15.4: Integrais triplos
- Reconheça quando uma função de três variáveis é integrável em uma caixa retangular.
- Calcule uma integral tripla expressando-a como uma integral iterada.
- Reconheça quando uma função de três variáveis é integrável em uma região fechada e limitada.
- Simplifique um cálculo alterando a ordem de integração de uma integral tripla.
- Calcule o valor médio de uma função de três variáveis.
Anteriormente, discutimos a integral dupla de uma funçãof(x,y) de duas variáveis sobre uma região retangular no plano. Nesta seção, definimos a integral tripla de uma funçãof(x,y,z) de três variáveis sobre uma caixa sólida retangular no espaço,R3. Posteriormente, nesta seção, estenderemos a definição para regiões mais gerais emR3.
Funções integráveis de três variáveis
Podemos definir uma caixaB retangularR3 como
B={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,e≤z≤f}.
Seguimos um procedimento semelhante ao que fizemos anteriormente. Dividimos o intervalo[a,b] eml subintervalos[xi−1,xi] de igual comprimentoΔx com
Δx=xi−xi−1l,
divida o intervalo[c,d] emm subintervalos[yi−1,yi] de igual comprimentoΔy com
Δy=yj−yj−1m,
e divida o intervalo[e,f] emn subintervalos[zi−1,zi] de igual comprimentoΔz com
Δz=zk−zk−1n
Em seguida, a caixa retangularB é subdividida emlmn subcaixas:
Bijk=[xi−1,xi]×[yi−1,yi]×[zi−1,zi],
conforme mostrado na Figura15.4.1.

Para cadai,j, ek, considere um ponto de amostra(x∗ijk,y∗ijk,z∗ijk) em cada subcaixaBijk. Vemos que seu volume éΔV=ΔxΔyΔz. Forme a soma tripla de Riemann
l∑i=1m∑j=1n∑k=1f(x∗ijk,y∗ijk,z∗ijk)ΔxΔyΔz.
Definimos a integral tripla em termos do limite de uma soma tripla de Riemann, como fizemos com a integral dupla em termos de uma soma dupla de Riemann.
A integral tripla de uma funçãof(x,y,z) sobre uma caixa retangularB é definida como
limse esse limite existir.
Quando a integral tripla existeB na função, diz-se quef(x,y,z) é integrável emB. Além disso, a integral triplaf(x,y,z) existe se for contínuaB. Portanto, usaremos funções contínuas em nossos exemplos. No entanto, a continuidade é suficiente, mas não necessária; em outras palavras,f é limitadaB e contínua, exceto possivelmente na fronteira deB. O ponto de amostra(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) pode ser qualquer ponto na subcaixa retangularB_{ijk} e todas as propriedades de uma integral dupla se aplicam a uma integral tripla. Assim como a integral dupla tem muitas aplicações práticas, a integral tripla também tem muitas aplicações, que discutiremos nas seções posteriores.
Agora que desenvolvemos o conceito da integral tripla, precisamos saber como computá-la. Assim como no caso da integral dupla, podemos ter uma integral tripla iterada e, consequentemente, existe uma versão do teorema de Fubini para integrais triplas.
Sef(x,y,z) for contínuo em uma caixa retangularB = [a,b] \times [c,d] \times [e,f], então
\iint_B f(x,y,z) \,dV = \int_e^f \int_c^d \int_a^b f(x,y,z) \,dx \, dy \, dz. \nonumber
Essa integral também é igual a qualquer uma das outras cinco ordens possíveis para a integral tripla iterada.
Paraa, b, c, d, e númerosf reais, a integral tripla iterada pode ser expressa em seis ordens diferentes:
\begin{align} \int_e^f \int_c^d \int_a^b f(x,y,z)\, dx \, dy \, dz = \int_e^f \left( \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y,z) \,dx \right) dy \right) dz \\ = \int_c^d \left( \int_e^f \left( \int_a^b f(x,y,z) \,dx \right)dz \right) dy \\ = \int_a^b \left( \int_e^f \left( \int_c^d f(x,y,z) \,dy \right)dz \right) dx \\ = \int_e^f \left( \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y,z) \,dy \right) dx \right) dz \\ = \int_c^d \left( \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y,z) \,dz\right)dx \right) dy \\ = \int_a^b \left( \int_c^d \left( \int_e^f f(x,y,z) \,dz \right) dy \right) dx \end{align} \nonumber
Para uma caixa retangular, a ordem de integração não faz nenhuma diferença significativa no nível de dificuldade na computação. Nós calculamos integrais triplos usando o Teorema de Fubini em vez de usar a definição da soma de Riemann. Seguimos a ordem de integração da mesma forma que fizemos com integrais duplas (ou seja, de dentro para fora).
Avalie a integral tripla\int_{z=0}^{z=1} \int_{y=2}^{y=4} \int_{x=-1}^{x=5} (x + yz^2)\, dx \, dy \, dz. \nonumber
Solução
A ordem de integração é especificada no problema, então integre em relação ax primeiro, depois y e depoisz.
\begin{align*}&\int_{z=0}^{z=1} \int_{y=2}^{y=4} \int_{x=-1}^{x=5} (x + yz^2) \,dx \,dy \,dz \\ &= \int_{z=0}^{z=1} \int_{y=2}^{y=4} \left. \left[ \dfrac{x^2}{2} + xyz^2\right|_{x=-1}^{x=5}\right]\,dy \,dz &&\text{Integrate with respect to $x$.}\\ &= \int_{z=0}^{z=1} \int_{y=2}^{y=4} \left[12+6yz^2\right] \,dy \,dz &&\text{Evaluate.}\\ &= \int_{z=0}^{z=1} \left[ \left.12y+6\dfrac{y^2}{2}z^2 \right|_{y=2}^{y=4} \right] dz &&\text{Integrate with respect to $y$.} \\ &= \int_{z=0}^{z=1} [24+36z^2] \, dz &&\text{Evaluate.} \\ &= \left[ 24z+36\dfrac{z^3}{3} \right]_{z=0}^{z=1} &&\text{Integrate with respect to $z$.}\\ &=36. &&\text{Evaluate.}\end{align*}
Avalie a integral tripla
\iiint_B x^2 yz \,dV \nonumber
ondeB = \big\{(x,y,z)\,|\, - 2 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 3, \, 1 \leq z \leq 5 \big\} , conforme mostrado na Figura\PageIndex{2}.

Solução
A ordem não está especificada, mas podemos usar a integral iterada em qualquer ordem sem alterar o nível de dificuldade. Escolha, digamos, integrary primeirox, depois e depoisz.
\begin{align*}\iiint\limits_{B} x^2 yz \,dV &= \int_1^5 \int_{-2}^1 \int_0^3 [x^2 yz] \,dy \, dx \, dz \\&= \int_1^5 \int_{-2}^1 \left[ \left. x^2 \dfrac{y^3}{3} z\right|_0^3 \right] dx \, dz \\&= \int_1^5 \int_{-2}^1 \dfrac{y}{2} x^2 z \,dx \, dz \\&= \int_1^5 \left[ \left. \dfrac{9}{2} \dfrac{x^3}{3} z \right|_{-2}^1 \right] dz \\&= \int_1^5 \dfrac{27}{2} z \, dz \\&= \left. \dfrac{27}{2} \dfrac{z^2}{2} \right|_1^5 = 162.\end{align*}
Agora tente se integrar em uma ordem diferente apenas para ver se obtemos a mesma resposta. Opte por integrar em relação ax primeiro, depoisz, depoisy
\begin{align*}\iiint\limits_{B} x^2yz \,dV &= \int_0^3 \int_1^5 \int_{-2}^1 [x^2yz] \,dx\, dz\, dy \\&= \int_0^3 \int_1^5 \left[ \left. \dfrac{x^3}{3} yz \right|_{-2}^1 \right] dz \,dy \\&= \int_0^3 \int_1^5 3yz \; dz \,dy \\&= \int_0^3 \left.\left[ 3y\dfrac{z^2}{2} \right|_1^5 \right] \,dy \\&= \int_0^3 36y \; dy \\&= \left. 36\dfrac{y^2}{2} \right|_0^3 =18(9-0) =162.\end{align*}
Avalie a integral tripla
\iiint_B z \, \sin \, x \, \cos \, y \, dV\nonumber
ondeB = \big\{(x,y,z)\,|\,0 \leq x \leq \pi, \, \dfrac{3\pi}{2} \leq y \leq 2\pi, \, 1 \leq z \leq 3 \big\}.
- Dica
-
Siga as etapas no exemplo anterior.
- Responda
-
\iiint_B z \, \sin \, x \, \cos \, y \, dV = 8 \nonumber
A integral tripla de uma função contínuaf(x,y,z) sobre uma região tridimensional geral
E = \big\{(x,y,z)\,|\,(x,y) \in D, \, u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y) \big\} \nonumber
in\mathbb{R}^3, ondeD está aE projeção de noxy plano -, é
\iiint_E f(x,y,z) \,dV = \iint_D \left[\int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) \,dz \right] \, dA. \nonumber
Da mesma forma, podemos considerar uma região limitada geralD noxy plano -e duas funçõesy = u_1(x,z) ey = u_2(x,z) tal queu_1(x,z) \leq u_2(x,z) para todos(x,z) emD. Em seguida, podemos descrever aE região sólida\mathbb{R}^3 como
E = \big\{(x,y,z)\,|\,(x,z) \in D, \, u_1(x,z) \leq z \leq u_2(x,z) \big\} \nonumber ondeD está aE projeção de noxy plano -e a integral tripla é
\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iint_D \left[\int_{u_1(x,z)}^{u_2(x,z)} f(x,y,z) \,dy \right] \, dA. \nonumber
Finalmente, seD é uma região limitada geral noxy plano -e temos duas funçõesx = u_1(y,z) ex = u_2(y,z) tal que,u_1(y,z) \leq u_2(y,z) para todos(y,z) emD, então a região sólidaE em\mathbb{R}^3 pode ser descrita como
E = \big\{(x,y,z)\,|\,(y,z) \in D, \, u_1(y,z) \leq z \leq u_2(y,z) \big\} \nonumber ondeD está aE projeção de noxy plano -e a integral tripla é
\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iint_D \left[\int_{u_1(y,z)}^{u_2(y,z)} f(x,y,z) \, dx \right] \, dA. \nonumber
Observe que a regiãoD em qualquer um dos planos pode ser do Tipo I ou do Tipo II, conforme descrito anteriormente. SeD noxy plano -for do Tipo I (Figura\PageIndex{4}), então
E = \big\{(x,y,z)\,|\,a \leq x \leq b, \, g_1(x) \leq y \leq g_2(x), \, u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y) \big\}. \nonumber

Então, a integral tripla se torna
\iiint_E f(x,y,z) \,dV = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) \,dz \, dy \, dx. \nonumber
SeD noxy plano -for do Tipo II (Figura\PageIndex{5}), então
E = \big\{(x,y,z)\,|\,c \leq x \leq d, h_1(x) \leq y \leq h_2(x), \, u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y) \big\}. \nonumber

Então, a integral tripla se torna
\iiint_E f(x,y,z) \,dV = \int_{y=c}^{y=d} \int_{x=h_1(y)}^{x=h_2(y)} \int_{z=u_1(x,y)}^{z=u_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz \, dx \, dy. \nonumber
Avalie a integral tripla da funçãof(x,y,z) = 5x - 3y sobre o tetraedro sólido limitado pelos planosx = 0, \, y = 0, \, z = 0,x + y + z = 1 e.
Solução
A figura\PageIndex{6} mostra o tetraedro sólidoE e sua projeçãoD noxy plano.

Podemos descrever o tetraedro da região sólida como
E = \big\{(x,y,z)\,|\,0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1 - x, \, 0 \leq z \leq 1 - x - y \big\}. \nonumber
Portanto, a integral tripla é
\iiint_E f(x,y,z) \,dV = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x} \int_{z=0}^{z=1-x-y} (5x - 3y) \,dz \, dy \, dx. \nonumber
Para simplificar o cálculo, primeiro avalie a integral\displaystyle \int_{z=0}^{z=1-x-y} (5x - 3y) \,dz. Nós temos
\int_{z=0}^{z=1-x-y} (5x - 3y) \,dz = (5x - 3y)z \bigg|_{z=0}^{z=1-x-y} = (5x - 3y)(1 - x - y).\nonumber
Agora, avalie a integral
\int_{y=0}^{y=1-x} (5x - 3y)(1 - x - y) \,dy, \nonumber
obtenção
\int_{y=0}^{y=1-x} (5x - 3y)(1 - x - y)\,dy = \dfrac{1}{2}(x - 1)^2 (6x - 1).\nonumber
Finalmente avalie
\int_{x=0}^{x=1} \dfrac{1}{2}(x - 1)^2 (6x - 1)\,dx = \dfrac{1}{12}.\nonumber
Juntando tudo, temos
\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x} \int_{z=0}^{z=1-x-y}(5x - 3y)\,dz \, dy \, dx = \dfrac{1}{12}.\nonumber
Assim como usamos a integral dupla\iint_D 1 \,dA \nonumber para encontrar a área de uma região limitada geral,D podemos usar\iiint_E 1\,dV \nonumber para encontrar o volume de uma região geral limitada sólidaE. O exemplo a seguir ilustra o método.
Encontre o volume de uma pirâmide direita que tem a base quadrada noxy plano[-1,1] \times [-1,1] -e o vértice no ponto,(0, 0, 1) conforme mostrado na figura a seguir.

Solução
Nesta pirâmide, o valor dez muda de 0 para 1 e, em cada altura,z a seção transversal da pirâmide para qualquer valor dez é o quadrado.
[-1 + z, \, 1 - z] \times [-1 + z, \, 1 - z].\nonumber
Portanto, o volume da pirâmide é\iiint_E 1\,dV\nonumber onde
E = \big\{(x,y,z)\,|\,0 \leq z \leq 1, \, -1 + z \leq y \leq 1 - z, \, -1 + z \leq x \leq 1 - z \big\}.\nonumber
Assim, temos
\ [\ begin {align*}\ IIint_E 1\, dV &=\ int_ {z=0} ^ {z=1}\ int_ {y=-1+z} ^ {y=1-z}\ int_ {x=-1+z} ^ {x=1-z} 1\, dx\, dy\, dz\\ [5pt]
&=\ int_ {z_ =0} ^ {z=1}\ int_ {y=-1+z} ^ {y=1-z} (2 - 2z)\, dy\, dz\\ [5pt]
&=\ int_ {z=0} ^ {z=1} (2 - 2z) ^2\, dz =\ dfrac {4} {3}. \ end {align*}\]
Portanto, o volume da pirâmide é de unidades\dfrac{4}{3} cúbicas.
Considere a esfera sólidaE = \big\{(x,y,z)\,|\,x^2 + y^2 + z^2 = 9 \big\}. Escreva a integral tripla\iiint_E f(x,y,z) \,dV\nonumber para uma função arbitráriaf como uma integral iterada. Em seguida, avalie essa integral tripla comf(x,y,z) = 1. Observe que isso fornece o volume de uma esfera usando uma integral tripla.
- Dica
-
Siga as etapas no exemplo anterior. Use simetria.
- Responda
-
\begin{align*} \iiint_E 1\,dV = 8 \int_{x=-3}^{x=3} \int_{y=-\sqrt{9-z^2}}^{y=\sqrt{9-z^2}}\int_{z=-\sqrt{9-x^2-y^2}}^{z=\sqrt{9-x^2-y^2}} 1\,dz \, dy \, dx \\ = 36 \pi \,\text{cubic units}. \end{align*}
Alterando a ordem da integração
Como já vimos em integrais duplas sobre regiões limitadas gerais, a alteração da ordem da integração é feita com bastante frequência para simplificar o cálculo. Com uma integral tripla sobre uma caixa retangular, a ordem de integração não altera o nível de dificuldade do cálculo. No entanto, com uma integral tripla sobre uma região limitada geral, escolher uma ordem apropriada de integração pode simplificar um pouco o cálculo. Às vezes, fazer a alteração nas coordenadas polares também pode ser muito útil. Demonstramos dois exemplos aqui.
Considere a integral iterada
\int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=x^2} \int_{z=0}^{z=y} f(x,y,z)\,dz \, dy \, dx. \nonumber
A ordem de integração aqui é primeiro em relação a z, depois y e depois x. Expresse essa integral alterando a ordem de integração para ser a primeira em relação axz, depois e depoisy. Verifique se o valor da integral é o mesmo se deixarmosf (x,y,z) =xyz.
Solução
A melhor maneira de fazer isso é esboçar a regiãoE e suas projeções em cada um dos três planos coordenados. Assim, deixe
E = \big\{(x,y,z)\,|\,0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq x^2, \, 0 \leq z \leq y \big\}.\nonumber
e
\int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=x^2} \int_{z=0}^{z=x^2} f(x,y,z) \,dz \, dy \, dx = \iiint_E f(x,y,z)\,dV.\nonumber
Precisamos expressar essa integral tripla como
\int_{y=c}^{y=d} \int_{z=v_1(y)}^{z=v_2(y)} \int_{x=u_1(y,z)}^{x=u_2(y,z)} f(x,y,z)\,dx \, dz \, dy.\nonumber
Conhecendo a região,E podemos desenhar as seguintes projeções (Figura\PageIndex{8}):
noxy plano -éD_1 = \big\{(x,y)\,|\, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq x^2 \big\} = \{ (x,y) \,|\, 0 \leq y \leq 1, \, \sqrt{y} \leq x \leq 1 \big\},
noyz plano -éD_2 = \big\{(y,z) \,|\, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq y^2 \big\}, e
noxz plano -éD_3 = \big\{(x,z) \,|\, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq z \leq x^2 \big\}.

Agora podemos descrever aE mesma região que\big\{(x,y,z) \,|\, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq y^2, \, \sqrt{y} \leq x \leq 1 \big\}, e consequentemente, a integral tripla se torna
\int_{y=c}^{y=d} \int_{z=v_1(y)}^{z=v_2(y)} \int_{x=u_1(y,z)}^{x=u_2(y,z)} f(x,y,z)\,dx \, dz \, dy = \int_{y=0}^{y=1} \int_{z=0}^{z=x^2} \int_{x=\sqrt{y}}^{x=1} f(x,y,z)\,dx \, dz \, dy \nonumber
Agora, suponha quef (x,y,z) = xyz em cada uma das integrais. Então nós temos
\ [\ begin {align*}\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ int_ {y=0} ^ {y=x^2}\ int_ {z=0} ^ {z=y^2} xyz\, dz\, dy\, dx &=\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ int_ {y=0} ^ {x=1}\ int_ {y=0} ^ {y=0} x^2}\ esquerda. \ left [xy\ dfrac {z^2} {2}\ right|_ {z=0} ^ {z=y^2}\ direita]\, dy\, dx\\ [5pt]
&=\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ int_ {y=0} ^ {y=x^2}\ esquerda (x\ dfrac {y^5} {2}\ right) dy\, dx\\ [5pt]
&=\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ left. \ left [x\ dfrac {y^6} {12}\ right|_ {y=0} ^ {y=x^2}\ direita] dx\\ [5pt]
&=\ int_ {x=0} ^ {x=1}\ dfrac {x^ {13}} {12} dx =\ left. \ dfrac {x^ {14}} {168}\ right|_ {x=0} ^ {x=1}\\ [5pt]
&=\ dfrac {1} {168},\ end {align*}\]
\ [\ begin {align*}\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ int_ {z=0} ^ {z=y^2}\ int_ {x=\ sqrt {y}} ^ {x=1} xyz\, dx\, dz\, dy &=\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ int_ {z=0} ^ {z=y^2}\ esquerda. \ left [yz\ dfrac {x^2} {2}\ right|_ {\ sqrt {y}} ^ {1}\ direita] dz\, dy\\ [5pt]
&=\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ int_ {z=0} ^ {z=y^2}\ left (\ dfrac {yz} {2} -\ dfrac {y^2z} {2}\ direita) dz\, dy\\ [5pt]
&=\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ esquerda. \ left [\ dfrac {yz^2} {4} -\ dfrac {y^2z^2} {4}\ right|_ {z=0} ^ {z=y^2}\ direita] dy\\ [5pt]
&=\ int_ {y=0} ^ {y=1}\ left (\ dfrac {y^5} {4} -\ dfrac {y^5} {4} -\ dfrac {y^5} {4} -\ dfrac {y^5} {4} -\ dfrac c {y^6} {4}\ right) dy\\ [5pt]
&=\ left. \ left (\ dfrac {y^6} {24} -\ dfrac {y^7} {28}\ direita)\ right|_ {y=0} ^ {y=1}\\ [5pt]
&=\ dfrac {1} {168}. \ end {align*}\ nonumber\]
As respostas coincidem.
Escreva cinco integrais iteradas diferentes iguais à integral fornecida
\int_{z=0}^{z=4} \int_{y=0}^{y=4-z} \int_{x=0}^{x=\sqrt{y}} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz.\nonumber
- Dica
-
Siga as etapas do exemplo anterior, usando a regiãoE como \big\{(x,y,z) \,|\, 0 \leq z \leq 4, \, 0 \leq y \leq 4 - z, \, 0 \leq x \leq \sqrt{y} \big\}, e descreva e esboce as projeções em cada um dos três planos, cinco vezes diferentes.
- Responda
-
(i) \, \int_{z=0}^{z=4} \int_{x=0}^{x=\sqrt{4-z}} \int_{y=x^2}^{y=4-z} f(x,y,z) \, dy \, dx \, dz, \, (ii) \, \int_{y=0}^{y=4} \int_{z=0}^{z=4-y} \int_{x=0}^{x=\sqrt{y}} f(x,y,z) \,dx \, dz \, dy, \,(iii) \, \int_{y=0}^{y=4} \int_{x=0}^{x=\sqrt{y}} \int_{z=0}^{Z=4-y} f(x,y,z) \,dz \, dx \, dy, \, \nonumber
(iv) \, \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=x^2}^{y=4} \int_{z=0}^{z=4-y} f(x,y,z) \,dz \, dy \, dx, \, (v) \int_{x=0}^{x=2} \int_{z=0}^{z=4-x^2} \int_{y=x^2}^{y=4-z} f(x,y,z) \,dy \, dz \, dx \nonumber
Avalie a integral tripla
\iiint_{E} \sqrt{x^2 + z^2} \,dV, \nonumber
ondeE está a região delimitada pelo parabolóidey = x^2 + z^2 (Figura\PageIndex{9}) e pelo planoy = 4.

Solução
A projeção da região sólidaE noxy plano -é a região delimitada acimay = 4 e abaixo pela parábola,y = x^2 conforme mostrado.

Assim, temos
E = \big\{(x,y,z) \,|\, -2 \leq x \leq 2, \, x^2 \leq y \leq 4, \, -\sqrt{y - x^2} \leq z \sqrt{y - x^2} \big\}.\nonumber
A integral tripla se torna
\iiint_E \sqrt{x^2 + z^2} \,dV = \int_{x=-2}^{x=2} \int_{y=x^2}^{y=4} \int_{z=-\sqrt{y-x^2}}^{z=\sqrt{y-x^2}} \sqrt{x^2 + z^2} \,dz \, dy \, dx.\nonumber
Essa expressão é difícil de calcular, então considere aE projeção de noxz plano -. Este é um disco circularx^2 + z^2 \leq 4. Então, obtemos
\iiint_E \sqrt{x^2 + z^2} \,dV = \int_{x=-2}^{x=2} \int_{y=x^2}^{y=4} \int_{z=-\sqrt{y-x^2}}^{z=\sqrt{y-x^2}} \sqrt{x^2 + z^2} \,dz \, dy \, dx = \int_{x=-2}^{x=2} \int_{z=-\sqrt{4-x^2}}^{z=\sqrt{4-x^2}} \int_{y=x^2+z^2}^{y=4} \sqrt{x^2 + z^2} \,dy \, dz \, dx.\nonumber
Aqui, a ordem de integração muda de ser primeiro em relação az entãoy e depoisx para ser primeiro em relação ay depois paraz e depois parax. Em breve, ficará claro como essa mudança pode ser benéfica para a computação. Nós temos
\int_{x=-2}^{x=2} \int_{z=\sqrt{4-x^2}}^{z=\sqrt{4-x^2}} \int_{y=x^2+z^2}^{y=4} \sqrt{x^2 + z^2} \,dy \, dz \, dx = \int_{x=-2}^{x=2} \int_{z=-\sqrt{4-x^2}}^{z=\sqrt{4-x^2}} (4 - x^2 - z^2) \sqrt{x^2 + z^2} \,dz \, dx.\nonumber
Agora use a substituiçãox = r \, \cos \, \theta, \, z = r \, \sin \, \theta polar edz \, dx = r \, dr \, d\theta noxz plano -. Isso é essencialmente o mesmo de quando usamos coordenadas polares noxy plano -, exceto que estamos substituindoy porz. Consequentemente, os limites da integração mudam e temos, ao usarr^2 = x^2 + z^2,
\int_{x=-2}^{x=2} \int_{z=-\sqrt{4-x^2}}^{z=\sqrt{4-x^2}} (4 - x^2 - z^2) \sqrt{x^2 + z^2}\,dz \, dx = \int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} \int_{r=0}^{r=2} (4 - r^2) rr \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \left. \left[ \dfrac{4r^3}{3} - \dfrac{r^5}{5} \right|_0^2 \right] \, d\theta = \int_0^{2\pi} \dfrac{64}{15} \,d\theta = \dfrac{128\pi}{15}\nonumber
Valor médio de uma função de três variáveis
Lembre-se de que encontramos o valor médio de uma função de duas variáveis avaliando a integral dupla sobre uma região no plano e depois dividindo pela área da região. Da mesma forma, podemos encontrar o valor médio de uma função em três variáveis avaliando a integral tripla sobre uma região sólida e depois dividindo pelo volume do sólido.
Sef(x,y,z) for integrável em uma região limitada sólidaE com volume positivoV \, (E),, o valor médio da função é
f_{ave} = \dfrac{1}{V \, (E)} \iiint_E f(x,y,z) \, dV. \nonumber
Observe que o volume é
V \, (E) = \iiint_E 1 \,dV. \nonumber
A temperatura em um ponto(x,y,z) de um sólidoE limitado pelos planos de coordenadas e o planox + y + z = 1 éT(x,y,z) = (xy + 8z + 20) \, \text{°}\text{C} . Encontre a temperatura média sobre o sólido.
Solução
Use o teorema dado acima e a integral tripla para encontrar o numerador e o denominador. Então faça a divisão. Observe que o aviãox + y + z = 1 tem interceptações(1,0,0), \, (0,1,0),(0,0,1) e. A regiãoE parece
E = \big\{(x,y,z) \,|\, 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1 - x, \, 0 \leq z \leq 1 - x - y \big\}.\nonumber
Portanto, a integral tripla da temperatura é
\iiint_E f(x,y,z) \,dV = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x} \int_{z=0}^{z=1-x-y} (xy + 8z + 20) \, dz \, dy \, dx = \dfrac{147}{40}. \nonumber
A avaliação do volume é
V \, (E) = \iiint_E 1\,dV = \int_{x=0}^{x=1} \int_{y=0}^{y=1-x} \int_{z=0}^{z=1-x-y} 1 \,dz \, dy \, dx = \dfrac{1}{6}. \nonumber
Portanto, o valor médio é
T_{ave} = \dfrac{147/40}{1/6} = \dfrac{6(147)}{40} = \dfrac{441}{20} \, \text{°}\text{C} \nonumber .
Encontre o valor médio da funçãof(x,y,z) = xyz sobre o cubo com lados de comprimento de 4 unidades no primeiro octante com um vértice na origem e bordas paralelas aos eixos coordenados.
- Dica
-
Siga as etapas no exemplo anterior.
- Responda
-
f_{ave} = 8
Conceitos-chave
- Para calcular uma integral tripla, usamos o teorema de Fubini, que afirma que sef(x,y,z) é contínuo em uma caixa retangularB = [a,b] \times [c,d] \times [e,f], então\iiint_B f(x,y,z) \,dV = \int_e^f \int_c^d \int_a^b f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz \nonumber e também é igual a qualquer uma das outras cinco ordenações possíveis para a integral tripla iterada.
- Para calcular o volume de uma região limitada sólida geral,E usamos a integral tripla.V \, (E) = \iiint_E 1 \,dV. \nonumber
- A troca da ordem das integrais iteradas não altera a resposta. De fato, trocar a ordem de integração pode ajudar a simplificar a computação.
- Para calcular o valor médio de uma função sobre uma região tridimensional geral, usamosf_{ave} = \dfrac{1}{V \, (E)} \iiint_E f(x,y,z) \,dV. \nonumber
Equações-chave
- Integral triplo
\lim_{l,m,n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^l \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \,\Delta x \Delta y \Delta z = \iiint_B f(x,y,z) \,dV \nonumber
Glossário
- integral triplo
- a integral tripla de uma função contínuaf(x,y,z) sobre uma caixa sólida retangularB é o limite de uma soma de Riemann para uma função de três variáveis, se esse limite existir
Integrais triplos em uma região delimitada geral
Agora expandimos a definição da integral tripla para calcular uma integral tripla sobre uma região limitada mais geralE em\mathbb{R}^3. As regiões delimitadas gerais que consideraremos são de três tipos. Primeiro,D seja a região limitada que é umaE projeçãoxy de no plano. Suponha que a regiãoE em\mathbb{R}^3 tenha a forma
E = \big\{(x,y,z)\,|\,(x,y) \in D, u_1(x,y) \leq z \leq u_2(x,y) \big\}. \nonumber
Para duas funçõesz = u_1(x,y) eu_2(x,y), de forma queu_1(x,y) \leq u_2(x,y) para todos(x,y),D conforme mostrado na figura a seguir.