15: Integração múltipla
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- 15.0: Prelúdio para a integração múltipla
- No capítulo anterior, discutimos o cálculo diferencial com várias variáveis independentes. Agora examinamos o cálculo integral em várias dimensões. Assim como uma derivada parcial nos permite diferenciar uma função em relação a uma variável, mantendo as outras variáveis constantes, veremos que uma integral iterada nos permite integrar uma função em relação a uma variável, mantendo as outras variáveis constantes.
- 15.1: Integrais duplos sobre regiões retangulares
- Nesta seção, investigamos integrais duplas e mostramos como podemos usá-las para encontrar o volume de um sólido sobre uma região retangular no plano xyxy. Muitas das propriedades das integrais duplas são semelhantes às que já discutimos para integrais simples.
- 15.2: Integrais duplos em regiões gerais
- Nesta seção, consideramos integrais duplas de funções definidas sobre uma região limitada geral D no plano. A maioria dos resultados anteriores também se mantém nessa situação, mas algumas técnicas precisam ser estendidas para cobrir esse caso mais geral.
- 15.3: Integrais duplos em coordenadas polares
- Às vezes, integrais duplos são muito mais fáceis de avaliar se mudarmos as coordenadas retangulares para coordenadas polares. No entanto, antes de descrevermos como fazer essa mudança, precisamos estabelecer o conceito de uma integral dupla em uma região retangular polar.
- 15.4: Integrais triplos
- Em Integrais duplas sobre regiões retangulares, discutimos a integral dupla de uma função f (x, y) de duas variáveis sobre uma região retangular no plano. Nesta seção, definimos a integral tripla de uma função f (x, y, z) de três variáveis sobre uma caixa sólida retangular no espaço, R³. Posteriormente, nesta seção, estendemos a definição para regiões mais gerais em R³.
- 15.5: Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas
- Nesta seção, convertemos integrais triplos em coordenadas retangulares em uma integral tripla em coordenadas cilíndricas ou esféricas.
- 15.6: Calculando centros de massa e momentos de inércia
- Nesta seção, desenvolvemos técnicas computacionais para encontrar o centro de massa e os momentos de inércia de vários tipos de objetos físicos, usando integrais duplas para uma lâmina (placa plana) e integrais triplas para um objeto tridimensional com densidade variável. A densidade geralmente é considerada um número constante quando a lâmina ou o objeto é homogêneo; ou seja, o objeto tem densidade uniforme.
- 15.7: Mudança de variáveis em várias integrais
- Ao resolver problemas de integração, fazemos as substituições apropriadas para obter uma integral que se torna muito mais simples do que a integral original. Também usamos essa ideia quando transformamos integrais duplas em coordenadas retangulares em coordenadas polares e transformamos integrais triplas em coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas ou esféricas para tornar os cálculos mais simples.
Miniatura: Integral duplo como volume sob uma superfície\(z = 10 − x^2 − y^2/8\). A região retangular na parte inferior do corpo é o domínio de integração, enquanto a superfície é o gráfico da função de duas variáveis a ser integrada. (Domínio público; Oleg Alexandrov).