14: Diferenciação de funções de várias variáveis
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Ao lidar com uma função de mais de uma variável independente, várias questões surgem naturalmente. Por exemplo, como calculamos os limites das funções de mais de uma variável? A definição de derivada que usamos antes envolvia um limite. A nova definição de derivada também envolve limites? As regras de diferenciação se aplicam nesse contexto? Podemos encontrar a extremidade relativa das funções usando derivadas? Todas essas perguntas são respondidas neste capítulo.
- 14.0: Prelúdio para a diferenciação de funções de várias variáveis
- Suponha, no entanto, que tenhamos uma quantidade que depende de mais de uma variável. Por exemplo, a temperatura pode depender da localização e da hora do dia, ou o modelo de lucro de uma empresa pode depender do número de unidades vendidas e da quantidade de dinheiro gasto em publicidade. Dependendo da natureza das restrições, tanto o método de solução quanto a própria solução mudam.
- 14.1: Funções de várias variáveis
- Nosso primeiro passo é explicar o que é uma função de mais de uma variável, começando com funções de duas variáveis independentes. Essa etapa inclui identificar o domínio e a variedade dessas funções e aprender a representá-las graficamente. Também examinamos maneiras de relacionar os gráficos de funções em três dimensões com gráficos de funções planares mais familiares.
- 14.2: Limites e continuidade
- Agora examinamos as funções de mais de uma variável e vimos como representá-las graficamente. Nesta seção, vemos como calcular o limite de uma função de mais de uma variável e o que significa que uma função de mais de uma variável seja contínua em um ponto de seu domínio. Acontece que esses conceitos têm aspectos que simplesmente não ocorrem com funções de uma variável.
- 14.3: Derivadas parciais
- Encontrar derivadas de funções de duas variáveis é o conceito-chave neste capítulo, com tantas aplicações em matemática, ciências e engenharia quanto a diferenciação de funções de variável única. No entanto, já vimos que os limites e a continuidade das funções multivariáveis têm novos problemas e exigem novas terminologias e ideias para lidar com eles. Isso também se transforma em diferenciação.
- 14.4: Planos tangentes e aproximações lineares
- Nesta seção, consideramos o problema de encontrar o plano tangente a uma superfície, que é análogo a encontrar a equação de uma reta tangente a uma curva quando a curva é definida pelo gráfico de uma função de uma variável, y=f (x). A inclinação da reta tangente no ponto x=ax=a é dada por m=f' (a); qual é a inclinação de um plano tangente? Aprendemos sobre a equação de um plano em Equações de Linhas e Planos no Espaço; nesta seção, vemos como ela pode ser aplicada ao problema em questão.
- 14.5: A regra da cadeia para funções multivariáveis
- No cálculo de variável única, descobrimos que uma das regras de diferenciação mais úteis é a regra da cadeia, que nos permite encontrar a derivada da composição de duas funções. O mesmo vale para o cálculo multivariável, mas desta vez temos que lidar com mais de uma forma da regra da cadeia. Nesta seção, estudamos extensões da regra da cadeia e aprendemos como obter derivadas de composições de funções de mais de uma variável.
- 14.6: Derivadas direcionais e o gradiente
- Uma função\(z=f(x,y)\) tem duas derivadas parciais:\(∂z/∂x\)\(∂z/∂y\) e. Essas derivadas correspondem a cada uma das variáveis independentes e podem ser interpretadas como taxas instantâneas de mudança (ou seja, como inclinações de uma reta tangente). Da mesma forma,\(∂z/∂y\) representa a inclinação da reta tangente paralela ao eixo y. Agora, consideramos a possibilidade de uma reta tangente paralela a nenhum dos eixos.
- 14.8: Multiplicadores de Lagrange
- Resolver problemas de otimização para funções de duas ou mais variáveis pode ser semelhante a resolver esses problemas no cálculo de variável única. No entanto, técnicas para lidar com várias variáveis nos permitem resolver problemas de otimização mais variados para os quais precisamos lidar com condições ou restrições adicionais. Nesta seção, examinamos um dos métodos mais comuns e úteis para resolver problemas de otimização com restrições.
Miniatura: função real de duas variáveis reais. (Domínio público; Maschen).