16.7E: Exercícios para a Seção 16.7

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Nos exercícios 1 a 6, sem usar o teorema de Stokes, calcule diretamente o fluxo de$curl \, \vecs F \cdot \vecs N$ sobre a superfície dada e a integral de circulação em torno de seu limite, assumindo que todos estão orientados no sentido horário.

1. $\vecs F(x,y,z) = y^2\,\mathbf{\hat i} + z^2\,\mathbf{\hat j} + x^2\,\mathbf{\hat k}$;$S$ é a primeira porção octante do plano$x + y + z = 1$.

2. $\vecs F(x,y,z) = z\,\mathbf{\hat i} + x\,\mathbf{\hat j} + y\,\mathbf{\hat k}$;$S$ é hemisfério$z = (a^2 - x^2 - y^2)^{1/2}$.

Resposta: $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS = \pi a^2$

3. $\vecs F(x,y,z) = y^2\,\mathbf{\hat i} + 2x\,\mathbf{\hat j} + 5\,\mathbf{\hat k}$;$S$ é hemisfério$z = (4 - x^2 - y^2)^{1/2}$.

4. $\vecs F(x,y,z) = z\,\mathbf{\hat i} + 2x\,\mathbf{\hat j} + 3y\,\mathbf{\hat k}$;$S$ é o hemisfério superior$z = \sqrt{9 - x^2 - y^2}$.

Resposta: $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS = 18 \pi$

5. $\vecs F(x,y,z) = (x + 2z)\,\mathbf{\hat i} + (y - x)\,\mathbf{\hat j} + (z - y)\,\mathbf{\hat k}$;$S$ é uma região triangular com vértices$(3, 0, 0), \, (0, 3/2, 0),$ e$(0, 0, 3).$

6. $\vecs F(x,y,z) = 2y\,\mathbf{\hat i} + 6z\,\mathbf{\hat j} + 3x\,\mathbf{\hat k}$;$S$ é uma porção do parabolóide$z = 4 - x^2 - y^2$ e está acima do$xy$ plano.

Resposta: $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS = -8 \pi$

Nos exercícios 7 a 9, use o teorema de Stokes$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS$ para avaliar os campos vetoriais e a superfície.

7. $\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} - z\,\mathbf{\hat j}$e$S$ é a superfície do cubo$0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq 1$, exceto pela face onde$z = 0$ e usando a unidade externa do vetor normal.

8. $\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} + x^2 \,\mathbf{\hat j} + z^2 \,\mathbf{\hat k}$; e$C$ é a interseção do parabolóide$z = x^2 + y^2$ com o plano$z = y$, usando o vetor normal externo.

Resposta: $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS = 0$

9. $\vecs F(x,y,z) = 4y\,\mathbf{\hat i} + z \,\mathbf{\hat j} + 2y \,\mathbf{\hat k}$; e$C$ é a interseção da esfera$x^2 + y^2 + z^2 = 4$ com o plano$z = 0$ e usando o vetor normal externo.

10. Use o teorema de Stokes para avaliar$\displaystyle \int_C \big[2xy^2z \, dx + 2x^2yz \, dy + (x^2y^2 - 2z) \, dz\big],$ onde$C$ está a curva dada por$x = \cos t, \, y = \sin t, \, 0 \leq t \leq 2\pi$, percorrida na direção do aumento$t.$

$Um campo vetorial no espaço tridimensional. As setas são maiores quanto mais distantes estão do plano x, y. As setas se curvam abaixo do plano x, y e ligeiramente acima dele. O resto tende a se curvar para baixo e horizontalmente. Uma curva oval é desenhada no meio do espaço.$

Resposta: $\displaystyle \int_C \vecs F \cdot dS = 0$

11. [T] Use a computer algebraic system (CAS) and Stokes’ theorem to approximate line integral $\displaystyle \int_C (y \, dx + z \, dy + x \, dz),$ where $C$ is the intersection of plane $x + y = 2$ and surface $x^2 + y^2 + z^2 = 2(x + y)$, traversed counterclockwise viewed from the origin.

12. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to approximate line integral $\displaystyle \int_C (3y\, dx + 2z \, dy - 5x \, dz),$ where $C$ is the intersection of the $xy$-plane and hemisphere $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$, traversed counterclockwise viewed from the top—that is, from the positive $z$-axis toward the $xy$-plane.

Answer: $\displaystyle \int_C \vecs F \cdot dS = - 9.4248$

13. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to approximate line integral $\displaystyle \int_C [(1 + y) \, z \, dx + (1 + z) x \, dy + (1 + x) y \, dz],$ where $C$ is a triangle with vertices $(1,0,0), \, (0,1,0)$, and $(0,0,1)$ oriented counterclockwise.

14. Use Stokes’ theorem to evaluate $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = e^{xy} cos \, z\,\mathbf{\hat i} + x^2 z\,\mathbf{\hat j} + xy\,\mathbf{\hat k}$, and $S$ is half of sphere $x = \sqrt{1 - y^2 - z^2}$, oriented out toward the positive $x$-axis.

Answer: $\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot dS = 0$

15. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to evaluate $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) \, dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = x^2 y\,\mathbf{\hat i} + xy^2 \,\mathbf{\hat j} + z^3 \,\mathbf{\hat k}$ and $C$ is the curve of the intersection of plane $3x + 2y + z = 6$ and cylinder $x^2 + y^2 = 4$, oriented clockwise when viewed from above.

16. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to evaluate $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = \left( \sin(y + z) - yx^2 - \dfrac{y^3}{3}\right)\,\mathbf{\hat i} + x \, \cos (y + z) \,\mathbf{\hat j} + \cos (2y) \,\mathbf{\hat k}$ and $S$ consists of the top and the four sides but not the bottom of the cube with vertices $(\pm 1, \, \pm1, \, \pm1)$, oriented outward.

Answer: $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS = 2.6667$

17. [T] Use a CAS and Stokes’ theorem to evaluate $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = z^2\,\mathbf{\hat i} + 3xy\,\mathbf{\hat j} + x^3y^3\,\mathbf{\hat k}$ and $S$ is the top part of $z = 5 - x^2 - y^2$ above plane $z = 1$ and $S$ is oriented upward.

18. Use Stokes’ theorem to evaluate $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) dS,$ where $\vecs F(x,y,z) = z^2\,\mathbf{\hat i} + y^2\,\mathbf{\hat j} + x\,\mathbf{\hat k}$ and $S$ is a triangle with vertices $(1, 0, 0), \, (0, 1, 0)$ and $(0, 0, 1)$ with counterclockwise orientation.

Answer: $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N)dS = -\dfrac{1}{6}$

19. Use Stokes’ theorem to evaluate line integral $\displaystyle \int_C (z \, dx + x \, dy + y \, dz),$ where $C$ is a triangle with vertices $(3, 0, 0), \, (0, 0, 2),$ and $(0, 6, 0)$ traversed in the given order.

20. Use Stokes’ theorem to evaluate $\displaystyle \int_C \left(\dfrac{1}{2} y^2 \, dx + z \, dy + x \, dz \right),$ where $C$ is the curve of intersection of plane $x + z = 1$ and ellipsoid $x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$, oriented clockwise from the origin.

$A diagram of an intersecting plane and ellipsoid in three dimensional space. There is an orange curve drawn to show the intersection.$

Resposta: $\displaystyle \int_C \left(\dfrac{1}{2} y^2 \, dx + z \, dy + x \, dz \right) = - \dfrac{\pi}{4}$

21. Use o teorema de Stokes para avaliar$\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N) dS,$ onde$\vecs F(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i} + y^2\,\mathbf{\hat j} + ze^{xy}\,\mathbf{\hat k}$ e$S$ é a parte da superfície$z = 1 - x^2 - 2y^2$ com$z \geq 0$, orientada no sentido anti-horário.

22. Use o teorema de Stokes para campo vetorial$\vecs F(x,y,z) = z\,\mathbf{\hat i} + 3x\,\mathbf{\hat j} + 2z\,\mathbf{\hat k}$ onde$S$$C$ é superfície$z = 1 - x^2 - 2y^2, \, z \geq 0$$x^2 + y^2 = 1$, é círculo limite e$S$ é orientado na$z$ direção positiva.

Resposta: $\displaystyle \iint_S (curl \, \vecs F \cdot \vecs N)dS = -3\pi$

23. Use o teorema de Stokes para campo vetorial$\vecs F(x,y,z) = - \dfrac{3}{2} y^2\,\mathbf{\hat i} - 2 xy\,\mathbf{\hat j} + yz\,\mathbf{\hat k}$, onde$S$ é a parte da superfície do plano$x + y + z = 1$ contida dentro de um triângulo$C$ com vértices$(1, 0, 0), \, (0, 1, 0),$ e$(0, 0, 1),$ percorrida no sentido anti-horário, conforme visto de cima.

24. $2x + 2y + z = 1$Sabe-se que um certo caminho fechado$C$ no plano se projeta$x^2 + y^2 = 1$ em um círculo unitário no$xy$ plano. $C$Seja uma constante e deixe$\vecs R(x,y,z) = x\,\mathbf{\hat i} + y\,\mathbf{\hat j} + z\,\mathbf{\hat k}$. Use o teorema de Stokes para avaliar$\displaystyle \int_C(c \,\mathbf{\hat k} \times \vecs R) \cdot dS.$

Resposta: $\displaystyle \int_C (c \,\mathbf{\hat k} \times \vecs R) \cdot dS = 2\pi c$

25. Use o teorema de Stokes e$C$ seja o limite da superfície$z = x^2 + y^2$ com$0 \leq x \leq 2$ e$0 \leq y \leq 1$ orientado com o normal voltado para cima. Defina$\vecs F(x,y,z) = \big(\sin (x^3) + xz\big) \,\mathbf{\hat i} + (x - yz)\,\mathbf{\hat j} + \cos (z^4) \,\mathbf{\hat k}$ e avalie$\int_C \vecs F \cdot dS$.

26. $S$Seja o hemisfério$x^2 + y^2 + z^2 = 4$ com$z \geq 0$, orientado para cima. $\vecs F(x,y,z) = x^2 e^{yz}\,\mathbf{\hat i} + y^2 e^{xz} \,\mathbf{\hat j} + z^2 e^{xy}\,\mathbf{\hat k}$Seja um campo vetorial. Use o teorema de Stokes para avaliar$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS.$

Resposta: $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS = 0$

27. $S$Seja$\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} + (e^{z^2} + y)\,\mathbf{\hat j} + (x + y)\,\mathbf{\hat k}$ e seja o gráfico da função$y = \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{z^2}{9} - 1$ com$z \leq 0$ orientação para que o vetor normal$S$ tenha um componente y positivo. Use o teorema de Stokes para calcular integral$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS.$

28. Use o teorema de Stokes para avaliar$\displaystyle \oint \vecs F \cdot dS,$ onde$\vecs F(x,y,z) = y\,\mathbf{\hat i} + z\,\mathbf{\hat j} + x\,\mathbf{\hat k}$ e$C$ está um triângulo com vértices$(0, 0, 0), \, (2, 0, 0)$ e$0,-2,2)$ orientado no sentido anti-horário quando visto de cima.

Resposta: $\displaystyle \oint \vecs F \cdot dS = -4$

29. Use a integral da superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo$\vecs F,$$\vecs F(x,y,z) = x^2y^3 \,\mathbf{\hat i} + \,\mathbf{\hat j} + z\,\mathbf{\hat k}$ em torno da$C,$ qual está a interseção do cilindro$x^2 + y^2 = 4$ e do hemisfério$x^2 + y^2 + z^2 = 16, \, z \geq 0$, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

$Um diagrama em três dimensões de um campo vetorial e a interseção de um cilindro e um hemisfério. As setas são horizontais e têm componentes x negativos para componentes y negativos e componentes x positivos para componentes y positivos. A curva de interseção entre o hemisfério e o cilindro é desenhada em azul.$

30. Use o teorema de Stokes para calcular$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS.$ where $\vecs F(x,y,z) = \,\mathbf{\hat i} + xy^2\,\mathbf{\hat j} + xy^2 \,\mathbf{\hat k}$ and $S$ is a part of plane $y + z = 2$ inside cylinder $x^2 + y^2 = 1$ and oriented counterclockwise.

$A diagram of a vector field in three dimensional space showing the intersection of a plane and a cylinder. The curve where the plane and cylinder intersect is drawn in blue.$

Resposta: $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS = 0$

31. Use o teorema de Stokes para avaliar$\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS,$ onde$\vecs F(x,y,z) = -y^2 \,\mathbf{\hat i} + x\,\mathbf{\hat j} + z^2\,\mathbf{\hat k}$ e$S$ é a parte do plano$x + y + z = 1$ no octante positivo e orientado no sentido anti-horário$x \geq 0, \, y \geq 0, \, z \geq 0$.

32. Seja$\vecs F(x,y,z) = xy\,\mathbf{\hat i} + 2z\,\mathbf{\hat j} - 2y\,\mathbf{\hat k}$ e deixe$C$ ser a interseção do plano$x + z = 5$ e do cilindro$x^2 + y^2 = 9$, que é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Calcule a integral da linha de$\vecs F$ over$C$ usando o teorema de Stokes.

Resposta: $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot dS = -36 \pi$

33. [T] Use um CAS e deixe$\vecs F(x,y,z) = xy^2\,\mathbf{\hat i} + (yz - x)\,\mathbf{\hat j} + e^{yxz}\,\mathbf{\hat k}$. Use o teorema de Stokes para calcular a integral da superfície da curvatura$\vecs F$ sobre a superfície$S$ com orientação interna consistindo em um cubo$[0,1] \times [0,1] \times [0,1]$ com o lado direito ausente.

34. $S$Seja$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} + z^2 = 1$ orientado por elipsoides no sentido anti-horário e$\vecs F$ seja um campo vetorial com funções componentes que tenham derivadas parciais contínuas.

Resposta: $\displaystyle \iint_S curl \, \vecs F \cdot \vecs N = 0$

35. $S$Seja a parte do parabolóide$z = 9 - x^2 - y^2$ com$z \geq 0$. Verifique o teorema de Stokes para o campo vetorial$\vecs F(x,y,z) = 3z\,\mathbf{\hat i} + 4x\,\mathbf{\hat j} + 2y\,\mathbf{\hat k}$.

36. [T] Use um teorema de CAS e Stokes para avaliar$\displaystyle \oint \vecs F \cdot dS,$ se$\vecs F(x,y,z) = (3z - \sin x) \,\mathbf{\hat i} + (x^2 + e^y) \,\mathbf{\hat j} + (y^3 - \cos z) \,\mathbf{\hat k}$, onde$C$ está a curva dada por$x = \cos t, \, y = \sin t, \, z = 1; \, 0 \leq t \leq 2\pi$.

Resposta: $\displaystyle \oint_C \vecs F \cdot d\vecs{r} = 0$

37. [T] Use um teorema de CAS e Stokes para avaliar$\vecs F(x,y,z) = 2y\,\mathbf{\hat i} + e^z\,\mathbf{\hat j} - \arctan x \,\mathbf{\hat k}$ com$S$ como uma porção do parabolóide$z = 4 - x^2 - y^2$ cortada pelo$xy$ plano -orientado no sentido anti-horário.

38. [T] Use um CAS para avaliar parametricamente por$\displaystyle \iint_S curl (F) \cdot dS,$ onde$\vecs F(x,y,z) = 2z\,\mathbf{\hat i} + 3x\,\mathbf{\hat j} + 5y\,\mathbf{\hat k}$ e$S$ é a superfície$\vecs r(r,\theta) = r \, \cos \theta \,\mathbf{\hat i} + r \, \sin \theta \,\mathbf{\hat j} + (4 - r^2) \,\mathbf{\hat k} \, (0 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq r \leq 3)$.

Resposta: $\displaystyle \iint_S curl (F) \cdot dS = 84.8230$

39. $S$Seja parabolóide$z = a (1 - x^2 - y^2)$, pois$z \geq 0$, onde$a > 0$ está um número real. Deixe$\vecs F(x,y,z) = \langle x - y, \, y + z, \, z - x \rangle$. Para que valor (es) de$a$ (se houver)$\displaystyle \iint_S (\vecs \nabla \times \vecs F) \cdot \vecs n \, dS$ tem seu valor máximo?

Para os exercícios de aplicação 40 a 41, o objetivo é avaliar$\displaystyle A = \iint_S (\vecs \nabla \times \vecs F) \cdot \vecs n \, dS,$ onde$\vecs F = \langle xz, \, -xz, \, xy \rangle$ e$S$ está a metade superior do elipsoide$x^2 + y^2 + 8z^2 = 1$, onde$z \geq 0$.

40. Avalie uma integral de superfície sobre uma superfície mais conveniente para encontrar o valor de$A.$

Resposta: $\displaystyle A = \iint_S (\vecs \nabla \times \vecs F) \cdot \vecs n \, dS = 0$

41. Avalie$A$ usando uma integral de linha.

42. Pegue o parabolóide$z = x^2 + y^2$$0 \leq z \leq 4$, para e corte-o com avião$y = 0$. $S$Seja a superfície que permanece por$y \geq 0$, incluindo a superfície plana no$xz$ plano. $C$Seja o semicírculo e o segmento de linha que delimitavam a tampa do$S$ plano$z = 4$ com orientação anti-horária. Deixe$\vecs F = \langle 2z + y, \, 2x + z, \, 2y + x \rangle$. Avalie$\displaystyle \iint_S (\vecs \nabla \times \vecs F) \cdot \vecs n \, dS.$

$Um diagrama de um campo vetorial no espaço tridimensional onde um parabolóide com vértice na origem, plano em y=0 e plano em z=4 se cruzam. A superfície restante é a metade de um parabolóide abaixo de z=4 e acima de y=0.$

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