao longo de qualquer curva fechada. Os próximos dois teoremas dizem que, sob certas condições, os campos vetoriais sem fonte são precisamente os campos vetoriais com divergência zero.

Teorema: Divergência de um campo vetorial sem fonte

SeF=P,Q for um campo vetorial contínuo sem fonte com funções de componentes diferenciáveis, entãodivF=0.

Prova

ComoF é livre de fonte, existe uma funçãog(x,y) comgy=Pgx=Q e. Portanto,F=gy,gx edivF=gyxgxy=0 pelo teorema de Clairaut.

O inverso da divergência de um campo vetorial sem fonte é verdadeiro em regiões simplesmente conectadas, mas a prova é técnica demais para ser incluída aqui. Assim, temos o seguinte teorema, que pode testar se um campo vetorial emR2 é livre de fonte.

Teorema: Teste de divergência para campos vetoriais sem fonte

F=P,QSeja um campo vetorial contínuo com funções de componentes diferenciáveis com um domínio que é simplesmente conectado. Então,divF=0 se e somente seF for livre de fonte.

Exemplo16.5.3: Determining Whether a Field Is Source Free

AF(x,y)=x2y,5xy2 fonte de campo é gratuita?

Solução

ObserveR2 que o domínio deF is está simplesmente conectado. Além disso,F é contínuo com funções de componentes diferenciáveis. Portanto, podemos usar o Teste de Divergência para campos vetoriais sem fonte para analisarF. A divergência deF é

x(x2y)+y(5xy2)=2xy2xy=0.

Portanto,F é livre de fontes pelo Teste de Divergência para Campos Vetoriais Sem Fonte.

Exercício16.5.2

F(x,y)=ay,bxSeja um campo rotacional ondea eb são constantes positivas. AF fonte é gratuita?

Dica

Calcule a divergência.

Responda

sim

Lembre-se de que a forma de fluxo do teorema de Green diz que

CFNds=DPx+QydA,

ondeC é uma curva fechada simples eD é a região delimitada porC. Desde entãoPx+Qy=divF, o teorema de Green às vezes é escrito como

CFNds=DdivFdA.

Portanto, o teorema de Green pode ser escrito em termos de divergência. Se pensarmos na divergência como uma espécie de derivada, então o teorema de Green diz que a “derivada” deF em uma região pode ser traduzida em uma linha integralF ao longo do limite da região. Isso é análogo ao Teorema Fundamental do Cálculo, no qual a derivada de uma funçãof em um segmento de reta[a,b] pode ser traduzida em uma afirmaçãof sobre o limite de[a,b]. Usando a divergência, podemos ver que o teorema de Green é um análogo de maior dimensão do Teorema Fundamental do Cálculo.

Podemos usar tudo o que aprendemos na aplicação da divergência. vSeja um campo vetorial modelando a velocidade de um fluido. Como a divergência dev no pontoP mede a “saída” do fluido emP,divv(P)>0 implica que mais fluido está saindoP do que fluindo para dentro. Da mesma forma,divv(P)<0 implica que quanto mais fluido está fluindo para dentroP do que está fluindo para fora, edivv(P)=0 implica que a mesma quantidade de fluido está fluindo para dentro e para fora.

Exemplo16.5.4: Determining Flow of a Fluid

Suponha quev(x,y)=xy,y,y>0 modele o fluxo de um fluido. Há mais fluido fluindo para o ponto(1,4) do que fluindo para fora?

Solução

Para determinar se mais fluido está fluindo para dentro(1,4) do que está fluindo para fora, calculamos a divergência dev em(1,4):

div(v)=x(xy)+y(y)=y+1.

Para encontrar a divergência,(1,4) substitua o ponto pela divergência:4+1=3. Como a divergência dev at(1,4) é negativa, mais fluido está fluindo para dentro do que saindo (Figura16.5.4).

Um campo vetorial em duas dimensões com divergência negativa em (1,4). As setas são muito planas, mas ficam mais verticais perto do eixo y. Acima do eixo x, as setas apontam para cima e para o eixo y em ambos os lados dele. Abaixo do eixo x, as setas apontam para baixo e para longe do eixo y em ambos os lados dele.
Figura16.5.4: O campo vetorialv(x,y)=xy,y tem divergência negativa em(1,4)
Exercício16.5.3

Para o campo vetorialv(x,y)=xy,y,y>0, encontre todos os pontos deP forma que a quantidade de fluido fluindo para sejaP igual à quantidade de fluido que saiP.

Dica

Descubra onde a divergência é zero.

Responda

Todos os pontos em linhay=1.

Ondulação

A segunda operação em um campo vetorial que examinamos é a curvatura, que mede a extensão da rotação do campo em torno de um ponto. Suponha que issoF represente o campo de velocidade de um fluido. Então, a curvatura de umF pontoP é um vetor que mede a tendência das partículas próximas deP girar em torno do eixo que aponta na direção desse vetor. A magnitude do vetor de curvatura emP mede a rapidez com que as partículas giram em torno desse eixo. Em outras palavras, a curvatura em um ponto é uma medida da “rotação” do campo vetorial nesse ponto. Visualmente, imagine colocar uma roda de pás em um fluido emP, com o eixo da roda alinhado com o vetor de curvatura (Figura16.5.5). A curvatura mede a tendência da roda de girar.

Um diagrama de uma pequena roda de pás na água. As setas são desenhadas ao redor do centro em um círculo no sentido anti-horário. No centro, a altura é rotulada como n.
Figura16.5.5: Para visualizar a curvatura em um ponto, imagine colocar uma pequena roda de pás no campo vetorial em um ponto.

Considere os campos vetoriais na Figura16.5.1. Na parte (a), o campo vetorial é constante e não há rotação em nenhum ponto. Portanto, esperamos que a curvatura do campo seja zero, e esse é realmente o caso. A parte (b) mostra um campo rotacional, então o campo tem rotação. Em particular, se você colocar uma roda de pás em um campo em qualquer ponto para que o eixo da roda fique perpendicular a um plano, a roda gira no sentido anti-horário. Portanto, esperamos que a curvatura do campo seja diferente de zero, e esse é realmente o caso (a curvatura é2ˆk).

Para ver o que a ondulação está medindo globalmente, imagine jogar uma folha no fluido. Conforme a folha se move junto com o fluxo de fluido, a curvatura mede a tendência da folha de girar. Se a ondulação for zero, a folha não gira enquanto se move pelo fluido.

Definição: Curl

SeF=P,Q,R for um campo vetorial emR3Px,Qy, eRz todos existirem, então a curvatura deF é definida por

\ [\ begin {align}\ text {curl}\,\ vecs {F} &= (R_y - Q_z)\,\ mathbf {\ hat i} + (P_z - R_x)\,\ mathbf {\ hat j} + (Q_x - P_y)\,\ mathbf {\ hat k}\\ [4pt]
&=\ left (\ dfrac {\ partial R} {\ partial y} -\ dfrac {\ partial Q} {\ partial z}\ direita)\,\ mathbf {\ hat i} +\ left (\ dfrac {\ partial P} {\ partial z} -\ dfrac {\ partial R} {\ partial x}\ right)\,\ mathbf {\ hat j} +\ left (\ dfrac {\ partial Q} {\ partial x} -\ dfrac {\ partial P} {\ partial y}\ direita)\,\ mathbf {\ hat k}. \ end {align}\ nonumber\]

Observe que a curvatura de um campo vetorial é um campo vetorial, em contraste com a divergência.

A definição de curvatura pode ser difícil de lembrar. Para ajudar na lembrança, usamos a notação×F para representar um “determinante” que fornece a fórmula da curvatura:

|ˆiˆjˆkxyzPQR|.

O determinante dessa matriz é

(RyQz)ˆi(RxPz)ˆj+(QxPy)ˆk=(RyQz)ˆi+(PzRx)ˆj+(QxPy)ˆk=curlF.

Portanto, essa matriz é uma forma de ajudar a lembrar a fórmula da curvatura. Lembre-se, porém, de que a palavra determinante é usada de forma muito vaga. Um determinante não é realmente definido em uma matriz com entradas que são três vetores, três operadores e três funções.

SeF=P,Q for um campo vetorial emR2, então a curvatura deF, por definição, é

curlF=(QxPy)ˆk=(QxPy)ˆk.

Exemplo16.5.5: Finding the Curl of a Three-Dimensional Vector Field

Encontre a curvatura deF(P,Q,R)=x2z,ey+xz,xyz.

Solução

A curvatura é

curlf=×F=|ˆiˆjˆk/x/y/zPQR|=(RyQz)ˆi+(PzRx)ˆj+(QxPy)ˆk=(xzx)ˆi+(x2yz)ˆj+zˆk.

Exercício16.5.4

Encontre a curvatura deF=sinxcosz,sinysinz,cosxcosy no ponto(0,π2,π2).

Dica

Encontre o determinante da matriz×F.

Responda

ˆi

Exemplo16.5.6: Finding the Curl of a Two-Dimensional Vector Field

Encontre a curvatura deF=P,Q=y,0.

Solução

Observe que esse campo vetorial consiste em vetores que são todos paralelos. Na verdade, cada vetor no campo é paralelo ao eixo x. Esse fato pode nos levar à conclusão de que o campo não tem giro e que a curvatura é zero. Para testar essa teoria, observe que

curlF=(QxPy)ˆk=ˆk0.

Portanto, esse campo vetorial tem spin. Para ver o porquê, imagine colocar uma roda de pás em qualquer ponto do primeiro quadrante (Figura16.5.6). As maiores magnitudes dos vetores na parte superior da roda fazem com que a roda gire. A roda gira no sentido horário (negativo), fazendo com que o coeficiente de curvatura seja negativo.

Dois diagramas de campo vetorial que consistem em vetores que são todos paralelos. Quanto mais próximos estiverem do eixo x, menores serão as setas. Acima do eixo x, as setas apontam para a direita e abaixo do eixo x, as setas apontam para a esquerda.
Figura16.5.6: O campo vetorialF(x,y)=y,0 consiste em vetores que são todos paralelos.

Note que seF=P,Q é um campo vetorial em um plano, entãocurlFˆk=(QxPy)ˆkˆk=QxPy. Portanto, a forma de circulação do teorema de Green às vezes é escrita como

CFdr=DcurlFˆkdA,

ondeC é uma curva fechada simples eD é a região delimitada porC. Portanto, a forma de circulação do teorema de Green pode ser escrita em termos de curvatura. Se pensarmos em curl como uma espécie de derivada, então o teorema de Green diz que a “derivada” deF em uma região pode ser traduzida em uma linha integralF ao longo do limite da região. Isso é análogo ao Teorema Fundamental do Cálculo, no qual a derivada de uma funçãof no segmento de linha[a,b] pode ser traduzida em uma afirmaçãof sobre o limite de[a,b]. Usando curl, podemos ver que a forma de circulação do teorema de Green é um análogo de maior dimensão do Teorema Fundamental do Cálculo.

Agora podemos usar o que aprendemos sobre curl para mostrar que os campos gravitacionais não têm “rotação”. Suponha que haja um objeto na origem com massam1 na origem e um objeto com massam2. Lembre-se de que a força gravitacional que o objeto 1 exerce sobre o objeto 2 é dada pelo campo

F(x,y,z)=Gm1m2x(x2+y2+z2)3/2,y(x2+y2+z2)3/2,z(x2+y2+z2)3/2.

Exemplo16.5.7: Determining the Spin of a Gravitational Field

Mostre que um campo gravitacional não tem rotação.

Solução

Para mostrar que nãoF tem rotação, calculamos sua curvatura. Deixe

  • P(x,y,z)=x(x2+y2+z2)3/2,
  • Q(x,y,z)=y(x2+y2+z2)3/2, e
  • R(x,y,z)=z(x2+y2+z2)3/2.

Então,

\ [\ begin {align*}\ text {curl}\,\ vecs {F} &= - GM_1m_2 [(R_y - Q_z)\ mathbf {\ hat i} + (P_z - R_x)\ mathbf {\ hat j} + (Q_x - P_y)\ mathbf {\ hat k}\ [4pt]
&= - GM_1m_2\ begin {pmatrix}\ left (\ dfrac {-3yz} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}} -\ left (\ dfrac {-3yz} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}}\ direita)\ direita)\ mathbf {\ hat is}\ nonumber\\ [4pt]
+\ left (\ dfrac {-3xz} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}} -\ left (\ dfrac {-3xz} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}}\ direita)\ direita)\ mathbf {\ hat j}\ nonumber\\ [4pt]
+\ left (\ dfrac {-3xy} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}} -\ left (\ dfrac {-3xy} {(x^2 + y^2 + z^2) ^ {5/2}}\ direita)\ direita)\ direita)\ mathbf {\ hat k}\ end {pmatrix}\\ [4pt]
&=\ vecs 0. \ end {align*}\]

Como a curvatura do campo gravitacional é zero, o campo não tem rotação.

Exercício16.5.7

O campov(x,y)=yx2+y2,xx2+y2 modela o fluxo de um fluido. Mostre que se você soltar uma folha nesse fluido, à medida que a folha se move ao longo do tempo, a folha não gira.

Dica

Calcule a curvatura.

Responda

curlv=0

Usando Divergence e Curl

Agora que entendemos os conceitos básicos de divergência e curvatura, podemos discutir suas propriedades e estabelecer relações entre elas e campos vetoriais conservadores.

SeF for um campo vetorial emR3, a curvatura de tambémF é um campo vetorial emR3. Portanto, podemos considerar a divergência de uma onda. O próximo teorema diz que o resultado é sempre zero. Esse resultado é útil porque nos dá uma forma de mostrar que alguns campos vetoriais não são a curvatura de nenhum outro campo. Para dar a esse resultado uma interpretação física, lembre-se de que a divergência de um campo de velocidadev em um pontoP mede a tendência do fluido correspondente de sairP. Desde entãodiv(curlv)=0, a taxa líquida de fluxo no campo vetorialcurlv em qualquer ponto é zero. Obter a curvatura do campo vetorialF elimina qualquer divergência presenteF.

Teorema: Divergência do Curl

F=P,Q,RSeja um campo vetorial deR3 forma que todas as funções dos componentes tenham derivadas parciais contínuas de segunda ordem. Então,

div(curlF)=(×F)=0.

Prova

Pelas definições de divergência e curvatura, e pelo teorema de Clairaut,

div(curlF)=div[(RyQz)ˆi+(PzRx)ˆj+(QxPy)ˆk]=RyxQxz+PyzRyx+QzxPzy=0.

Exemplo16.5.8: Showing That a Vector Field Is Not the Curl of Another

Mostre que nãoF(x,y,z)=exˆi+yzˆj+xz2ˆk é a curvatura de outro campo vetorial. Ou seja, mostre que não há outro vetorG comcurlG=F.

Solução

Observe que o domínio deF é tudo deR3 e os parciais de segunda ordem deF são todos contínuos. Portanto, podemos aplicar o teorema anteriorF a.

A divergência deF éex+z+2xz. SeF fosse a curvatura do campo vetorialG, entãodivF=div(curlG)=0. Mas, a divergência de nãoF é zero e, portanto, nãoF é a curvatura de nenhum outro campo vetorial.

Exercício16.5.8

É possível que sejaG(x,y,z)=sinx,cosy,sin(xyz) a curvatura de um campo vetorial?

Dica

Encontre a divergência deG.

Responda

Não.

Com os próximos dois teoremas, mostramos que seF é um campo vetorial conservador, sua curvatura é zero, e se o domínio deF estiver simplesmente conectado, o inverso também é verdadeiro. Isso nos dá outra maneira de testar se um campo vetorial é conservador.

Teorema: Curvatura de um campo vetorial conservador

F=P,Q,RÉ conservador, entãocurlF=0.

Prova

Como os campos vetoriais conservadores satisfazem a propriedade de parciais cruzados, todos os parciaisF cruzados de são iguais. Portanto,

curlF=(RyQz)ˆi+(PzRx)ˆj+(QxPy)ˆk=0.

O mesmo teorema é verdadeiro para campos vetoriais em um plano.

Como um campo vetorial conservador é o gradiente de uma função escalar, o teorema anterior diz issocurl(f)=0 para qualquer função escalarf. Em termos de nossa notação curl,×(f)=0. Essa equação faz sentido porque o produto cruzado de um vetor consigo mesmo é sempre o vetor zero. Às vezes, a equação×(f)=0 é simplificada como×=0.

Teorema: Teste Curl para um campo conservador

F=P,Q,RSeja um campo vetorial no espaço em um domínio simplesmente conectado. SecurlF=0, entãoF é conservador.

Prova

Desde entãocurlF=0, nós temos issoRy=Qz,Pz=Rx,Qx=Py e. Portanto,F satisfaz a propriedade interparcial em um domínio simplesmente conectado, e a propriedade parcial cruzada de campos conservadores implica queF é conservadora.

O mesmo teorema também é verdadeiro em um plano. Portanto, seF é um campo vetorial em um plano ou no espaço e o domínio está simplesmente conectado, entãoF é conservador se e somente securlF=0.

Exemplo16.5.9: Testing Whether a Vector Field Is Conservative

Use a curvatura para determinar seF(x,y,z)=yz,xz,xy é conservadora.

Solução

Observe que o domínio deF é tudoR3 o que está simplesmente conectado (Figura16.5.7). Portanto, podemos testar seF é conservador calculando sua curvatura.

Um diagrama mostrando a curvatura de um campo vetorial em duas dimensões. A curvatura é zero. As setas parecem estar apontando para cima e para dentro do plano yz.
Figura16.5.7: A curvatura do campo vetorialF(x,y,z)=yz,xz,xy é zero.

A ondulação deF é

(yxyzxz)ˆi+(yyzzxy)ˆj+(yxzzyz)ˆk=(xx)ˆi+(yy)ˆj+(zz)ˆk=0.

Assim,F é conservador.

Vimos que a curvatura de um gradiente é zero. Qual é a divergência de um gradiente? Sef é uma função de duas variáveis, entãodiv(f)=(f)=fxx+fyy. Abreviamos esse “produto de dois pontos” como2. Esse operador é chamado de operador de Laplace e, nessa notação, a equação de Laplace se torna2f=0. Portanto, uma função harmônica é uma função que se torna zero após a divergência de um gradiente.

Da mesma forma, sef é uma função de três variáveis, então

div(f)=(f)=fxx+fyy+fzz.

Usando essa notação, obtemos a equação de Laplace para funções harmônicas de três variáveis:

2f=0.

As funções harmônicas surgem em muitas aplicações. Por exemplo, a função potencial de um campo eletrostático em uma região do espaço que não tem carga estática é harmônica.

Exemplo16.5.10: Finding a Potential Function

É possível que sejaf(x,y)=x2+xy a função potencial de um campo eletrostático localizado em uma regiãoR2 livre de carga estática?

Solução

Sef fosse uma função tão potencial, entãof seria harmônica. Observe issofxx=2 efyy=0, e assim por diantefxx+fyy0. Portanto, nãof é harmônico ef não pode representar um potencial eletrostático.

Exercício16.5.10

É possível que a função sejaf(x,y)=x2y2+x a função potencial de um campo eletrostático localizado em uma regiãoR2 livre de carga estática?

Dica

Determine se a função é harmônica.

Responda

Sim.

Conceitos-chave

  • A divergência de um campo vetorial é uma função escalar. A divergência mede a “saída” de um campo vetorial. Sev for o campo de velocidade de um fluido, a divergência dev em um ponto é a saída do fluido menos a entrada no ponto.
  • A curvatura de um campo vetorial é um campo vetorial. A curvatura de um campo vetorial em um pontoP mede a tendência das partículas emP girarem em torno do eixo que aponta na direção da curvaturaP.
  • Um campo vetorial com um domínio simplesmente conectado é conservador se e somente se sua curvatura for zero.

Equações-chave

  • Ondulação

×F=(RyQz)ˆi+(PzRx)ˆj+(QxPy)ˆk

  • Divergência

F=Px+Qy+Rz

  • A divergência da curvatura é zero

(×F)=0

  • A curvatura de um gradiente é o vetor zero

×(f)=0

Glossário

ondulação
a curvatura do campo vetorialF=P,Q,R, denotada×F é a “determinante” da matriz|ˆiˆjˆkxyzPQR|. e é dada pela expressão(RyQz)ˆi+(PzRx)ˆj+(QxPy)ˆk; ela mede a tendência das partículas em um ponto de girarem em torno do eixo que aponta na direção da curvatura no ponto
divergência
a divergência de um campo vetorialF=P,Q,R, denotada×F, éPx+Qy+Rz; ela mede a “saída” de um campo vetorial