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15.4: Integrais triplos

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objetivos de
  • Reconheça quando uma função de três variáveis é integrável em uma caixa retangular.
  • Calcule uma integral tripla expressando-a como uma integral iterada.
  • Reconheça quando uma função de três variáveis é integrável em uma região fechada e limitada.
  • Simplifique um cálculo alterando a ordem de integração de uma integral tripla.
  • Calcule o valor médio de uma função de três variáveis.

Anteriormente, discutimos a integral dupla de uma funçãof(x,y) de duas variáveis sobre uma região retangular no plano. Nesta seção, definimos a integral tripla de uma funçãof(x,y,z) de três variáveis sobre uma caixa sólida retangular no espaço,R3. Posteriormente, nesta seção, estenderemos a definição para regiões mais gerais emR3.

Funções integráveis de três variáveis

Podemos definir uma caixaB retangularR3 como

B={(x,y,z)|axb,cyd,ezf}.

Seguimos um procedimento semelhante ao que fizemos anteriormente. Dividimos o intervalo[a,b] eml subintervalos[xi1,xi] de igual comprimentoΔx com

Δx=xixi1l,

divida o intervalo[c,d] emm subintervalos[yi1,yi] de igual comprimentoΔy com

Δy=yjyj1m,

e divida o intervalo[e,f] emn subintervalos[zi1,zi] de igual comprimentoΔz com

Δz=zkzk1n

Em seguida, a caixa retangularB é subdividida emlmn subcaixas:

Bijk=[xi1,xi]×[yi1,yi]×[zi1,zi],

conforme mostrado na Figura15.4.1.

No espaço x y z, há uma caixa B com uma subcaixa Bijk com lados de comprimento Delta x, Delta y e Delta z.
Figura15.4.1: Uma caixa retangularR3 é dividida em subcaixas por planos paralelos aos planos coordenados.

Para cadai,j, ek, considere um ponto de amostra(xijk,yijk,zijk) em cada subcaixaBijk. Vemos que seu volume éΔV=ΔxΔyΔz. Forme a soma tripla de Riemann

li=1mj=1nk=1f(xijk,yijk,zijk)ΔxΔyΔz.

Definimos a integral tripla em termos do limite de uma soma tripla de Riemann, como fizemos com a integral dupla em termos de uma soma dupla de Riemann.

Definição: A integral tripla

A integral tripla de uma funçãof(x,y,z) sobre uma caixa retangularB é definida como

liml,m,nli=1mj=1nk=1f(xijk,yijk,zijk)ΔxΔyΔz=Bf(x,y,z)dVse esse limite existir.

Quando a integral tripla existeB na função, diz-se quef(x,y,z) é integrável emB. Além disso, a integral triplaf(x,y,z) existe se for contínuaB. Portanto, usaremos funções contínuas em nossos exemplos. No entanto, a continuidade é suficiente, mas não necessária; em outras palavras,f é limitadaB e contínua, exceto possivelmente na fronteira deB. O ponto de amostra(xijk,yijk,zijk) pode ser qualquer ponto na subcaixa retangularBijk e todas as propriedades de uma integral dupla se aplicam a uma integral tripla. Assim como a integral dupla tem muitas aplicações práticas, a integral tripla também tem muitas aplicações, que discutiremos nas seções posteriores.

Agora que desenvolvemos o conceito da integral tripla, precisamos saber como computá-la. Assim como no caso da integral dupla, podemos ter uma integral tripla iterada e, consequentemente, existe uma versão do teorema de Fubini para integrais triplas.

Teorema de Fubini para integrais triplos

Sef(x,y,z) for contínuo em uma caixa retangularB=[a,b]×[c,d]×[e,f], então

Bf(x,y,z)dV=fedcbaf(x,y,z)dxdydz.

Essa integral também é igual a qualquer uma das outras cinco ordens possíveis para a integral tripla iterada.

Paraa,b,c,d,e númerosf reais, a integral tripla iterada pode ser expressa em seis ordens diferentes:

fedcbaf(x,y,z)dxdydz=fe(dc(baf(x,y,z)dx)dy)dz=dc(fe(baf(x,y,z)dx)dz)dy=ba(fe(dcf(x,y,z)dy)dz)dx=fe(ba(dcf(x,y,z)dy)dx)dz=dc(ba(dcf(x,y,z)dz)dx)dy=ba(dc(fef(x,y,z)dz)dy)dx

Para uma caixa retangular, a ordem de integração não faz nenhuma diferença significativa no nível de dificuldade na computação. Nós calculamos integrais triplos usando o Teorema de Fubini em vez de usar a definição da soma de Riemann. Seguimos a ordem de integração da mesma forma que fizemos com integrais duplas (ou seja, de dentro para fora).

Exemplo15.4.1: Evaluating a Triple Integral

Avalie a integral triplaz=1z=0y=4y=2x=5x=1(x+yz2)dxdydz.

Solução

A ordem de integração é especificada no problema, então integre em relação ax primeiro, depois y e depoisz.

z=1z=0y=4y=2x=5x=1(x+yz2)dxdydz=z=1z=0y=4y=2[x22+xyz2|x=5x=1]dydzIntegrate with respect to x.=z=1z=0y=4y=2[12+6yz2]dydzEvaluate.=z=1z=0[12y+6y22z2|y=4y=2]dzIntegrate with respect to y.=z=1z=0[24+36z2]dzEvaluate.=[24z+36z33]z=1z=0Integrate with respect to z.=36.Evaluate.

Exemplo15.4.2: Evaluating a Triple Integral

Avalie a integral tripla

Bx2yzdV

ondeB={(x,y,z)|2x1,0y3,1z5}, conforme mostrado na Figura15.4.2.

No espaço x y z, há uma caixa fornecida com cantos (1, 0, 5), (1, 0, 1), (1, 3, 1), (1, 3, 5), (menos 2, 0, 5), (menos 2, 0, 1), (menos 2, 3, 1) e (menos 2, 3, 5).
Figura15.4.2: Cálculo de uma integral tripla sobre uma determinada caixa retangular.

Solução

A ordem não está especificada, mas podemos usar a integral iterada em qualquer ordem sem alterar o nível de dificuldade. Escolha, digamos, integrary primeirox, depois e depoisz.

Bx2yzdV=511230[x2yz]dydxdz=5112[x2y33z|30]dxdz=5112y2x2zdxdz=51[92x33z|12]dz=51272zdz=272z22|51=162.

Agora tente se integrar em uma ordem diferente apenas para ver se obtemos a mesma resposta. Opte por integrar em relação ax primeiro, depoisz, depoisy

Bx2yzdV=305112[x2yz]dxdzdy=3051[x33yz|12]dzdy=30513yzdzdy=30[3yz22|51]dy=3036ydy=36y22|30=18(90)=162.

Exercício15.4.1

Avalie a integral tripla

BzsinxcosydV

ondeB={(x,y,z)|0xπ,3π2y2π,1z3}.

Dica

Siga as etapas no exemplo anterior.

Responda

BzsinxcosydV=8

Integrais triplos em uma região delimitada geral

Agora expandimos a definição da integral tripla para calcular uma integral tripla sobre uma região limitada mais geralE emR3. As regiões delimitadas gerais que consideraremos são de três tipos. Primeiro,D seja a região limitada que é umaE projeçãoxy de no plano. Suponha que a regiãoE emR3 tenha a forma

E={(x,y,z)|(x,y)D,u1(x,y)zu2(x,y)}.

Para duas funçõesz=u1(x,y) eu2(x,y), de forma queu1(x,y)u2(x,y) para todos(x,y),D conforme mostrado na figura a seguir.

No espaço x y z, há uma forma E com a superfície superior z = u2 (x, y) e a superfície inferior z = u1 (x, y). A parte inferior se projeta no plano x y como região D.
Figura15.4.3: Podemos descrever a regiãoE como o espaço entreu1(x,y) eu2(x,y) acima daE projeçãoDxy de no plano.
Integral tripla sobre uma região geral

A integral tripla de uma função contínuaf(x,y,z) sobre uma região tridimensional geral

E={(x,y,z)|(x,y)D,u1(x,y)zu2(x,y)}

inR3, ondeD está aE projeção de noxy plano -, é

Ef(x,y,z)dV=D[u2(x,y)u1(x,y)f(x,y,z)dz]dA.

Da mesma forma, podemos considerar uma região limitada geralD noxy plano -e duas funçõesy=u1(x,z) ey=u2(x,z) tal queu1(x,z)u2(x,z) para todos(x,z) emD. Em seguida, podemos descrever aE região sólidaR3 como

E={(x,y,z)|(x,z)D,u1(x,z)zu2(x,z)}ondeD está aE projeção de noxy plano -e a integral tripla é

Ef(x,y,z)dV=D[u2(x,z)u1(x,z)f(x,y,z)dy]dA.

Finalmente, seD é uma região limitada geral noxy plano -e temos duas funçõesx=u1(y,z) ex=u2(y,z) tal que,u1(y,z)u2(y,z) para todos(y,z) emD, então a região sólidaE emR3 pode ser descrita como

E={(x,y,z)|(y,z)D,u1(y,z)zu2(y,z)}ondeD está aE projeção de noxy plano -e a integral tripla é

Ef(x,y,z)dV=D[u2(y,z)u1(y,z)f(x,y,z)dx]dA.

Observe que a regiãoD em qualquer um dos planos pode ser do Tipo I ou do Tipo II, conforme descrito anteriormente. SeD noxy plano -for do Tipo I (Figura15.4.4), então

E={(x,y,z)|axb,g1(x)yg2(x),u1(x,y)zu2(x,y)}.

No espaço x y z, há uma forma complexa E com a superfície superior z = u2 (x, y) e a superfície inferior z = u1 (x, y). A parte inferior se projeta no plano xy como região D com limites x = a, x = b, y = g1 (x) e y = g2 (x).
Figura15.4.4: Uma caixaE em que a projeçãoD noxy plano -é do Tipo I.

Então, a integral tripla se torna

Ef(x,y,z)dV=bag2(x)g1(x)u2(x,y)u1(x,y)f(x,y,z)dzdydx.

SeD noxy plano -for do Tipo II (Figura15.4.5), então

E={(x,y,z)|cxd,h1(x)yh2(x),u1(x,y)zu2(x,y)}.

No espaço x y z, há uma forma complexa E com a superfície superior z = u2 (x, y) e a superfície inferior z = u1 (x, y). A parte inferior se projeta no plano xy como região D com limites y = c, y = d, x = h1 (y) e x = h2 (y).
Figura15.4.5: Uma caixaE em que a projeçãoD noxy plano -é do Tipo II.

Então, a integral tripla se torna

Ef(x,y,z)dV=y=dy=cx=h2(y)x=h1(y)z=u2(x,y)z=u1(x,y)f(x,y,z)dzdxdy.

Exemplo15.4.3A: Evaluating a Triple Integral over a General Bounded Region

Avalie a integral tripla da funçãof(x,y,z)=5x3y sobre o tetraedro sólido limitado pelos planosx=0,y=0,z=0,x+y+z=1 e.

Solução

A figura15.4.6 mostra o tetraedro sólidoE e sua projeçãoD noxy plano.

No espaço x y z, há um E sólido com limites sendo os planos x y, z y e x z e z = 1 menos x menos y. Os pontos são a origem, (1, 0, 0), (0, 0, 1) e (0, 1, 0) e (0, 1, 0). Sua superfície no plano x y é mostrada como sendo um retângulo marcado com D com a linha y = 1 menos x. Além disso, há uma linha vertical mostrada em D.
Figura15.4.6: O sólidoE tem uma projeçãoD noxy plano -do Tipo I.

Podemos descrever o tetraedro da região sólida como

E={(x,y,z)|0x1,0y1x,0z1xy}.

Portanto, a integral tripla é

Ef(x,y,z)dV=x=1x=0y=1xy=0z=1xyz=0(5x3y)dzdydx.

Para simplificar o cálculo, primeiro avalie a integralz=1xyz=0(5x3y)dz. Nós temos

z=1xyz=0(5x3y)dz=(5x3y)z|z=1xyz=0=(5x3y)(1xy).

Agora, avalie a integral

y=1xy=0(5x3y)(1xy)dy,

obtenção

y=1xy=0(5x3y)(1xy)dy=12(x1)2(6x1).

Finalmente avalie

x=1x=012(x1)2(6x1)dx=112.

Juntando tudo, temos

Ef(x,y,z)dV=x=1x=0y=1xy=0z=1xyz=0(5x3y)dzdydx=112.

Assim como usamos a integral duplaD1dA para encontrar a área de uma região limitada geral,D podemos usarE1dV para encontrar o volume de uma região geral limitada sólidaE. O exemplo a seguir ilustra o método.

Exemplo15.4.3B: Finding a Volume by Evaluating a Triple Integral

Encontre o volume de uma pirâmide direita que tem a base quadrada noxy plano[1,1]×[1,1] -e o vértice no ponto,(0,0,1) conforme mostrado na figura a seguir.

No espaço x y z, há uma pirâmide com uma base quadrada centrada na origem. O ápice da pirâmide é (0, 0, 1).
Figura15.4.7: Encontrando o volume de uma pirâmide com base quadrada.

Solução

Nesta pirâmide, o valor dez muda de 0 para 1 e, em cada altura,z a seção transversal da pirâmide para qualquer valor dez é o quadrado.

[1+z,1z]×[1+z,1z].

Portanto, o volume da pirâmide éE1dV onde

E={(x,y,z)|0z1,1+zy1z,1+zx1z}.

Assim, temos

\ [\ begin {align*}\ IIint_E 1\, dV &=\ int_ {z=0} ^ {z=1}\ int_ {y=-1+z} ^ {y=1-z}\ int_ {x=-1+z} ^ {x=1-z} 1\, dx\, dy\, dz\\ [5pt]
&=\ int_ {z_ =0} ^ {z=1}\ int_ {y=-1+z} ^ {y=1-z} (2 - 2z)\, dy\, dz\\ [5pt]
&=\ int_ {z=0} ^ {z=1} (2 - 2z) ^2\, dz =\ dfrac {4} {3}. \ end {align*}\]

Portanto, o volume da pirâmide é de unidades43 cúbicas.

Exercício15.4.3

Considere a esfera sólidaE={(x,y,z)|x2+y2+z2=9}. Escreva a integral triplaEf(x,y,z)dV para uma função arbitráriaf como uma integral iterada. Em seguida, avalie essa integral tripla comf(x,y,z)=1. Observe que isso fornece o volume de uma esfera usando uma integral tripla.

Dica

Siga as etapas no exemplo anterior. Use simetria.

Responda

E1dV=8x=3x=3y=9z2y=9z2z=9x2y2z=9x2y21dzdydx=36πcubic units.

Alterando a ordem da integração

Como já vimos em integrais duplas sobre regiões limitadas gerais, a alteração da ordem da integração é feita com bastante frequência para simplificar o cálculo. Com uma integral tripla sobre uma caixa retangular, a ordem de integração não altera o nível de dificuldade do cálculo. No entanto, com uma integral tripla sobre uma região limitada geral, escolher uma ordem apropriada de integração pode simplificar um pouco o cálculo. Às vezes, fazer a alteração nas coordenadas polares também pode ser muito útil. Demonstramos dois exemplos aqui.

Exemplo15.4.4: Changing the Order of Integration

Considere a integral iterada

x=1x=0y=x2y=0z=yz=0f(x,y,z)dzdydx.

A ordem de integração aqui é primeiro em relação a z, depois y e depois x. Expresse essa integral alterando a ordem de integração para ser a primeira em relação axz, depois e depoisy. Verifique se o valor da integral é o mesmo se deixarmosf(x,y,z)=xyz.

Solução

A melhor maneira de fazer isso é esboçar a regiãoE e suas projeções em cada um dos três planos coordenados. Assim, deixe

E={(x,y,z)|0x1,0yx2,0zy}.

e

x=1x=0y=x2y=0z=x2z=0f(x,y,z)dzdydx=Ef(x,y,z)dV.

Precisamos expressar essa integral tripla como

y=dy=cz=v2(y)z=v1(y)x=u2(y,z)x=u1(y,z)f(x,y,z)dxdzdy.

Conhecendo a região,E podemos desenhar as seguintes projeções (Figura15.4.8):

noxy plano -éD1={(x,y)|0x1,0yx2}={(x,y)|0y1,yx1},

noyz plano -éD2={(y,z)|0y1,0zy2}, e

noxz plano -éD3={(x,z)|0x1,0zx2}.

Três versões similares do gráfico a seguir são mostradas: No plano x y, uma região D1 é delimitada pelo eixo x, a linha x = 1 e a curva y = x ao quadrado. Na segunda versão, a região D2 no plano z y é mostrada com a equação z = y ao quadrado. E na terceira versão, a região D3 no plano x z é mostrada com a equação z = x ao quadrado.
Figura15.4.8. As três seções transversais deE nos três planos coordenados.

Agora podemos descrever aE mesma região que{(x,y,z)|0y1,0zy2,yx1}, e consequentemente, a integral tripla se torna

y=dy=cz=v2(y)z=v1(y)x=u2(y,z)x=u1(y,z)f(x,y,z)dxdzdy=y=1y=0z=x2z=0x=1x=yf(x,y,z)dxdzdy

Agora, suponha quef(x,y,z)=xyz em cada uma das integrais. Então nós temos

\ [\ begin {align*}\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ int_ {y=0} ^ {y=x^2}\ int_ {z=0} ^ {z=y^2} xyz\, dz\, dy\, dx &=\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ int_ {y=0} ^ {x=1}\ int_ {y=0} ^ {y=0} x^2}\ esquerda. \ left [xy\ dfrac {z^2} {2}\ right|_ {z=0} ^ {z=y^2}\ direita]\, dy\, dx\\ [5pt]
&=\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ int_ {y=0} ^ {y=x^2}\ esquerda (x\ dfrac {y^5} {2}\ right) dy\, dx\\ [5pt]
&=\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ left. \ left [x\ dfrac {y^6} {12}\ right|_ {y=0} ^ {y=x^2}\ direita] dx\\ [5pt]
&=\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ dfrac {x^ {13}} {12} dx =\ left. \ dfrac {x^ {14}} {168}\ right|_ {x=0} ^ {x=1}\\ [5pt]
&=\ dfrac {1} {168},\ end {align*}\]

\ [\ begin {align*}\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ int_ {z=0} ^ {z=y^2}\ int_ {x=\ sqrt {y}} ^ {x=1} xyz\, dx\, dz\, dy &=\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ int_ {z=0} ^ {z=y^2}\ esquerda. \ left [yz\ dfrac {x^2} {2}\ right|_ {\ sqrt {y}} ^ {1}\ direita] dz\, dy\\ [5pt]
&=\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ int_ {z=0} ^ {z=y^2}\ left (\ dfrac {yz} {2} -\ dfrac {y^2z} {2}\ direita) dz\, dy\\ [5pt]
&=\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ esquerda. \ left [\ dfrac {yz^2} {4} -\ dfrac {y^2z^2} {4}\ right|_ {z=0} ^ {z=y^2}\ direita] dy\\ [5pt]
&=\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ left (\ dfrac {y^5} {4} -\ dfrac {y^5} {4} -\ dfrac {y^5} {4} -\ dfrac {y^5} {4} -\ dfrac c {y^6} {4}\ right) dy\\ [5pt]
&=\ left. \ left (\ dfrac {y^6} {24} -\ dfrac {y^7} {28}\ direita)\ right|_ {y=0} ^ {y=1}\\ [5pt]
&=\ dfrac {1} {168}. \ end {align*}\ nonumber\]

As respostas coincidem.

Exercício\PageIndex{4}

Escreva cinco integrais iteradas diferentes iguais à integral fornecida

\int_{z=0}^{z=4} \int_{y=0}^{y=4-z} \int_{x=0}^{x=\sqrt{y}} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz.\nonumber

Dica

Siga as etapas do exemplo anterior, usando a regiãoE como \big\{(x,y,z) \,|\, 0 \leq z \leq 4, \, 0 \leq y \leq 4 - z, \, 0 \leq x \leq \sqrt{y} \big\}, e descreva e esboce as projeções em cada um dos três planos, cinco vezes diferentes.

Responda

(i) \, \int_{z=0}^{z=4} \int_{x=0}^{x=\sqrt{4-z}} \int_{y=x^2}^{y=4-z} f(x,y,z) \, dy \, dx \, dz, \, (ii) \, \int_{y=0}^{y=4} \int_{z=0}^{z=4-y} \int_{x=0}^{x=\sqrt{y}} f(x,y,z) \,dx \, dz \, dy, \,(iii) \, \int_{y=0}^{y=4} \int_{x=0}^{x=\sqrt{y}} \int_{z=0}^{Z=4-y} f(x,y,z) \,dz \, dx \, dy, \, \nonumber

(iv) \, \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=x^2}^{y=4} \int_{z=0}^{z=4-y} f(x,y,z) \,dz \, dy \, dx, \, (v) \int_{x=0}^{x=2} \int_{z=0}^{z=4-x^2} \int_{y=x^2}^{y=4-z} f(x,y,z) \,dy \, dz \, dx \nonumber

Exemplo\PageIndex{5}: Changing Integration Order and Coordinate Systems

Avalie a integral tripla

\iiint_{E} \sqrt{x^2 + z^2} \,dV, \nonumber

ondeE está a região delimitada pelo parabolóidey = x^2 + z^2 (Figura\PageIndex{9}) e pelo planoy = 4.

O parabolóide y = x ao quadrado + z ao quadrado é mostrado abrindo ao longo do eixo y até y = 4.
Figura\PageIndex{9}. Integrando uma integral tripla sobre um parabolóide.

Solução

A projeção da região sólidaE noxy plano -é a região delimitada acimay = 4 e abaixo pela parábola,y = x^2 conforme mostrado.

No plano x y, o gráfico de y = x ao quadrado é mostrado com a linha y = 4 cruzando o gráfico em (menos 2, 4) e (2, 4).
Figura\PageIndex{10}. Seção transversal noxy plano -do parabolóide na Figura\PageIndex{9}.

Assim, temos

E = \big\{(x,y,z) \,|\, -2 \leq x \leq 2, \, x^2 \leq y \leq 4, \, -\sqrt{y - x^2} \leq z \sqrt{y - x^2} \big\}.\nonumber

A integral tripla se torna

\iiint_E \sqrt{x^2 + z^2} \,dV = \int_{x=-2}^{x=2} \int_{y=x^2}^{y=4} \int_{z=-\sqrt{y-x^2}}^{z=\sqrt{y-x^2}} \sqrt{x^2 + z^2} \,dz \, dy \, dx.\nonumber

Essa expressão é difícil de calcular, então considere aE projeção de noxz plano -. Este é um disco circularx^2 + z^2 \leq 4. Então, obtemos

\iiint_E \sqrt{x^2 + z^2} \,dV = \int_{x=-2}^{x=2} \int_{y=x^2}^{y=4} \int_{z=-\sqrt{y-x^2}}^{z=\sqrt{y-x^2}} \sqrt{x^2 + z^2} \,dz \, dy \, dx = \int_{x=-2}^{x=2} \int_{z=-\sqrt{4-x^2}}^{z=\sqrt{4-x^2}} \int_{y=x^2+z^2}^{y=4} \sqrt{x^2 + z^2} \,dy \, dz \, dx.\nonumber

Aqui, a ordem de integração muda de ser primeiro em relação az entãoy e depoisx para ser primeiro em relação ay depois paraz e depois parax. Em breve, ficará claro como essa mudança pode ser benéfica para a computação. Nós temos

\int_{x=-2}^{x=2} \int_{z=\sqrt{4-x^2}}^{z=\sqrt{4-x^2}} \int_{y=x^2+z^2}^{y=4} \sqrt{x^2 + z^2} \,dy \, dz \, dx = \int_{x=-2}^{x=2} \int_{z=-\sqrt{4-x^2}}^{z=\sqrt{4-x^2}} (4 - x^2 - z^2) \sqrt{x^2 + z^2} \,dz \, dx.\nonumber

Agora use a substituiçãox = r \, \cos \, \theta, \, z = r \, \sin \, \theta polar edz \, dx = r \, dr \, d\theta noxz plano -. Isso é essencialmente o mesmo de quando usamos coordenadas polares noxy plano -, exceto que estamos substituindoy porz. Consequentemente, os limites da integração mudam e temos, ao usarr^2 = x^2 + z^2,

\int_{x=-2}^{x=2} \int_{z=-\sqrt{4-x^2}}^{z=\sqrt{4-x^2}} (4 - x^2 - z^2) \sqrt{x^2 + z^2}\,dz \, dx = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{r=0}^{r=2} (4 - r^2) rr \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \left. \left[ \dfrac{4r^3}{3} - \dfrac{r^5}{5} \right|_0^2 \right] \, d\theta = \int_0^{2\pi} \dfrac{64}{15} \,d\theta = \dfrac{128\pi}{15}\nonumber

Valor médio de uma função de três variáveis

Lembre-se de que encontramos o valor médio de uma função de duas variáveis avaliando a integral dupla sobre uma região no plano e depois dividindo pela área da região. Da mesma forma, podemos encontrar o valor médio de uma função em três variáveis avaliando a integral tripla sobre uma região sólida e depois dividindo pelo volume do sólido.

Valor médio de uma função de três variáveis

Sef(x,y,z) for integrável em uma região limitada sólidaE com volume positivoV \, (E),, o valor médio da função é

f_{ave} = \dfrac{1}{V \, (E)} \iiint_E f(x,y,z) \, dV. \nonumber

Observe que o volume é

V \, (E) = \iiint_E 1 \,dV. \nonumber

Exemplo\PageIndex{6}: Finding an Average Temperature

A temperatura em um ponto(x,y,z) de um sólidoE limitado pelos planos de coordenadas e o planox + y + z = 1 éT(x,y,z) = (xy + 8z + 20) \, \text{°}\text{C} . Encontre a temperatura média sobre o sólido.

Solução

Use o teorema dado acima e a integral tripla para encontrar o numerador e o denominador. Então faça a divisão. Observe que o aviãox + y + z = 1 tem interceptações(1,0,0), \, (0,1,0),(0,0,1) e. A regiãoE parece

E = \big\{(x,y,z) \,|\, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1 - x, \, 0 \leq z \leq 1 - x - y \big\}.\nonumber

Portanto, a integral tripla da temperatura é

\iiint_E f(x,y,z) \,dV = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x} \int_{z=0}^{z=1-x-y} (xy + 8z + 20) \, dz \, dy \, dx = \dfrac{147}{40}. \nonumber

A avaliação do volume é

V \, (E) = \iiint_E 1\,dV = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x} \int_{z=0}^{z=1-x-y} 1 \,dz \, dy \, dx = \dfrac{1}{6}. \nonumber

Portanto, o valor médio é

T_{ave} = \dfrac{147/40}{1/6} = \dfrac{6(147)}{40} = \dfrac{441}{20} \, \text{°}\text{C} \nonumber .

Exercício\PageIndex{6}

Encontre o valor médio da funçãof(x,y,z) = xyz sobre o cubo com lados de comprimento de 4 unidades no primeiro octante com um vértice na origem e bordas paralelas aos eixos coordenados.

Dica

Siga as etapas no exemplo anterior.

Responda

f_{ave} = 8

Conceitos-chave

  • Para calcular uma integral tripla, usamos o teorema de Fubini, que afirma que sef(x,y,z) é contínuo em uma caixa retangularB = [a,b] \times [c,d] \times [e,f], então\iiint_B f(x,y,z) \,dV = \int_e^f \int_c^d \int_a^b f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz \nonumber e também é igual a qualquer uma das outras cinco ordenações possíveis para a integral tripla iterada.
  • Para calcular o volume de uma região limitada sólida geral,E usamos a integral tripla.V \, (E) = \iiint_E 1 \,dV. \nonumber
  • A troca da ordem das integrais iteradas não altera a resposta. De fato, trocar a ordem de integração pode ajudar a simplificar a computação.
  • Para calcular o valor médio de uma função sobre uma região tridimensional geral, usamosf_{ave} = \dfrac{1}{V \, (E)} \iiint_E f(x,y,z) \,dV. \nonumber

Equações-chave

  • Integral triplo

\lim_{l,m,n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^l \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \,\Delta x \Delta y \Delta z = \iiint_B f(x,y,z) \,dV \nonumber

Glossário

integral triplo
a integral tripla de uma função contínuaf(x,y,z) sobre uma caixa sólida retangularB é o limite de uma soma de Riemann para uma função de três variáveis, se esse limite existir