14.9: Capítulo 14 Exercícios de revisão

Last updated
Save as PDF

Page ID: 187939

Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
OpenStax

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Para os exercícios a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta com uma prova ou um contra-exemplo.

1. O domínio de$f(x,y)=x^3\arcsin(y)$ é$ \big\{ (x,y) \, | \, x \in \mathbb R\text{ and }−\pi≤y≤\pi \big\}.$

2. Se a função$f(x,y)$ for contínua em todos os lugares, então$f_{xy}(x,y) =f_{yx}(x,y).$

Resposta: É verdade, pelo teorema de Clairaut

3. A aproximação linear da função de$f(x,y)=5x^2+x\tan y$ no ponto$(2,π)$ é dada por$L(x,y)=22+21(x−2)+(y−π).$

4. $(34,916)$é um ponto crítico da$g(x,y)=4x^3−2x^2y+y^2−2.$

Resposta: Falso

Para os exercícios a seguir, esboce a função em um gráfico e, em um segundo, desenhe várias curvas de nível.

5. $f(x,y)=e^{−\left(x^2+2y^2\right)}$

6. $f(x,y)=x+4y^2$

Resposta: $Gráfico de contorno para a função z = x + 4y^2$

Para os exercícios a seguir, avalie os limites a seguir, se existirem. Se eles não existirem, prove isso.

7. $\displaystyle \lim_{(x,y)→(1,1)}\frac{4xy}{x−2y^2}$

8. $\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{4xy}{x−2y^2}$

Resposta: Não existe.

Para os exercícios a seguir, encontre o maior intervalo de continuidade para a função.

9. $f(x,y)=x^3\arcsin y$

10. $g(x,y)=\ln(4−x^2−y^2)$

Resposta: Contínuo em todos os pontos do$xy$ plano -, exceto onde$x^2 + y^2 > 4.$

Para os exercícios a seguir, encontre todas as primeiras derivadas parciais.

11. $f(x,y)=x^2−y^2$

12. $u(x,y)=x^4−3xy+1,$com$x=2t$ e$y=t^3$

Resposta: $\dfrac{∂u}{∂x}=4x^3−3y,$

$ \dfrac{∂u}{∂y}=−3x,$

$\dfrac{dx}{dt} = 2$e$\dfrac{dy}{dt} = 3t^2$

\ (\ begin {align*}\ dfrac {du} {dt} &=\ dfrac {u} {x}\ cdot\ dfrac {dx} {dt} +\ dfrac {u} {y}\ cdot\ dfrac {dy} {dt}\\ [4pt]
&= 8x^3 -6y -9xt^2\\ [4pt]
&= 8\ grande (2t\ grande) ^3 - 6 (t^3) - 9 (2t) t^2\\ [4pt]
&= 64t^3 - 6t^3 - 18t^3\\ [4pt]
&= 40t^3\ end {alinhamento*}\)

Para os exercícios a seguir, encontre todas as derivadas parciais secundárias.

13. $g(t,x)=3t^2−\sin(x+t)$

14. $h(x,y,z)=\dfrac{x^3e^{2y}}{z}$

Resposta: $h_{xx}(x,y,z) = \dfrac{6xe^{2y}}{z},$
$h_{xy}(x,y,z) = \dfrac{6x^2e^{2y}}{z},$
$h_{xz}(x,y,z) = −\dfrac{3x^2e^{2y}}{z^2},$
$h_{yx}(x,y,z) = \dfrac{6x^2e^{2y}}{z},$
$h_{yy}(x,y,z) = \dfrac{4x^3e^{2y}}{z},$
$h_{yz}(x,y,z) = −\dfrac{2x^3e^{2y}}{z^2},$
$h_{zx}(x,y,z) = −\dfrac{3x^2e^{2y}}{z^2},$
$h_{zy}(x,y,z) = −\dfrac{2x^3e^{2y}}{z^2},$
$h_{zz}(x,y,z) = \dfrac{2x^3e^{2y}}{z^3}$

Para os exercícios a seguir, encontre a equação do plano tangente à superfície especificada no ponto dado.

15. $z=x^3−2y^2+y−1$no ponto$(1,1,−1)$

16. $z=e^x+\dfrac{2}{y}$no ponto$(0,1,3)$

Resposta: $z = x - 2y + 5$

17. Aproximado$f(x,y)=e^{x^2}+\sqrt{y}$ em$(0.1,9.1).$ Anote sua função de aproximação linear$L(x,y).$ Quão precisa é a aproximação da resposta exata, arredondada para quatro dígitos?

18. Encontre o diferencial$dz$$h(x,y)=4x^2+2xy−3y$ e o aproximado$Δz$ no ponto$(1,−2).$ Let$Δx=0.1$ e$Δy=0.01.$

Responda: $dz=4\,dx−dy, \; dz(0.1,0.01)=0.39, \; Δz = 0.432$

19. Encontre a derivada direcional de$f(x,y)=x^2+6xy−y^2$ na direção$\vecs v=\mathbf{\hat i}+4\,\mathbf{\hat j}.$

20. Encontre a magnitude e a direção máximas da derivada direcional para a função$f(x,y)=x^3+2xy−\cos(πy)$ no ponto$(3,0).$

Responda: $3\sqrt{85}\langle 27, 6\rangle$

Para os exercícios a seguir, encontre o gradiente.

21. $c(x,t)=e(t−x)^2+3\cos t$

22. $f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x}+y^2}{xy}$

Responda: $\vecs \nabla f(x, y) = -\dfrac{\sqrt{x}+2y^2}{2x^2y}\,\mathbf{\hat i} + \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}y^2} \right) \,\mathbf{\hat j}$

Para o exercício a seguir, encontre e classifique os pontos críticos.

23. $z=x^3−xy+y^2−1$

Para os exercícios a seguir, use multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo para as funções com as restrições fornecidas.

24. $f(x,y)=x^2y,$sujeito à restrição:$x^2+y^2=4$

Responda: máximo:$\dfrac{16}{3\sqrt{3}},$ mínimo:$-\dfrac{16}{3\sqrt{3}},$

25. $f(x,y)=x^2−y^2,$sujeito à restrição:$x+6y=4$

26. Um maquinista está construindo um cone circular reto a partir de um bloco de alumínio. A máquina apresenta um erro$5\%$ de altura e$2\%$ raio. Encontre o erro máximo no volume do cone se o maquinista criar um cone de altura$6$ cm e raio$2$ cm.

Responda: $2.3228$cm ³

27. Um compactador de lixo tem a forma de um cubóide. Suponha que o compactador de lixo esteja cheio de líquido incompressível. O comprimento e a largura estão diminuindo a taxas de$2$ pés/seg e$3$ pés/seg, respectivamente. Encontre a taxa na qual o nível do líquido está subindo quando o comprimento é$14$ pés, a largura é$10$ pés e a altura é$4$ pés.