15: Integração múltipla

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Nov 1, 2022
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- 14.9: Capítulo 14 Exercícios de revisão
- 15.0: Prelúdio para a integração múltipla

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Neste capítulo, estendemos o conceito de uma integral definida de uma única variável para integrais duplas e triplas de funções de duas e três variáveis, respectivamente. Examinamos aplicações que envolvem integração para calcular volumes, massas e centróides de regiões mais gerais. Também veremos como o uso de outros sistemas de coordenadas (como coordenadas polares, cilíndricas e esféricas) simplifica o cálculo de várias integrais em alguns tipos de regiões e funções. No capítulo anterior, discutimos o cálculo diferencial com várias variáveis independentes. Agora examinamos o cálculo integral em várias dimensões. Assim como uma derivada parcial nos permite diferenciar uma função em relação a uma variável, mantendo as outras variáveis constantes, veremos que uma integral iterada nos permite integrar uma função em relação a uma variável, mantendo as outras variáveis constantes.

15.0: Prelúdio para a integração múltipla
No capítulo anterior, discutimos o cálculo diferencial com várias variáveis independentes. Agora examinamos o cálculo integral em várias dimensões. Assim como uma derivada parcial nos permite diferenciar uma função em relação a uma variável, mantendo as outras variáveis constantes, veremos que uma integral iterada nos permite integrar uma função em relação a uma variável, mantendo as outras variáveis constantes.
15.1: Integrais duplos sobre regiões retangulares
Nesta seção, investigamos integrais duplas e mostramos como podemos usá-las para encontrar o volume de um sólido sobre uma região retangular no plano xyxy. Muitas das propriedades das integrais duplas são semelhantes às que já discutimos para integrais simples.
- 15.1E: Exercícios para a Seção 15.1
15.2: Integrais duplos em regiões gerais
Nesta seção, consideramos integrais duplas de funções definidas sobre uma região limitada geral D no plano. A maioria dos resultados anteriores também se mantém nessa situação, mas algumas técnicas precisam ser estendidas para cobrir esse caso mais geral.
- 15.2E: Exercícios para a Seção 15.2
15.3: Integrais duplos em coordenadas polares
Às vezes, integrais duplos são muito mais fáceis de avaliar se mudarmos as coordenadas retangulares para coordenadas polares. No entanto, antes de descrevermos como fazer essa mudança, precisamos estabelecer o conceito de uma integral dupla em uma região retangular polar.
- 15.3E: Exercícios para a Seção 15.3
15.4: Integrais triplos
Em Integrais duplas sobre regiões retangulares, discutimos a integral dupla de uma função f (x, y) de duas variáveis sobre uma região retangular no plano. Nesta seção, definimos a integral tripla de uma função f (x, y, z) de três variáveis sobre uma caixa sólida retangular no espaço, R³. Posteriormente, nesta seção, estendemos a definição para regiões mais gerais em R³.
- 15.4E: Exercícios para a Seção 15.4
15.5: Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas
Nesta seção, convertemos integrais triplos em coordenadas retangulares em uma integral tripla em coordenadas cilíndricas ou esféricas.
- 15.5E: Exercícios para a Seção 15.5
15.6: Calculando centros de massa e momentos de inércia
Nesta seção, desenvolvemos técnicas computacionais para encontrar o centro de massa e os momentos de inércia de vários tipos de objetos físicos, usando integrais duplas para uma lâmina (placa plana) e integrais triplas para um objeto tridimensional com densidade variável. A densidade geralmente é considerada um número constante quando a lâmina ou o objeto é homogêneo; ou seja, o objeto tem densidade uniforme.
- 15.6E: Exercícios para a Seção 15.6
15.7: Mudança de variáveis em várias integrais
Ao resolver problemas de integração, fazemos as substituições apropriadas para obter uma integral que se torna muito mais simples do que a integral original. Também usamos essa ideia quando transformamos integrais duplas em coordenadas retangulares em coordenadas polares e transformamos integrais triplas em coordenadas retangulares em coordenadas cilíndricas ou esféricas para tornar os cálculos mais simples.
- 15.7E: Exercícios para a Seção 15.7
15.8: Exercícios de revisão do capítulo 15

Miniatura: Integral duplo como volume sob uma superfície $z = 10 − x^2 − y^2/8$ . A região retangular na parte inferior do corpo é o domínio de integração, enquanto a superfície é o gráfico da função de duas variáveis a ser integrada. (Domínio público; Oleg Alexandrov).