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14.0: Prelúdio para a diferenciação de funções de várias variáveis

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Em Introdução às Aplicações de Derivadas, estudamos como determinar o máximo e o mínimo de uma função de uma variável em um intervalo fechado. Essa função pode representar a temperatura em um determinado intervalo de tempo, a posição de um carro em função do tempo ou a altitude de um avião a jato enquanto ele viaja de Nova York a São Francisco. Em cada um desses exemplos, a função tem uma variável independente.

    Uma foto de muitas bolas de golfe.
    Figura\(\PageIndex{1}\): Os americanos usam (e perdem) milhões de bolas de golfe por ano, o que mantém os fabricantes de bolas de golfe em atividade. Neste capítulo, estudamos um modelo de lucro e aprendemos métodos para calcular os níveis de produção ideais para uma empresa típica de fabricação de bolas de golfe. (crédito: modificação do trabalho por oatsy40, Flickr)

    Suponha, no entanto, que tenhamos uma quantidade que depende de mais de uma variável. Por exemplo, a temperatura pode depender da localização e da hora do dia, ou o modelo de lucro de uma empresa pode depender do número de unidades vendidas e da quantidade de dinheiro gasto em publicidade. Neste capítulo, examinamos uma empresa que produz bolas de golfe. Desenvolvemos um modelo de lucro e, sob várias restrições, descobrimos que o nível ideal de produção e publicidade gastos determina o lucro máximo possível. Dependendo da natureza das restrições, tanto o método de solução quanto a própria solução mudam.

    Ao lidar com uma função de mais de uma variável independente, várias questões surgem naturalmente. Por exemplo, como calculamos os limites das funções de mais de uma variável? A definição de derivada que usamos antes envolvia um limite. A nova definição de derivada também envolve limites? As regras de diferenciação se aplicam nesse contexto? Podemos encontrar a extremidade relativa das funções usando derivadas? Todas essas perguntas são respondidas neste capítulo.