15.8: Exercícios de revisão do capítulo 15
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Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta com uma prova ou um contra-exemplo.
1. \(\displaystyle ∫_a^b∫_c^d f(x,y) \, dy \, dx = ∫_c^d∫_a^b f(x,y) \, dy \, dx\)
2. O teorema de Fubini pode ser estendido para três dimensões, desde que\(f\) seja contínuo em todas as variáveis.
- Resposta
- É verdade
3. A integral\(\displaystyle ∫_0^{2π}∫_0^1∫_r^1 \,dz \, dr \, dθ\) representa o volume de um cone direito.
4. O jacobiano da transformação para\(x=u^2−2v, \, y=3v−2uv\) é dado por\(−4u^2+6u+4v.\)
- Resposta
- Falso
Avalie os seguintes integrais.
5. \(\displaystyle \iint_R (5x^3y^2−y^2) \, dA,\)onde\(R=\big\{(x,y) \,|\, 0≤x≤2,\, 1≤y≤4\big\}\)
6. \(\displaystyle \iint_D \dfrac{y}{3x^2+1} \, dA,\)onde\( D=\big\{(x,y) \,|\, 0≤x≤1, \, −x≤y≤x\big\}\)
- Resposta
- \(0\)
7. \(\displaystyle \iint_D \sin(x^2+y^2) \, dA\)onde\(D\) está um disco de raio\(2\) centrado na origem.
8. \(\displaystyle \int_0^1\int_y^1 xye^{x^2}\,dx \, dy\)
- Resposta
- \(\frac{1}{4}\)
9. \(\displaystyle \int_{−1}^1\int_0^z\int_0^{x−z} 6 \, dy \, dx\, dz\)
10. \(\displaystyle \iiint_R 3y \, dV,\)onde\(R=\big\{(x,y,z) \,|\, 0≤x≤1, \, 0≤y≤x, \, 0≤z≤9−y^2\big\}\)
- Resposta
- \(1.475\)
11. \(\displaystyle \int_0^2\int_0^{2π}\int_r^1 r \, dz \, dθ \, dr\)
12. \(\displaystyle \int_0^{2π}\int_0^{π/2}\int_1^3 ρ^2\sin(φ) \, dρ \, dφ \, dθ\)
- Resposta
- \(\frac{52\pi}{3}\)
13. \(\displaystyle \int_0^1\int_{−\sqrt{1−x^2}}^{\sqrt{1−x^2}}\int_{−\sqrt{1−x^2−y^2}}^{\sqrt{1−x^2−y^2}} \, dz \, dy \, dx\)
Para os problemas a seguir, encontre a área ou o volume especificado.
14. A área da região cercada por uma pétala de\(r=\cos(4θ).\)
- Resposta
- \(\frac{\pi}{16} \text{ units}^3\)
15. O volume do sólido que fica entre o parabolóide\(z=2x^2+2y^2\) e o plano\(z=8.\)
16. O volume do sólido delimitado pelo cilindro\(x^2+y^2=16\) e de\(z=1\) para\(z+x=2.\)
- Resposta
- \(93.291 \text{ units}^3\)
17. O volume da interseção entre duas esferas de raio,\(1,\) a parte superior cujo centro é\((0,\,0,\,0.25)\) e a parte inferior, que está centrada em\((0,\,0,\,0).\)
Para os problemas a seguir, encontre o centro de massa da região.
18. \(ρ(x,y)=xy\)no círculo com raio somente\(1\) no primeiro quadrante.
- Resposta
- \( \left( \frac{8}{15}, \, \frac{8}{15} \right) \)
19. \(ρ(x,y)=(y+1)\sqrt{x}\)na região delimitada por\(y=e^x, \, y=0,\) e\(x=1.\)
20. \(ρ(x,y,z)=z\)no cone invertido com raio\(2\) e altura\(2.\)
- Resposta
- \( \left( 0, \, 0, \, \frac{8}{5} \right) \)
21. O volume de uma casquinha de sorvete que é dado pelo sólido acima\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) e abaixo\(z^2+x^2+y^2=z.\)
Os problemas a seguir examinam o Monte Holly, no estado de Michigan. Mount Holly é um aterro sanitário que foi convertido em uma estação de esqui. A forma do Monte Holly pode ser aproximada por um cone circular reto de altura de 1100 pés e raio de 6000 pés.
22. Se o lixo compactado usado para construir o Monte Holly, em média, tiver uma densidade,\(400\text{ lb/ft}^3,\) encontre a quantidade de trabalho necessária para construir a montanha.
- Resposta
- \(1.452\pi \times 10^{15}\)ft-lb
23. Na realidade, é muito provável que o lixo no fundo do Monte Holly tenha ficado mais compactado com todo o peso do lixo acima. Considere uma função de densidade em relação à altura: a densidade no topo da montanha ainda é densidade\(400\text{ lb/ft}^3,\) e a densidade aumenta. A cada 100 pés mais fundo, a densidade dobra. Qual é o peso total do Monte Holly?
Os problemas a seguir consideram a temperatura e a densidade das camadas da Terra.
24. [T] A temperatura das camadas da Terra é exibida na tabela abaixo. Use sua calculadora para ajustar um polinômio de grau 3 à temperatura ao longo do raio da Terra. Em seguida, encontre a temperatura média da Terra. (Dica: comece em 0 no núcleo interno e aumente para fora em direção à superfície)
| Camada | Profundidade do centro (km) | Temperatura °C |
|---|---|---|
| Crosta rochosa | 0 a 40 | 0 |
| Manto superior | 40 a 150 | 870 |
| Manto | 400 a 650 | 870 |
| Manta interna | 650 a 2700 | 870 |
| Núcleo externo derretido | 2890 a 5150 | 4300 |
| Núcleo interno | 5150 a 6378 | 7200 |
- Resposta
- \(y=−1.238×10^{−7}x^3+0.001196x^2−3.666x+7208\);
A temperatura média é de aproximadamente 2800 °C.
25. [T] A densidade das camadas da Terra é exibida na tabela abaixo. Usando sua calculadora ou um programa de computador, encontre a equação quadrática mais adequada à densidade. Usando essa equação, encontre a massa total da Terra.
| Camada | Profundidade do centro (km) | Densidade (\(\text{g/cm}^3\)) |
|---|---|---|
| Núcleo interno | 0 | \ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">12,95 |
| Núcleo externo | 1228 | \ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">11,05 |
| Manto | 3488 | \ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">5.00 |
| Manto superior | 6338 | \ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">3,90 |
| Crosta | 6378 | \ (\ text {g/cm} ^3\))” data-valign="top">2,55 |
Os problemas a seguir dizem respeito ao Teorema de Pappus (veja Momentos e Centros de Massa para uma atualização), um método para calcular o volume usando centróides. Supondo uma região,\(R,\) quando você gira em torno do\(x\) eixo -, o volume é dado por\(V_x=2πA\overline{y},\) e quando você gira em torno do\(y\) eixo -, o volume é dado por\(V_y=2πA\overline{x},\) onde\(A\) está a área de\(R.\) Considere a região delimitada por\(x^2+y^2=1\) e acima\(y=x+1.\)
26. Encontre o volume ao girar a região em torno\(x\) do eixo.
- Resposta
- \(\frac{\pi}{3} \text{ units}^3\)
27. Encontre o volume ao girar a região em torno\(y\) do eixo.