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16.6: Integrais de superfície

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objetivos de
  • Encontre as representações paramétricas de um cilindro, um cone e uma esfera.
  • Descreva a integral da superfície de uma função de valor escalar sobre uma superfície paramétrica.
  • Use uma integral de superfície para calcular a área de uma determinada superfície.
  • Explique o significado de uma superfície orientada, dando um exemplo.
  • Descreva a integral da superfície de um campo vetorial.
  • Use integrais de superfície para resolver problemas aplicados.

Vimos que uma integral de linha é uma integral sobre um caminho em um plano ou no espaço. No entanto, se quisermos nos integrar sobre uma superfície (um objeto bidimensional) em vez de um caminho (um objeto unidimensional) no espaço, precisamos de um novo tipo de integral que possa lidar com a integração de objetos em dimensões mais altas. Podemos estender o conceito de uma integral de linha para uma integral de superfície para nos permitir realizar essa integração.

Integrais de superfície são importantes pelos mesmos motivos que integrais de linha. Eles têm muitas aplicações em física e engenharia e nos permitem desenvolver versões de maior dimensão do Teorema Fundamental do Cálculo. Em particular, integrais de superfície nos permitem generalizar o teorema de Green para dimensões mais altas, e elas aparecem em alguns teoremas importantes que discutimos em seções posteriores.

Superfícies paramétricas

Uma integral de superfície é semelhante a uma integral de linha, exceto que a integração é feita sobre uma superfície em vez de um caminho. Nesse sentido, integrais de superfície expandem nosso estudo de integrais de linha. Assim como com integrais de linha, existem dois tipos de integrais de superfície: uma integral de superfície de uma função de valor escalar e uma integral de superfície de um campo vetorial.

No entanto, antes de podermos nos integrar sobre uma superfície, precisamos considerar a superfície em si. Lembre-se de que, para calcular uma integral de linha escalar ou vetorial sobre a curvaC, primeiro precisamos parametrizarC. De forma semelhante, para calcular uma superfície integral sobre a superfícieS, precisamos parametrizarS. Ou seja, precisamos de um conceito funcional de uma superfície parametrizada (ou superfície paramétrica), da mesma forma que já temos um conceito de curva parametrizada.

Uma superfície parametrizada é dada por uma descrição do formulário

r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v).

Observe que essa parametrização envolve dois parâmetrosu ev, como uma superfície é bidimensional, são necessárias duas variáveis para traçar a superfície. Os parâmetrosuv variam em uma região chamada domínio do parâmetro, ou espaço de parâmetros — o conjunto de pontos nouv plano -que podem ser substituídosr. Cada opção deu ev no domínio do parâmetro fornece um ponto na superfície, assim como cada escolha de um parâmetrot fornece um ponto em uma curva parametrizada. Toda a superfície é criada fazendo todas as escolhas possíveis deu ev sobre o domínio do parâmetro.

Definição: Parameter Domain

Dada uma parametrização da superfície

r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v).

o domínio do parâmetro da parametrização é o conjunto de pontos nouv plano -que podem ser substituídosr.

Exemplo16.6.1: Parameterizing a Cylinder

Descreva superfícieS parametrizada por

r(u,v)=cosu,sinu,v,<u<,<v<.

Solução

Para ter uma ideia da forma da superfície, primeiro traçamos alguns pontos. Como o domínio do parâmetro é tudoR2, podemos escolher qualquer valor para u e v e traçar o ponto correspondente. Seu=v=0, entãor(0,0)=1,0,0, o ponto (1, 0, 0) estiver ativadoS. Da mesma forma, apontar(π,2)=(1,0,2) er(π2,4)=(0,1,4) está ligadoS.

Embora os pontos de plotagem possam nos dar uma ideia da forma da superfície, geralmente precisamos de alguns pontos para ver a forma. Como é demorado traçar dezenas ou centenas de pontos, usamos outra estratégia. Para visualizarS, visualizamos duas famílias de curvas que se encontramS. Na primeira família de curvas, mantemosu constantes; na segunda família de curvas, mantemosv constantes. Isso nos permite construir um “esqueleto” da superfície, tendo assim uma ideia de sua forma.

  • Suponha queu seja uma constanteK. Então, a curva traçada pela parametrização écosK,sinK,v, que fornece uma linha vertical que passa pelo ponto(cosK,sinK,v noxy plano.
  • Suponha quev seja uma constanteK. Então, a curva traçada pela parametrização écosu,sinu,K, que dá um círculo no planoz=K com raio 1 e centro(0,0,K).

Seu for mantido constante, obtemos linhas verticais; sev for mantido constante, obtemos círculos de raio 1 centrados em torno da linha vertical que passa pela origem. Portanto, a superfície traçada pela parametrização é cilíndricax2+y2=1 (Figura16.6.1).

Três diagramas em três dimensões. O primeiro mostra linhas verticais ao redor da origem. O segundo mostra círculos paralelos, todos com centro na origem e raio de 1. O terceiro mostra as linhas e o círculo. Juntos, eles formam o esqueleto de um cilindro.
Figura16.6.1: (a) LinhascosK,sinK,v paraK=0,π2,π,3π2 e. (b) Círculoscosu,sinu,K paraK=2,1,1, e2 (c) As linhas e os círculos juntos. À medida queuv variam, eles descrevem um cilindro.

Observe que sex=cosu ey=sinu, entãox2+y2=1, os pontos de S realmente estão no cilindro. Por outro lado, cada ponto do cilindro está contido em algum círculocosu,sinu,k para alguns ek, portanto, cada ponto no cilindro está contido na superfície parametrizada (Figura16.6.2).

Uma imagem de um cilindro vertical em três dimensões com o centro de sua base circular localizado no eixo z.
Figura16.6.2: O cilindrox2+y2=r2 tem parametrizaçãor(u,v)=rcosu,rsinu,v,0u2π,<v<.

Análise

Observe que, se mudarmos o domínio do parâmetro, poderemos obter uma superfície diferente. Por exemplo, se restringirmos o domínio a0uπ,<v<6, a superfície seria um meio cilindro de altura 6.

Exercício16.6.1

Descreva a superfície com parametrização

r(u,v)=2cosu,2sinu,v,0u2π,<v<

Dica

Mantenha a posiçãov constanteu e veja que tipo de curvas resultam.

Responda

cilindrox2+y2=4

Resulta do exemplo16.6.1 que podemos parametrizar todos os cilindros do formuláriox2+y2=R2. Se S é um cilindro dado pela equaçãox2+y2=R2, então uma parametrização deS ér(u,v)=Rcosu,Rsinu,v,0u2π,<v<.

Também podemos encontrar diferentes tipos de superfícies devido à sua parametrização, ou podemos encontrar uma parametrização quando recebemos uma superfície.

Exemplo16.6.2: Describing a Surface

Descreva a superfícieS parametrizada porr(u,v)=ucosv,usinv,u2,0u<,0v<2π.

Solução

Observe que, seu for mantida constante, a curva resultante é um círculo de raiou no planoz=u. Portanto, à medida queu aumenta, o raio do círculo resultante aumenta. Sev for mantida constante, a curva resultante é uma parábola vertical. Portanto, esperamos que a superfície seja um parabolóide elíptico. Para confirmar isso, observe que

x2+y2=(ucosv)2+(usinv)2=u2cos2v+u2sin2v=u2=z

Portanto, a superfície é o parabolóide elípticox2+y2=z (Figura16.6.3).

Duas imagens em três dimensões. O primeiro mostra círculos paralelos no eixo z com raios aumentando à medida que z aumenta. As parábolas verticais que se abrem emolduram os círculos, formando o esqueleto de um parabolóide. O segundo mostra o parabolóide elíptico, que é feito de todos os círculos e parábolas verticais possíveis no domínio do parâmetro.
Figura16.6.3: (a) Os círculos surgem da manutençãou constante; as parábolas verticais surgem da manutençãov constante. (b) Um parabolóide elíptico resulta de todas as escolhas deu ev no domínio do parâmetro.
Exercício16.6.2

Descreva a superfície parametrizada porr(u,v)=ucosv,usinv,u,<u<,0v<2π.

Dica

Mantenha-seu constante e veja que tipo de curvas resultam. Imagine o que acontece à medida queu aumenta ou diminui.

Responda

Conex2+y2=z2

Exemplo16.6.3: Finding a Parameterization

Dê uma parametrização do cone quex2+y2=z2 está sobre ou acima do planoz=2.

Solução

A seção transversal horizontal do cone em alturaz=u é circularx2+y2=u2. Portanto, um ponto no cone em alturau tem coordenadas(ucosv,usinv,u) para o ângulov. Portanto, uma parametrização do cone ér(u,v)=ucosv,usinv,u. Como não estamos interessados em todo o cone, somente na parte no plano ou acima delez=2, o domínio do parâmetro é dado por2<u<,0v<2π (Figura16.6.4).

Um diagrama tridimensional do cone x^2 + y^2 = z^2, que se abre ao longo do eixo z para valores z positivos e abre ao longo do eixo z para valores z negativos. O centro está na origem.
Figura16.6.4:x2+y2=z2 O cone tem parametrizaçãor(u,v)=ucosv,usinv,<u<,0v2π.
Exercício16.6.3

Dê uma parametrização para a porção do conex2+y2=z2 que está no primeiro octante.

Dica

Considere o domínio do parâmetro para essa superfície.

Responda

r(u,v)=ucosv,usinv,u,0<u<,0v<π2

Discutimos as parametrizações de várias superfícies, mas dois tipos importantes de superfícies precisam de uma discussão separada: esferas e gráficos de funções com duas variáveis. Para parametrizar uma esfera, é mais fácil usar coordenadas esféricas. A esfera de raioρ centrada na origem é dada pela parametrização

r(ϕ,θ)=ρcosθsinϕ,ρsinθsinϕ,ρcosϕ,0θ2π,0ϕπ.

A ideia dessa parametrização é que,ϕ à medida que avança para baixo a partir doz eixo positivo, um círculo de raioρsinϕ é traçado deixandoθ correr de 0 para2π. Para ver isso, vamosϕ consertar. Então

\ [\ begin {align*} x^2 + y^2 &= (\ rho\,\ cos\ theta\,\ sin\ phi) ^2 + (\ rho\,\ sin\ theta\,\ sin\ phi) ^2\\ [4pt]
&=\ rho^2\ sin^2\ phi (\ cos^2\ theta +\ sin^2\ theta)\\ [4pt]
&=\ rho^2\,\ sin^2\ phi\\ [4pt]
&= (\ rho\,\ sin\ phi) ^2. \ end {align*}\]

Isso resulta no círculo desejado (Figura16.6.5).

Um diagrama tridimensional da esfera de raio rho.
Figura16.6.5: A esfera do raioρ tem parametrizaçãor(ϕ,θ)=ρcosθsinϕ,ρsinθsinϕ,ρcosϕ,0θ2π,0ϕπ.

Finalmente, para parametrizar o gráfico de uma função de duas variáveis, primeiro deixamosz=f(x,y) ser uma função de duas variáveis. A parametrização mais simples do gráfico def ér(x,y)=x,y,f(x,y), ondex ey varia sobre o domínio def (Figura16.6.6). Por exemplo, o gráfico def(x,y)=x2y pode ser parametrizado porr(x,y)=x,y,x2y, ondex os parâmetrosy variam no domínio def. Se nos importarmos apenas com uma parte do gráficof - digamos, a parte do gráfico sobre o retângulo[1,3]×[2,5] - então podemos restringir o domínio do parâmetro para dar essa parte da superfície:

r(x,y)=x,y,x2y,1x3,2y5.

Da mesma forma, seS for uma superfície dada por equaçãox=g(y,z) ou equaçãoy=h(x,z), então uma parametrização deS ér(y,z)=g(y,z),y,z our(x,z)=x,h(x,z),z, respectivamente. Por exemplo, o gráfico do parabolóide2y=x2+z2 pode ser parametrizado porr(x,y)=x,x2+z22,z,0x<,0z<. Observe que não precisamos variar em todo o domínio dey porquex ez estamos ao quadrado.

Um diagrama tridimensional de uma superfície z = f (x, y) acima de seu mapeamento no plano bidimensional x, y. O ponto (x, y) no plano corresponde ao ponto z = f (x, y) na superfície.
Figura16.6.6: A parametrização mais simples do gráfico de uma função ér(x,y)=x,y,f(x,y).

Vamos agora generalizar as noções de suavidade e regularidade para uma superfície paramétrica. Lembre-se de que a parametrização da curvar(t),atb é regular (ou suave), se forr(t)0 para todost[a,b]. Para uma curva, essa condição garante que a imagem der realmente seja uma curva, e não apenas um ponto. Por exemplo, considere a parametrização de curvasr(t)=1,2,0t5. A imagem dessa parametrização é simplesmente um ponto(1,2), que não é uma curva. Observe também quer(t)=0. O fato de a derivada ser o vetor zero indica que não estamos realmente olhando para uma curva.

Analogamente, gostaríamos de ter uma noção de regularidade (ou suavidade) para superfícies para que uma parametrização de superfície realmente trace uma superfície. Para motivar a definição da regularidade de uma parametrização de superfície, considere a parametrização

r(u,v)=0,cosv,1,0u1,0vπ.

Embora essa parametrização pareça ser a parametrização de uma superfície, observe que a imagem é na verdade uma linha (Figura16.6.7). Como podemos evitar parametrizações como essa? Parametrizações que não fornecem uma superfície real? Observe queru=0,0,0 erv=0,sinv,0, e o produto cruzado correspondente é zero. O análogo da condiçãor(t)=0 é que nãoru×rv é zero para o ponto(u,v) no domínio do parâmetro, que é uma parametrização regular.

Um diagrama tridimensional de uma linha no plano x, z onde o componente z é 1, o componente x é 1 e o componente y existe entre -1 e 1.
Figura16.6.7: A imagem da parametrizaçãor(u,v)=0,cosv,1,0u1,0vπ é uma linha.
Definição: Parametrização regular

A parametrizaçãor(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) é uma parametrização regular se nãoru×rv for zero para o ponto(u,v) no domínio do parâmetro.

Se a parametrizaçãor for regular, a imagem der é um objeto bidimensional, como uma superfície deveria ser. Ao longo deste capítulo, as parametrizaçõesr(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) são consideradas regulares.

Lembre-se de que a parametrização da curvar(t),atbr(t) é suave se for contínua er(t)0 para todost em[a,b]. Informalmente, a parametrização da curva é suave se a curva resultante não tiver cantos nítidos. A definição de uma parametrização de superfície lisa é similar. Informalmente, a parametrização da superfície é suave se a superfície resultante não tiver cantos afiados.

Definição: Superfícies lisas

A parametrização da superfícier(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) é suave se o vetorru×rv não for zero para qualquer opção deu ev no domínio do parâmetro.

Uma superfície também pode ser lisa por partes se tiver faces lisas, mas também tiver locais onde as derivadas direcionais não existem.

Exemplo16.6.4: Identifying Smooth and Nonsmooth Surfaces

Qual das figuras na Figura16.6.8 é lisa?

Duas figuras tridimensionais. A primeira superfície é lisa. Parece um pneu com um grande orifício no meio. O segundo é suave por partes. É uma pirâmide com base retangular e quatro lados.
Figura16.6.8: (a) Essa superfície é lisa. (b) Esta superfície é lisa por partes.

Solução

A superfície na Figura16.6.8a pode ser parametrizada por

r(u,v)=(2+cosv)cosu,(2+cosv)sinu,sinv,0u<2π,0v<2π

(podemos usar a tecnologia para verificar). Observe que os vetores

ru=(2+cosv)sinu,(2+cosv)cosu,0

e

rv=sinvcosu,sinvsinu,cosv

existe para qualquer opção deu ev no domínio do parâmetro, e

ru×rv=|ˆiˆjˆk(2+cosv)sinu(2+cosv)cosu0sinvcosusinvsinucosv|=[(2+cosv)cosucosv]ˆi+[2+cosv)sinucosv]ˆj+[(2+cosv)sinvsin2u+(2+cosv)sinvcos2u]ˆk=[(2+cosv)cosucosv]ˆi+[(2+cosv)sinucosv]ˆj+[(2+cosv)sinv]ˆk.

Oˆk componente desse vetor é zero somente sev=0 ouv=π. Sev=0 ouv=π, então as únicas opções parau que oˆj componente seja zero sãou=0 ouu=π. Porém, essas escolhas deu não tornam oˆi componente zero. Portanto, nãoru×rv é zero para qualquer opção deu ev no domínio do parâmetro, e a parametrização é suave. Observe que a superfície correspondente não tem cantos afiados.

Na pirâmide da Figura16.6.8b, a nitidez dos cantos garante que não existam derivadas direcionais nesses locais. Portanto, a pirâmide não tem uma parametrização suave. No entanto, a pirâmide consiste em quatro faces lisas e, portanto, essa superfície é lisa por partes.

Exercício16.6.4

A parametrização da superfície ér(u,v)=u2v,v+1,sinu,0u2,0v3 suave?

Dica

Investigue o produto cruzadoru×rv.

Responda

sim

Área de superfície de uma superfície paramétrica

Nosso objetivo é definir uma integral de superfície e, como primeira etapa, examinamos como parametrizar uma superfície. A segunda etapa é definir a área da superfície de uma superfície paramétrica. A notação necessária para desenvolver essa definição é usada no restante deste capítulo.

SSeja uma superfície com parametrizaçãor(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) sobre algum domínio de parâmetrosD. Assumimos aqui e por toda parte que a parametrização da superfícier(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) é continuamente diferenciável, ou seja, cada função componente tem derivadas parciais contínuas. Suponha, por uma questão de simplicidade, queD seja um retângulo (embora o material a seguir possa ser estendido para lidar com domínios de parâmetros não retangulares). Divida o retânguloD em sub-retângulosDij com largura horizontalΔu e comprimento verticalΔv. Suponha que i varie de 1 a m e j varie de 1 a n, de modo queD seja subdividido em mn retângulos. Essa divisão deD em sub-retângulos fornece uma divisão correspondente da superfícieS em pedaçosSij. Escolha um pontoPij em cada peçaSij. O pontoPij corresponde ao ponto(ui,vj) no domínio do parâmetro.

Observe que podemos formar uma grade com linhas paralelas aou eixo -e aov eixouv -no plano. Essas linhas de grade correspondem a um conjunto de curvas de grade na superfícieS que é parametrizado porr(u,v). Sem perda de generalidade, assumimos quePij está localizado no canto de duas curvas de grade, como na Figura16.6.9. Se pensarmos em um mapeamento douv plano -paraR3, as curvas da grade são a imagem das linhas da grade abaixor.r Para ser preciso, considere as linhas da grade que passam pelo ponto(ui,vj). Uma linha é dada porx=ui,y=v; a outra é dada porx=u,y=vj. Na primeira linha da grade, o componente horizontal é mantido constante, produzindo uma linha vertical(ui,vj). Na segunda linha da grade, o componente vertical é mantido constante, produzindo uma linha horizontal(ui,vj). As curvas de grade correspondentes sãor(ui,v)(u,vj) e e essas curvas se cruzam no pontoPij.

Dois diagramas, mostrando que as linhas de grade em um domínio de parâmetros correspondem às curvas de grade em uma superfície. O primeiro mostra um retângulo bidimensional no plano u, v. O retângulo horizontal está no quadrante 1 e dividido em retângulos 9x5 em formato de grade. Um retângulo Dij tem comprimentos laterais delta u e delta v. As coordenadas do canto inferior esquerdo são (u_i *, v_j *). Em três dimensões, a superfície se curva acima do plano x, y. A porção D_ij tornou-se S_ij na superfície com o canto inferior esquerdo P_ij.
Figura16.6.9: As linhas de grade em um domínio de parâmetros correspondem às curvas da grade em uma superfície.

Agora, considere os vetores que são tangentes a essas curvas de grade. Para curva de grader(ui,v), o vetor tangente emPij é

tv(Pij)=rv(ui,vj)=xv(ui,vj),yv(ui,vj),zv(ui,vj).

Para curva de grader(u,vj), o vetor tangente emPij é

tu(Pij)=ru(ui,vj)=xu(ui,vj),yu(ui,vj),zu(ui,vj).

Se o vetorN=tu(Pij)×tv(Pij) existe e não é zero, então o plano tangente emPij existe (Figura16.6.10). Se a peçaSij for pequena o suficiente, então o plano tangente no pontoPij é uma boa aproximação da peçaSij.

Dois diagramas. O da esquerda é bidimensional e está no primeiro quadrante do plano de coordenadas u, v. Um ponto u_0 está marcado no eixo horizontal u e um ponto v_0 está marcado no eixo vertical v. O ponto (u_0, v_0) é mostrado no plano. O diagrama à direita mostra a versão da curva da grade. Agora, o u_0 está marcado como r (u_0, v) e o v_0 está marcado como r (u, v_0). O ponto (u_0, v_0) é rotulado P. Saindo de P há três setas: uma é uma seta N vertical e as outras duas são t_u e t_v para o plano tangente.
Figura16.6.10: Se o produto cruzado dostu vetorestv existe, então há um plano tangente.

O plano tangente emPij contém vetorestu(Pij)tv(Pij) e, portanto, o paralelogramo abrangido portu(Pij) etv(Pij) está no plano tangente. Como o retângulo original nouv plano -correspondente aSij tem larguraΔu e comprimentoΔv, o paralelogramo que usamos para aproximarSij é o paralelogramo abrangido porΔutu(Pij)Δvtv(Pij) e. Em outras palavras, escalamos os vetores tangentes pelas constantesΔu eΔv para corresponder à escala da divisão original dos retângulos no domínio do parâmetro. Portanto, a área do paralelogramo usada para aproximar a área deSij é

ΔSij||(Δutu(Pij))×(Δvtv(Pij))||=||tu(Pij)×tv(Pij)||ΔuΔv.

O ponto variávelPij sobre todas as peçasSij e a aproximação anterior levam à seguinte definição da área de superfície de uma superfície paramétrica (Figura16.6.11).

Uma superfície S_ij que parece um paralelogramo curvo. O ponto P_ij está no canto inferior esquerdo, e duas setas azuis se estendem desse ponto até os cantos superior esquerdo e inferior direito da superfície. Duas setas vermelhas também se estendem a partir desse ponto e são rotuladas como t_v delta v e t_u delta u. Elas formam os dois lados de um paralelogramo que se aproxima do pedaço de superfície de S_ij. Os outros dois lados são desenhados como linhas pontilhadas.
Figura16.6.11: O paralelogramo abrangetu etv se aproxima do pedaço de superfícieSij.
Definição: Parametrização suave da superfície

DSejar(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) com o domínio do parâmetro uma parametrização suave da superfícieS. Além disso, suponha queS seja rastreado apenas uma vez, pois(u,v) variaD. A área da superfície deS é

D||tu×tv||dA,

ondetu=xu,yu,zu

e

tv=xu,yu,zu.

Exemplo16.6.5: Calculating Surface Area

Calcule a área da superfície lateral (a área do “lado”, sem incluir a base) do cone circular direito com altura h e raio r.

Solução

Antes de calcular a área da superfície desse cone usando a Equação\ ref {equation1}, precisamos de uma parametrização. Assumimos que esse cone estáR3 com seu vértice na origem (Figura16.6.12). Para obter uma parametrização,α seja o ângulo que é varrido começando no eixo z positivo e terminando no cone, e deixek=tanα. Para um valor de alturav com0vh, o raio do círculo formado pela interseção do cone com o planoz=v ékv. Portanto, uma parametrização desse cone é

s(u,v)=kvcosu,kvsinu,v,0u<2π,0vh.

A ideia por trás dessa parametrização é que, para umv valor fixo, o círculo varrido deixandou variar é o círculo em alturav e raiokv. À medida quev aumenta, a parametrização varre uma “pilha” de círculos, resultando no cone desejado.

Um cone circular reto em três dimensões, abrindo para cima no eixo z. Tem raio r = kh e altura h com a parametrização dada. Alfa é o ângulo que é varrido começando no eixo z positivo e terminando no cone. Observa-se que k é igual à tangente de alfa.
Figura16.6.12: O cone circular direito com raior=kh e alturah tem parametrizaçãos(u,v)=kvcosu,kvsinu,v,0u<2π,0vh.

Com uma parametrização em mãos, podemos calcular a área da superfície do cone usando a Equação\ ref {equation1}. Os vetores tangentes sãotu=kvsinu,kvcosu,0tv=kcosu,ksinu,1 e. Portanto,

tu×tv=|ˆiˆjˆkkvsinukvcosu0kcosuksinu1|=kvcosu,kvsinu,k2vsin2uk2vcos2u=kvcosu,kvsinu,k2v.

A magnitude desse vetor é

||kvcosu,kvsinu,k2v||=k2v2cos2u+k2v2sin2u+k4v2=k2v2+k4v2=kv1+k2.

Pela Equação\ ref {equation1}, a área da superfície do cone é

D||tu×tv||dA=h02π0kv1+k2dudv=2πk1+k2h0vdv=2πk1+k2[v22]h0=πkh21+k2.

Uma vez quek=tanα=r/h,

πkh21+k2=πrhh21+r2h2=πrh1+r2h2=πrh2+h2(r2h2)=πrh2+r2.

Portanto, a área da superfície lateral do cone éπrh2+r2.

Análise

A área da superfície de um cone circular reto com raior e altura geralmenteh é dada comoπr2+πrh2+r2. A razão para isso é que a base circular é incluída como parte do cone e, portanto, a área da baseπr2 é adicionada à área da superfície lateralπrh2+r2 que encontramos.

Exercício16.6.5

Encontre a área da superfície com parametrizaçãor(u,v)=u+v,u2,2v,0u3,0v2.

Dica

Use a Equação\ ref {equation1}.

Responda

\≈43.02

Exemplo16.6.6: Calculating Surface Area

Mostre que a área da superfície da esferax2+y2+z2=r2 é4πr2.

Solução

A esfera tem parametrização

rcosθsinϕ,rsinθsinϕ,rcosϕ,0θ<2π,0ϕπ.

Os vetores tangentes são

tθ=rsinθsinϕ,rcosθsinϕ,0

e

tϕ=rcosθcosϕ,rsinθcosϕ,rsinϕ.

Portanto,

tϕ×tθ=r2cosθsin2ϕ,r2sinθsin2ϕ,r2sin2θsinϕcosϕ+r2cos2θsinϕcosϕ=r2cosθsin2ϕ,r2sinθsin2ϕ,r2sinϕcosϕ.

Agora,

||tϕ×tθ||=r4sin4ϕcos2θ+r4sin4ϕsin2θ+r4sin2ϕcos2ϕ=r4sin4ϕ+r4sin2ϕcos2ϕ=r2sin2ϕ=rsinϕ.

Observe issosinϕ0 no domínio do parâmetro porque0ϕ<π, e isso justifica a equaçãosin2ϕ=sinϕ. A área da superfície da esfera é

2π0π0r2sinϕdϕdθ=r22π02dθ=4πr2.

Derivamos a fórmula familiar para a área de superfície de uma esfera usando integrais de superfície.

Exercício16.6.6

Mostre que a área da superfície do cilindrox2+y2=r2,0zh é2πrh. Observe que esse cilindro não inclui os círculos superior e inferior.

Dica

Use a parametrização padrão de um cilindro e siga o exemplo anterior.

Responda

Com a parametrização padrão de um cilindro, a Equação\ ref {equation1} mostra que a área da superfície é2πrh.

Além de parametrizar superfícies dadas por equações ou formas geométricas padrão, como cones e esferas, também podemos parametrizar superfícies de revolução. Portanto, podemos calcular a área da superfície de uma superfície de revolução usando as mesmas técnicas. y=f(x)0Seja uma função positiva de variável única no domínioaxb eS seja a superfície obtida girando emf torno dox eixo -( Figura16.6.13). θSeja o ângulo de rotação. Em seguida,S pode ser parametrizado com parâmetrosx eθ por

r(x,θ)=x,f(x)cosθ,f(x)sinθ,axb,0x2π.

Dois diagramas, a e b, mostrando a superfície da revolução. O primeiro mostra três dimensões. No plano (x, y), uma curva chamada y = f (x) é desenhada no quadrante 1. Uma linha é desenhada do ponto final da curva até o eixo x e é rotulada como f (x). A segunda mostra a mesma visão tridimensional. No entanto, a curva do primeiro diagrama foi girada para formar uma forma tridimensional em torno do eixo x. O limite ainda é rotulado como y = f (x), como era a curva no primeiro plano. A abertura da forma tridimensional é circular com o raio f (x), assim como a linha da curva até o eixo x no plano do primeiro diagrama foi rotulada. Um ponto no limite da abertura é rotulado (x, y, z), a distância do eixo x até esse ponto é desenhada e rotulada como f (x) e a altura é desenhada e rotulada z. A altura é perpendicular ao plano x, y e, como tal, à linha f (x) original desenhada a partir do primeiro diagrama. O ângulo entre essa linha e a linha do eixo x até (x, y, z) é rotulado como teta.
Figura16.6.13: Podemos parametrizar uma superfície de revolução porr(x,θ)=x,f(x)cosθ,f(x)sinθ,axb,0x<2π.
Exemplo16.6.7: Calculating Surface Area

Encontre a área da superfície de revolução obtida girando emy=x2,0xb torno do eixo x (Figura16.6.14).

Um sólido de revolução desenhado em duas dimensões. O sólido é formado pela rotação da função y = x^2 em torno do eixo x. Um ponto C é marcado no eixo x entre 0 e x', que marca a abertura do sólido.
Figura16.6.14: Uma integral de superfície pode ser usada para calcular a área da superfície desse sólido de revolução.

Solução

Esta superfície tem parametrizaçãor(x,θ)=x,x2cosθ,x2sinθ,0xb,0x<2π.

Os vetores tangentes sãotx=1,2xcosθ,2xsinθtθ=0,x2sinθ,x2cosθ e.

Portanto,

tx×tθ=2x3cos2θ+2x3sin2θ,x2cosθ,x2sinθ=2x3,x2cosθ,x2sinθ

e

tx×tθ=4x6+x4cos2θ+x4sin2θ=4x6+x4=x24x2+1

A área da superfície da revolução é

\ [\ begin {align*}\ int_0^b\ int_0^ {2\ pi} x^2\ sqrt {4x^2 + 1}\, d\ theta\, dx &= 2\ pi\ int_0^b x^2\ sqrt {4x^2 + 1}\, dx\\ [4pt]
&= 2\ pi\ left [\ dfrac {1} {64}\ esquerda (2\ sqrt {4x^2 + 1} (8x^3 + x)\,\ sinh^ {-1} (2x)\ direita)\ direita] _0^b\\ [4pt]
&= 2\ pi\ left [\ dfrac {1} {64}\ left (2 \ sqrt {4b^2 + 1} (8b^3 + b)\,\ sinh^ {-1} (2b)\ direita)\ direita]. \ end {align*}\]

Exercício16.6.7

Use a Equação\ ref {equation1} para encontrar a área da superfície de revolução obtida pela curva de rotação emy=sinx,0xπ torno dox eixo.

Dica

Use a parametrização das superfícies de revolução fornecida antes do Exemplo16.6.7.

Responda

2π(2+sinh1(1))

Integral de superfície de uma função de valor escalar

Agora que podemos parametrizar superfícies e calcular suas áreas de superfície, podemos definir integrais de superfície. Primeiro, vamos examinar a integral da superfície de uma função de valor escalar. Informalmente, a integral de superfície de uma função de valor escalar é um análogo de uma integral de linha escalar em uma dimensão superior. O domínio de integração de uma integral de linha escalar é uma curva parametrizada (um objeto unidimensional); o domínio de integração de uma integral de superfície escalar é uma superfície parametrizada (um objeto bidimensional). Portanto, a definição de uma integral de superfície segue bem de perto a definição de uma integral de linha. Para integrais de linha escalar, cortamos a curva do domínio em pequenos pedaços, escolhemos um ponto em cada peça, calculamos a função nesse ponto e calculamos o limite da soma de Riemann correspondente. Para integrais de superfície escalar, cortamos a região do domínio (não mais uma curva) em pequenos pedaços e procedemos da mesma forma.

SSeja uma superfície lisa por partes com parametrizaçãor(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v) com domínio de parâmetrosD ef(x,y,z) seja uma função com um domínio que contémS. Por enquanto, suponha que o domínio do parâmetroD seja um retângulo, mas podemos estender a lógica básica de como procedemos para qualquer domínio de parâmetros (a escolha de um retângulo é simplesmente tornar a notação mais gerenciável). Divida o retânguloD em sub-retângulosDij com largura horizontalΔu e comprimento verticalΔv. Suponha quei varie de1 atém ej varie de1 atén, de modo queD seja subdividido emmn retângulos. Essa divisão deD em subretângulos fornece uma divisão correspondente deS em pedaçosSij. Escolha um pontoPij em cada peçaf,Sij avaliePij em e multiplique por áreaSij para formar a soma de Riemann.

mi=1nj=1f(Pij)ΔSij.

Para definir uma integral de superfície de uma função de valor escalar, deixamos as áreas das peçasS encolherem para zero tomando um limite.

Definição: Integral de superfície de uma função de valor escalar

A integral da superfície de uma função de valor escalar def sobre uma superfície lisa por partesS é

Sf(x,y,z)dA=lim

Novamente, observe as semelhanças entre essa definição e a definição de uma integral de linha escalar. Na definição de uma integral de linha, cortamos uma curva em pedaços, calculamos uma função em um ponto em cada peça e deixamos o comprimento das peças encolher até zero, tomando o limite da soma de Riemann correspondente. Na definição de uma integral de superfície, cortamos uma superfície em pedaços, avaliamos uma função em um ponto de cada peça e deixamos a área das peças encolher até zero, tomando o limite da soma de Riemann correspondente. Assim, uma integral de superfície é semelhante a uma integral de linha, mas em uma dimensão superior.

A definição de uma integral de linha escalar pode ser estendida para domínios de parâmetros que não são retângulos usando a mesma lógica usada anteriormente. A ideia básica é dividir o domínio do parâmetro em pequenos pedaços, escolher um ponto de amostra em cada peça e assim por diante. A forma exata de cada peça no domínio da amostra se torna irrelevante à medida que as áreas das peças diminuem para zero.

Integrais de superfície escalar são difíceis de calcular a partir da definição, assim como integrais de linha escalar. Para desenvolver um método que torne as integrais de superfície mais fáceis de calcular, aproximamos as áreas da superfície\Delta S_{ij} com pequenos pedaços de um plano tangente, assim como fizemos na subseção anterior. Lembre-se da definição de vetores\vecs t_u e\vecs t_v:

\vecs t_u = \left\langle \dfrac{\partial x}{\partial u},\, \dfrac{\partial y}{\partial u},\, \dfrac{\partial z}{\partial u} \right\rangle\, \text{and} \, \vecs t_v = \left\langle \dfrac{\partial x}{\partial u},\, \dfrac{\partial y}{\partial u},\, \dfrac{\partial z}{\partial u} \right\rangle. \nonumber

Pelo material que já estudamos, sabemos que

\Delta S_{ij} \approx ||\vecs t_u (P_{ij}) \times \vecs t_v (P_{ij})|| \,\Delta u \,\Delta v. \nonumber

Portanto,

\iint_S f(x,y,z) \,dS \approx \lim_{m,n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(P_{ij})|| \vecs t_u(P_{ij}) \times \vecs t_v(P_{ij}) ||\,\Delta u \,\Delta v. \nonumber

Essa aproximação se torna arbitrariamente próxima à\displaystyle \lim_{m,n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(P_{ij}) \Delta S_{ij} medida que aumentamos o número de peças deixandom eS_{ij} indon para o infinito. Portanto, temos a seguinte equação para calcular integrais de superfície escalar:

\iint_S f(x,y,z)\,dS = \iint_D f(\vecs r(u,v)) ||\vecs t_u \times \vecs t_v||\,dA. \label{scalar surface integrals}

A equação\ ref {integrais de superfície escalar} nos permite calcular uma integral de superfície transformando-a em uma integral dupla. Essa equação para integrais de superfície é análoga à equação para integrais de linha:

\iint_C f(x,y,z)\,ds = \int_a^b f(\vecs r(t))||\vecs r'(t)||\,dt. \nonumber

Nesse caso, o vetor\vecs t_u \times \vecs t_v é perpendicular à superfície, enquanto o vetor\vecs r'(t) é tangente à curva.

Exemplo\PageIndex{8}: Calculating a Surface Integral

Calcular a integral da superfície

\iint_S 5 \, dS, \nonumber

ondeS está a superfície com parametrização\vecs r(u,v) = \langle u, \, u^2, \, v \rangle para0 \leq u \leq 20 \leq v \leq u e.

Solução

Observe que esse domínio de parâmetrosD é um triângulo e, portanto, o domínio do parâmetro não é retangular. No entanto, isso não é um problema, porque a Equação\ ref {integrais de superfície escalar} não impõe nenhuma restrição à forma do domínio do parâmetro.

Para usar a Equação\ ref {integrais de superfície escalar} para calcular a integral da superfície, primeiro encontramos vetores\vecs t_u\vecs t_v e. Observe isso\vecs t_u = \langle 1, 2u, 0 \rangle\vecs t_v = \langle 0,0,1 \rangle e. Portanto,

\vecs t_u \times \vecs t_v = \begin{vmatrix} \mathbf{\hat i} & \mathbf{\hat j} & \mathbf{\hat k} \nonumber \\ 1 & 2u & 0 \nonumber \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \langle 2u, \, -1, \, 0 \rangle\ \nonumber

e

||\vecs t_u \times \vecs t_v|| = \sqrt{1 + 4u^2}. \nonumber

Pela equação\ ref {integrais de superfície escalar},

\ [\ begin {align*}\ Iint_s 5\, dS &= 5\ Iint_d\ sqrt {1 + 4u^2}\, dA\\
&= 5\ int_0^2\ int_0^u\ sqrt {1 + 4u^2}\, dv\, du = 5\ int_0^2 u\ sqrt {1 + 4u^2}, du\\
&= 5\ left [\ dfrac {(1+4u^2) ^ {3/2}} {3}\ right] _0^2\\
&=\ dfrac {5 (17^ {3/2} -1)} {3}\ aprox. 115. 15. \ end {align*}\]

Exemplo\PageIndex{9}: Calculating the Surface Integral of a Cylinder

Calcular a integral da superfície\iint_S (x + y^2) \, dS, \nonumber ondeS está o cilindrox^2 + y^2 = 4, \, 0 \leq z \leq 3 (Figura\PageIndex{15}).

Um gráfico em três dimensões de um cilindro. A base do cilindro está no plano (x, z), com o centro no eixo y. Ela se estende ao longo do eixo y.
Figura\PageIndex{15}: Função de integraçãof(x,y,z) = x + y^2 sobre um cilindro.

Solução

Para calcular a integral da superfície, primeiro precisamos de uma parametrização do cilindro. Uma parametrização é\vecs r(u,v) = \langle \cos u, \, \sin u, \, v \rangle, 0 \leq u \leq 2\pi, \, 0 \leq v \leq 3.

Os vetores tangentes são\vecs t_u = \langle \sin u, \, \cos u, \, 0 \rangle\vecs t_v = \langle 0,0,1 \rangle e. Então,

\vecs t_u \times \vecs t_v = \begin{vmatrix} \mathbf{\hat i} & \mathbf{\hat j} & \mathbf{\hat k} \\ -\sin u & \cos u & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \langle \cos u, \, \sin u, \, 0 \rangle \nonumber

||\vecs t_u \times \vecs t_v || = \sqrt{\cos^2 u + \sin^2 u} = 1e. Pela equação\ ref {integrais de superfície escalar},

\ [\ begin {align*}\ iint_s f (x, y, z) dS &=\ Iint_d f (\ vecs r (u, v)) ||\ vecs t_u\ times\ vecs t_v||\, dA\\
&=\ int_0^3\ int_0^ {2\ pi} (\ cos u +\ sin^2 u)\, du\, dv\\
&=\ int_0^3\ left [\ sin u +\ dfrac {u} {2} -\ dfrac {\ sin (2u)} {4}\ direita] _0^ {2\ pi}\, dv\\
&= \ int_0^3\ pi\, dv = 3\ pi. \ end {align*}\]

Exercício\PageIndex{8}

Calcule\iint_S (x^2 - z) \,dS, \nonumber ondeS está a superfície com parametrização\vecs r(u,v) = \langle v, \, u^2 + v^2, \, 1 \rangle, \, 0 \leq u \leq 2, \, 0 \leq v \leq 3.

Dica

Use a Equação\ ref {integrais de superfície escalar}.

Responda

24

Exemplo\PageIndex{10}: Calculating the Surface Integral of a Piece of a Sphere

f(x,y,z) = z^2Calcule a integral da superfície\iint_S f(x,y,z)\,dS, \nonumber onde eS é a superfície que consiste no pedaço de esferax^2 + y^2 + z^2 = 4 que está no plano ou acimaz = 1 dele e no disco que é delimitado pelo plano de interseçãoz = 1 e pela esfera dada (Figura\PageIndex{16}).

Um diagrama em três dimensões da metade superior de uma esfera. O centro está na origem e o raio é 2. A parte superior acima do plano z=1 é cortada e sombreada; o resto é simplesmente um contorno do hemisfério. A seção superior tem centro em (0,0,1) e raio do radical três.
Figura\PageIndex{16}: Calculando uma integral de superfície sobre a superfícieS.

Solução

Observe que nãoS é suave, mas é suave por partes;S pode ser escrito como a união de sua baseS_1 e seu topo esféricoS_2,S_1 e ambosS_2 são lisos. Portanto, para calcular

\iint_S z^2 dS, \nonumber

escrevemos essa integral como

\iint_{S_1} z^2 \,dS + \iint_{S_2} z^2 \,dS \nonumber

e calculamos integrais

\iint_{S_1} z^2 \,dS \nonumber

e

\iint_{S_2}Z^2 \,dS. \nonumber

Primeiro, calculamos.\displaystyle \iint_{S_1} z^2 \,dS. Para calcular essa integral, precisamos de uma parametrização deS_1. Essa superfície é um disco no planoz = 1 centrado em(0,0,1). Para parametrizar esse disco, precisamos saber seu raio. Como o disco é formado onde o planoz = 1 cruza a esferax^2 + y^2 + z^2 = 4, podemos substituirz = 1 na equaçãox^2 + y^2 + z^2 = 4:

x^2 + y^2 + 1 = 4 \Rightarrow x^2 + y^2 = 3. \nonumber

Portanto, o raio do disco é\sqrt{3} e uma parametrização deS_1 é\vecs r(u,v) = \langle u \, \cos v, \, u \, \sin v, \, 1 \rangle, \, 0 \leq u \leq \sqrt{3}, \, 0 \leq v \leq 2\pi. Os vetores tangentes são\vecs t_u = \langle \cos v, \, \sin v, \, 0 \rangle e\vecs t_v = \langle -u \, \sin v, \, u \, \cos v, \, 0 \rangle, e, portanto,

\vecs t_u \times \vecs t_v = \begin{vmatrix} \mathbf{\hat i} & \mathbf{\hat j} & \mathbf{\hat k} \\ \cos v & \sin v & 0 \\ -u\sin v & u\cos v& 0 \end{vmatrix} = \langle 0, \, 0, u \, \cos^2 v + u \, \sin^2 v \rangle = \langle 0, 0, u \rangle. \nonumber

A magnitude desse vetor éu. Portanto,

\ [\ begin {align*}\ iint_ {S_1} z^2\, dS &=\ int_0^ {\ sqrt {3}}\ int_0^ {2\ pi} f (r (u, v)) ||t_u\ times t_v||\, dv\, du\\
&=\ int_0^ {\ sqrt {3}}\ int__0^ {2\ pi} u\, dv\, du\\
&= 2\ pi\ int_0^ {\ sqrt {3}} u\, du\\
&= 2\ pi\ sqrt {3}. \ end {align*}\]

Agora calculamos

\iint_{S_2} \,dS. \nonumber

Para calcular essa integral, precisamos de uma parametrização deS_2. A parametrização da esfera completax^2 + y^2 + z^2 = 4 é

\vecs r(\phi, \theta) = \langle 2 \, \cos \theta \, \sin \phi, \, 2 \, \sin \theta \, \sin \phi, \, 2 \, \cos \phi \rangle, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq \phi \leq \pi. \nonumber

Como estamos apenas pegando o pedaço da esfera no plano ou acima delez = 1, temos que restringir o domínio de\phi. Para ver até onde esse ângulo se arrasta, observe que o ângulo pode ser localizado em um triângulo reto, conforme mostrado na Figura\PageIndex{17} (isso\sqrt{3} vem do fato de que a base deS é um disco com raio\sqrt{3}). Portanto, a tangente de\phi é\sqrt{3}, o que implica que\phi é\pi / 6. Agora temos uma parametrização deS_2:

\vecs r(\phi, \theta) = \langle 2 \, \cos \theta \, \sin \phi, \, 2 \, \sin \theta \, \sin \phi, \, 2 \, \cos \phi \rangle, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq \phi \leq \pi / 3.

Um diagrama de um plano dentro do sistema de coordenadas tridimensional. Dois pontos estão marcados no eixo z: (0,0,2) e (0,0,1). A distância da origem até (0,0,1) é marcada como 1, a distância horizontal entre o ponto (0,0,1) e um ponto da esfera é chamada de radical três, e o ângulo entre a origem e o ponto na esfera é teta. Há uma linha traçada da origem até o ponto na esfera, e isso forma um triângulo.
Figura\PageIndex{17}: O valor máximo de\phi tem um valor tangente de\sqrt{3}.

Os vetores tangentes são\vecs t_{\phi} = \langle 2 \, \cos \theta \, \cos \phi, \, 2 \, \sin \theta \,\cos \phi, \, -2 \, \sin \phi \rangle e\vecs t_{\theta} = \langle - 2 \sin \theta \sin \phi, \, u\cos \theta \sin \phi, \, 0 \rangle, e, portanto,

\ [\ begin {align*}\ vecs t_ {\ phi}\ times\ vecs t_ {\ theta} &=\ begin {vmatrix}\ mathbf {\ hat i} &\ mathbf {\ hat j} &\ mathbf {\ hat k}\ nonumber\\ 2\ cos\ theta\ cos\ cos\ cos\ cos\ cos\ phi e 2\ sin\ theta\ cos\ phi & -2\ sin\ phi\\ -2\ sin\ theta\ sin\ phi e 2\ cos\ theta\ sin\ phi e 0\ end {vmatrix}\\ [4 pt]
&=\ langle 4\,\ cos\ theta\,\ sin^2\ phi,\, 4\,\ sin\ theta\,\ sin^2\ phi,\, 4\,\ cos^2\ theta\,\ cos\ phi\,\ sin\ phi + 4\,\ sin^2\ theta\,\ cos\ phi\,\ sin\ phi\ rangle\\ [4 pt]
&=\ langle 4\,\ cos\ theta\,\ sin^2\ phi,\, 4\,\ sin\ theta\,\ sin^2\ phi,\, 4\,\ cos\ phi\,\ sin\ phi\ rangle. \ end {align*}\]

A magnitude desse vetor é

\ [\ begin {align*}\ vecs t_ {\ phi}\ times\ vecs t_ {\ theta} &=\ sqrt {16\,\ cos^2\ theta\,\ sin^4\ phi + 16\,\ sin^2\ theta\,\ sin^4\ phi + 16\,\ cos^2\ phi\,\ sin^2\ phi\,\ sin^2\ phi}\\ [4 pt]
&= 4\ sqrt {\ sin^4\ phi +\ cos^2\ phi\,\ sin^2\ phi}. \ end {align*}\]

Portanto,

\ [\ begin {align*}\ iint_ {S_2} z\, dS &=\ int_0^ {\ pi/6}\ int_0^ {2\ pi} f (\ vecs r (\ phi,\ theta)) ||\ vecs t_ {\ phi}\ times\ vecs t_ {\ theta} ||\, d\ theta\, d\ pheta\, d\ phi}\ i\\
&=\ int_0^ {\ pi/6}\ int_0^ {2\ pi} 16\,\ cos^2\ phi\ sqrt {\ sin^4\ phi +\ cos^2\ phi\,\ sin^2\ phi}\, d\ theta\, d\ phi\\
&= 32\ pi\ int_0^ {\ pi/6}\ cos^2\ phi\ sqrt {\ sin^4\ phi +\ cos^2\ phi\,\ sin^2\ phi}\, d\ phi\\
&= 32\ pi\ int_0^ {\ pi/6}\ cos^2\ phi\,\ sin\ phi\ sqrt\ sin^2\ phi +\ cos^2\ phi}\, d\ phi\\
&= 32\ pi\ int_0^ {\ pi/6}\ cos^2\ phi\,\ sin\ phi\, d\ phi\\
& = 32\ pi\ left [-\ dfrac {\ cos^3\ phi} {3}\ direita] _0^ {\ pi/6}\\
&= 32\ pi\ left [\ dfrac {1} {3} -\ dfrac {\ sqrt {3}} {8}\ direita] =\ dfrac {32\ pi} {3} - 4\ sqrt {3}}. \ end {align*}\]

Desde

\iint_S z^2 \,dS = \iint_{S_1}z^2 \,dS + \iint_{S_2}z^2 \,dS, \nonumber

nós temos

\iint_S z^2 \,dS = (2\pi - 4) \sqrt{3} + \dfrac{32\pi}{3}. \nonumber

Análise

Neste exemplo, dividimos uma integral de superfície sobre uma superfície por partes na adição de integrais de superfície sobre subsuperfícies lisas. Havia apenas duas subsuperfícies lisas neste exemplo, mas essa técnica se estende a um número finito de subsuperfícies lisas.

Exercício\PageIndex{9}

Calcule a integral da linha\displaystyle \iint_S (x - y) \, dS, ondeS está o cilindrox^2 + y^2 = 1, \, 0 \leq z \leq 2, incluindo a parte superior e inferior circulares.

Dica

Divida a integral em três integrais de superfície separadas.

Responda

0

Integrais de superfície escalar têm várias aplicações no mundo real. Lembre-se de que integrais de linha escalar podem ser usados para calcular a massa de um fio dada sua função de densidade. De forma semelhante, podemos usar integrais de superfície escalar para calcular a massa de uma folha dada sua função de densidade. Se uma fina folha de metal tem a forma da superfícieS e a densidade da folha no ponto(x,y,z) é\rho(x,y,z), então a massam da folha é

\displaystyle m = \iint_S \rho (x,y,z) \,dS. \label{mass}

Exemplo\PageIndex{11}: Calculating the Mass of a Sheet

Uma folha plana de metal tem a forma de superfíciez = 1 + x + 2y que fica acima do retângulo0 \leq x \leq 40 \leq y \leq 2 e. Se a densidade da folha for dada por\rho (x,y,z) = x^2 yz, qual é a massa da folha?

Solução

SSeja a superfície que descreve a folha. Então, a massa da folha é dada por\displaystyle m = \iint_S x^2 yx \, dS. Para calcular essa integral de superfície, primeiro precisamos de uma parametrização deS. ComoS é dada pela funçãof(x,y) = 1 + x + 2y, uma parametrização deS é\vecs r(x,y) = \langle x, \, y, \, 1 + x + 2y \rangle, \, 0 \leq x \leq 4, \, 0 \leq y \leq 2.

Os vetores tangentes são\vecs t_x = \langle 1,0,1 \rangle\vecs t_y = \langle 1,0,2 \rangle e. Portanto,\vecs t_x + \vecs t_y = \langle -1,-2,1 \rangle||\vecs t_x \times \vecs t_y|| = \sqrt{6} e.

Pela definição da integral de linha (Seção 16.2),\ [\ begin {align*} m &=\ Iint_s x^2 yz\, dS\\ [4pt]
&=\ sqrt {6}\ int_0^4\ int_0^2 x^2 y (1 + x + 2y)\, dy\, dx\\ [4pt]
&=\ sqrt {6}\ int_0^4\ dfrac {22x^2} {3} + 2x^3\, dx\\ [4pt]
&=\ dfrac {2560\ sqrt { 6}} {9}\ aproximadamente 696,74. \ end {align*}\]

Exercício\PageIndex{10}

Uma peça de metal tem uma forma modelada por parabolóidez = x^2 + y^2, \, 0 \leq z \leq 4, e a densidade do metal é dada por\rho (x,y,z) = z + 1. Encontre a massa da peça de metal.

Dica

A massa de uma folha é dada pela Equação\ ref {mass}. Uma parametrização útil de um parabolóide foi dada em um exemplo anterior.

Responda

38.401 \pi \approx 120.640

Orientação de uma superfície

Lembre-se de que, quando definimos uma integral de linha escalar, não precisávamos nos preocupar com a orientação da curva de integração. O mesmo aconteceu com integrais de superfície escalar: não precisávamos nos preocupar com uma “orientação” da superfície de integração.

Por outro lado, quando definimos integrais de linha vetorial, a curva de integração precisava de uma orientação. Ou seja, precisávamos da noção de uma curva orientada para definir uma integral de linha vetorial sem ambigüidade. Da mesma forma, quando definimos uma superfície integral de um campo vetorial, precisamos da noção de uma superfície orientada. Uma superfície orientada recebe uma orientação “para cima” ou “para baixo” ou, no caso de superfícies como uma esfera ou cilindro, uma orientação “para fora” ou “para dentro”.

Deixe S ser uma superfície lisa. Para qualquer ponto(x,y,z)S, podemos identificar dois vetores normais unitários\vecs N-\vecs N e. Se for possível escolher um vetor normal unitário\vecs N em cada ponto(x,y,z), de forma que\vecs N varie continuamenteS, entãoS é “orientável”.S Essa escolha do vetor normal unitário em cada ponto fornece a orientação de uma superfícieS. Se você pensar no campo normal como uma descrição do fluxo de água, então o lado da superfície para o qual a água flui é o lado “negativo” e o lado da superfície em que a água flui é o lado “positivo”. Informalmente, uma escolha de orientação forneceS um lado “externo” e um lado “interno” (ou um lado “para cima” e um lado “para baixo”), assim como a escolha da orientação de uma curva dá à curva as direções “para frente” e “para trás”.

Superfícies fechadas, como esferas, são orientáveis: se escolhermos o vetor normal externo em cada ponto da superfície da esfera, os vetores normais unitários variam continuamente. Isso é chamado de orientação positiva da superfície fechada (Figura\PageIndex{18}). Também poderíamos escolher o vetor normal interno em cada ponto para dar uma orientação “interna”, que é a orientação negativa da superfície.

Uma imagem tridimensional de uma esfera orientada com orientação positiva. Um vetor normal N se estende do topo da esfera, assim como um vetor da porção superior esquerda da esfera.
Figura\PageIndex{18}: Uma esfera orientada com orientação positiva.

Uma parte do gráfico de qualquer função suave tambémz = f(x,y) é orientável. Se escolhermos o vetor normal unitário que aponta “acima” da superfície em cada ponto, os vetores normais unitários variam continuamente sobre a superfície. Também podemos escolher o vetor normal unitário que aponta “abaixo” da superfície em cada ponto. Para obter essa orientação, parametrizamos o gráficof de da maneira padrão:\vecs r(x,y) = \langle x,\, y, \, f(x,y)\rangle, ondex ey variamos no domínio def. Então,\vecs t_x = \langle 1,0,f_x \rangle e\vecs t_y = \langle 0,1,f_y \rangle , portanto, o produto cruzado\vecs t_x \times \vecs t_y (que é normal para a superfície em qualquer ponto da superfície) é\langle -f_x, \, -f_y, \, 1 \rangle Como oz componente -desse vetor é um, a unidade correspondente do vetor normal aponta “para cima” e o lado ascendente da superfície é escolhido para seja o lado “positivo”.

SSeja uma superfície lisa e orientável com parametrização\vecs r(u,v). Para cada ponto\vecs r(a,b) na superfície, os\vecs t_u vetores\vecs t_v estão no plano tangente nesse ponto. \vecs t_u \times \vecs t_vO vetor é normal ao plano tangente em\vecs r(a,b) e, portanto, é normal a esseS ponto. Portanto, a escolha do vetor normal unitário

\vecs N = \dfrac{\vecs t_u \times \vecs t_v}{||\vecs t_u \times \vecs t_v||} \nonumber

fornece uma orientação da superfícieS.

Exemplo\PageIndex{12}:Choosing an Orientation

Dê uma orientação do cilindrox^2 + y^2 = r^2, \, 0 \leq z \leq h.

Solução

Esta superfície tem parametrização\vecs r(u,v) = \langle r \, \cos u, \, r \, \sin u, \, v \rangle, \, 0 \leq u < 2\pi, \, 0 \leq v \leq h.

Os vetores tangentes são\vecs t_u = \langle -r \, \sin u, \, r \, \cos u, \, 0 \rangle \vecs t_v = \langle 0,0,1 \rangle e. Para obter uma orientação da superfície, calculamos o vetor normal unitário

\vecs N = \dfrac{\vecs t_u \times \vecs t_v}{||\vecs t_u \times \vecs t_v||} \nonumber

Nesse caso,\vecs t_u \times \vecs t_v = \langle r \, \cos u, \, r \, \sin u, \, 0 \rangle e, portanto,

||\vecs t_u \times \vecs t_v|| = \sqrt{r^2 \cos^2 u + r^2 \sin^2 u} = r. \nonumber

Uma orientação do cilindro é

\vecs N(u,v) = \dfrac{\langle r \, \cos u, \, r \, \sin u, \, 0 \rangle }{r} = \langle \cos u, \, \sin u, \, 0 \rangle. \nonumber

Observe que todos os vetores são paralelos aoxy plano -, o que deve ser o caso dos vetores que são normais ao cilindro. Além disso, todos os vetores apontam para fora e, portanto, essa é uma orientação externa do cilindro (Figura\PageIndex{19}).

Um diagrama de um cilindro vertical cortado ao meio por um plano. Um normal apontando para fora se estende pela lateral do cilindro.
Figura\PageIndex{19}: Se todos os vetores normais a um cilindro apontarem para fora, essa é uma orientação externa do cilindro.
Exercício\PageIndex{11}

Dê a orientação “ascendente” do gráfico def(x,y) = xy.

Dica

Parametrize a superfície e use o fato de que a superfície é o gráfico de uma função.

Responda

\vecs{N}(x,y) = \left\langle \dfrac{-y}{\sqrt{1+x^2+y^2}}, \, \dfrac{-x}{\sqrt{1+x^2+y^2}}, \, \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2+y^2}} \right\rangle \nonumber

Como toda curva tem uma direção “para frente” e “para trás” (ou, no caso de uma curva fechada, no sentido horário e anti-horário), é possível orientar qualquer curva. Portanto, é possível pensar em cada curva como uma curva orientada. No entanto, esse não é o caso das superfícies. Algumas superfícies não podem ser orientadas; essas superfícies são chamadas de não orientáveis. Essencialmente, uma superfície pode ser orientada se a superfície tiver um lado “interno” e um lado “externo”, ou um lado “para cima” e um lado “para baixo”. Algumas superfícies são torcidas de tal forma que não há uma noção bem definida de um lado “interno” ou “externo”.

O exemplo clássico de uma superfície não orientável é a faixa de Möbius. Para criar uma tira Möbius, pegue uma tira retangular de papel, dê meia torção no pedaço de papel e cole as pontas (Figura\PageIndex{20}). Por causa da meia torção na faixa, a superfície não tem lado “externo” ou lado “interno”. Se você imaginar colocar um vetor normal em um ponto da faixa e fazer com que o vetor viaje ao redor da banda, então (por causa da meia torção) o vetor aponta na direção oposta quando volta à sua posição original. Portanto, a faixa realmente tem apenas um lado.

Uma imagem mostrando a construção de uma faixa Mobius. A primeira etapa mostra um retângulo com os cantos A, B, C e D, rotulado do canto inferior esquerdo para o canto inferior direito no sentido horário. Na segunda etapa, o retângulo é virado ao longo do meio; agora, o canto D está na posição superior direita e o canto C está na posição inferior direita. Podemos ver o lado “traseiro” do retângulo. Na etapa final, o retângulo é enrolado. O canto B se conecta ao canto D e o canto A se conecta ao canto C. O desvio da etapa dois permanece. Mas, a “frente” e a “traseira” agora são as mesmas por causa do flip!
Figura\PageIndex{20}: A construção de uma faixa de Möbius.

Como algumas superfícies não são orientáveis, não é possível definir uma superfície vetorial integral em todas as superfícies lisas por partes. Isso contrasta com as integrais de linha vetorial, que podem ser definidas em qualquer curva suave por partes.

Integral de superfície de um campo vetorial

Com a ideia de superfícies orientáveis no lugar, agora estamos prontos para definir uma superfície integral de um campo vetorial. A definição é análoga à definição do fluxo de um campo vetorial ao longo de uma curva plana. Lembre-se de que se\vecs{F} for um campo vetorial bidimensional eC uma curva plana, então a definição do fluxo de\vecs{F} longoC envolve cortarC em pequenos pedaços, escolher um ponto dentro de cada peça e calcular\vecs{F} \cdot \vecs{N} no ponto (onde\vecs{N} está o vetor normal unitário no ponto). A definição de uma superfície integral de um campo vetorial ocorre da mesma forma, exceto que agora cortamos a superfícieS em pequenos pedaços, escolhemos um ponto na peça pequena (bidimensional) e calculamos\vecs{F} \cdot \vecs{N} no ponto.

Para colocar essa definição em uma configuração do mundo real,S seja uma superfície orientada com vetor normal unitário\vecs{N}. \vecs{v}Seja o campo de velocidade de um fluidoS fluindo e suponha que o fluido tenha densidade\rho(x,y,z) Imagine que o fluido fluiS, masS é completamente permeável para não impedir o fluxo do fluido (Figura\PageIndex{21}). O fluxo de massa do fluido é a taxa de fluxo de massa por unidade de área. O fluxo de massa é medido em massa por unidade de tempo por unidade de área. Como podemos calcular o fluxo de massa do fluidoS?

Um diagrama mostrando o fluido fluindo através de uma superfície completamente permeável S. A superfície S é um retângulo curvado para a direita. As setas apontam para fora da superfície para a direita.
Figura\PageIndex{21}: O fluido flui através de uma superfície completamente permeávelS.

A taxa de fluxo, medida em massa por unidade de tempo por unidade de área, é\rho \vecs N. Para calcular o fluxo de massa transversalS, corteS em pedaços pequenosS_{ij}. SeS_{ij} for pequeno o suficiente, então ele pode ser aproximado por um plano tangenteP em algum pontoS_{ij}. Portanto, o vetor normal unitário atP pode ser usado para aproximar\vecs N(x,y,z) toda a peçaS_{ij} porque o vetor normal para um plano não muda à medida que nos movemos pelo plano. O componente do vetor\rho v em P na direção de\vecs{N} está\rho \vecs v \cdot \vecs N emP. ComoS_{ij} é pequeno, o produto escalar\rho v \cdot N muda muito pouco à medida que variamosS_{ij} e, portanto,\rho \vecs v \cdot \vecs N pode ser considerado aproximadamente constanteS_{ij}. Para aproximar a massa de fluido por unidade de tempo fluindoS_{ij} (e não apenas localmente no pontoP), precisamos multiplicar(\rho \vecs v \cdot \vecs N) (P) pela área deS_{ij}. Portanto, a massa de fluido por unidade de tempo fluindoS_{ij} na direção de\vecs{N} pode ser aproximada por(\rho \vecs v \cdot \vecs N)\Delta S_{ij} onde\vecs{N},\rho e todas\vecs{v} são avaliadas emP (Figura\PageIndex{22}). Isso é análogo ao fluxo do campo\vecs{F} vetorial bidimensional na curva planaC, no qual aproximamos o fluxo em um pequeno pedaçoC com a expressão(\vecs{F} \cdot \vecs{N}) \,\Delta s. Para aproximar o fluxo de massaS, forme a soma

\sum_{i=1}m \sum_{j=1}^n (\rho \vecs{v} \cdot \vecs{N}) \Delta S_{ij}. \nonumber

À medida que as peçasS_{ij} ficam menores, a soma

\sum_{i=1}m \sum_{j=1}^n (\rho \vecs{v} \cdot \vecs{N}) \Delta S_{ij} \nonumber

fica arbitrariamente próximo do fluxo de massa. Portanto, o fluxo de massa é

\iint_s \rho \vecs v \cdot \vecs N \, dS = \lim_{m,n\rightarrow\infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n (\rho \vecs{v} \cdot \vecs{N}) \Delta S_{ij}. \nonumber

Essa é uma superfície integral de um campo vetorial. Deixar o campo vetorial\rho \vecs{v} ser um campo vetorial arbitrário\vecs{F} leva à seguinte definição.

Um diagrama em três dimensões de uma superfície S. Uma pequena seção S_ij é rotulada. Saindo desta seção estão dois vetores, rotulados N e F = v. Os últimos apontam na mesma direção de várias outras setas com componentes z e y positivos, mas componentes x negativos.
Figura\PageIndex{22}: A massa de fluido por unidade de tempo fluindoS_{ij} na direção de\vecs N pode ser aproximada por(\rho \vecs v \cdot \vecs N) \Delta S_{ij}.
Definição: Integrais de superfície

\vecs{F}Seja um campo vetorial contínuo com um domínio que contém superfície orientadaS com vetor normal unitário\vecs{N}. A parte integral da superfície de\vecs{F} overS é

\iint_S \vecs{F} \cdot \vecs{S} = \iint_S \vecs{F} \cdot \vecs{N} \,dS. \label{surfaceI}

Observe o paralelo entre essa definição e a definição de integral de linha vetorial\displaystyle \int_C \vecs F \cdot \vecs N\, dS. Uma integral de superfície de um campo vetorial é definida de forma semelhante a uma integral de linha de fluxo em uma curva, exceto que o domínio de integração é uma superfície (um objeto bidimensional) em vez de uma curva (um objeto unidimensional). Integral\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot \vecs N\, dS é chamado de fluxo\vecs{F} transversalS, assim como integral\displaystyle \int_C \vecs F \cdot \vecs N\,dS é o fluxo da curva\vecs F transversalC. Uma integral de superfície sobre um campo vetorial também é chamada de integral de fluxo.

Assim como com integrais de linha vetorial, a integral de superfície\displaystyle \iint_S \vecs F \cdot \vecs N\, dS é mais fácil de calcular após a superfície terS sido parametrizada. \vecs r(u,v)Seja uma parametrização deS com domínio de parâmetrosD. Então, o vetor normal unitário é dado por\vecs N = \dfrac{\vecs t_u \times \vecs t_v}{||\vecs t_u \times \vecs t_v||} e, da Equação\ ref {surfaceI}, temos

\ [\ begin {align*}\ int_C\ vecs F\ cdot\ vecs N\, dS &=\ Iint_s\ vecs F\ cdot\ dfrac {\ vecs t_u\ times\ vecs t_v} {||\ vecs t_u\ times\ vecs t_v||}\, dS\\ [4pt]
&=\ iInt_d\ esquerda (\ vecs F (\ vecs r (u, v))\ cdot\ dfrac {\ vecs t_u\ times\ vecs t_v} {||\ vecs t_u\ times\ vecs t_v||}\ direita) ||\ vecs t_u \ times\ vecs t_v ||\, dA\\ [4pt]
&=\ Iint_d (\ vecs F (\ vecs r (u, v))\ cdot (\ vecs t_u\ times\ vecs t_v))\, dA. \ end {align*}\]

Portanto, para calcular uma integral de superfície sobre um campo vetorial, podemos usar a equação

\iint_S \vecs F \cdot \vecs N\, dS = \iint_D (\vecs F (\vecs r (u,v)) \cdot (\vecs t_u \times \vecs t_v)) \,dA. \label{equation 5}

Exemplo\PageIndex{13}: Calculating a Surface Integral

Calcule a integral da superfície

\iint_S \vecs F \cdot \vecs N\,dS, \nonumber

onde\vecs{F} = \langle -y,x,0\rangle eS é a superfície com parametrização

\vecs r(u,v) = \langle u,v^2 - u, \, u + v\rangle, \, 0 \leq u \leq 3, \, 0 \leq v \leq 4. \nonumber

Solução

Os vetores tangentes são\vecs t_u = \langle 1,-1,1\rangle\vecs t_v = \langle 0,2v,1\rangle e. Portanto,

\vecs t_u \times \vecs t_v = \langle -1 -2v, -1, 2v\rangle. \nonumber

Pela equação\ ref {equação 5},

\begin{align*} \iint_S \vecs F \cdot dS &= \int_0^4 \int_0^3 F (\vecs r(u,v)) \cdot (\vecs t_u \times \vecs t_v) \, du \,dv \\[4pt] &= \int_0^4 \int_0^3 \langle u - v^2, \, u, \, 0\rangle \cdot \langle -1 -2v, \, -1, \, 2v\rangle \, du\,dv \\[4pt] &= \int_0^4 \int_0^3 [(u - v^2)(-1-2v) - u] \, du\,dv \\[4pt] &= \int_0^4 \int_0^3 (2v^3 + v^2 - 2uv - 2u) \, du\,dv \\[4pt] &= \int_0^4 \left.[2v^3u + v^2u - vu^2 - u^2]\right|_0^3 \, dv \\[4pt] &= \int_0^4 (6v^3 + 3v^2 - 9v - 9) \, dv \\[4pt] &= \left[ \dfrac{3v^4}{2} + v^3 - \dfrac{9v^2}{2} - 9v\right]_0^4\\[4pt] &= 340. \end{align*}

Portanto, o fluxo de\vecs{F} cruzamentoS é 340.

Exercício\PageIndex{12}

\vecs F = \langle 0, -z, y \rangleCalcule a integral da superfície\iint_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS, \nonumber onde eS é a porção da esfera unitária no primeiro octante com orientação externa.

Dica

Use a Equação\ ref {equação 5}.

Responda

0

Exemplo\PageIndex{14}:Calculating Mass Flow Rate

Vamos\vecs v(x,y,z) = \langle 2x, \, 2y, \, z\rangle representar um campo de velocidade (com unidades de metros por segundo) de um fluido com densidade constante 80 kg/m 3. SSeja um hemisfériox^2 + y^2 + z^2 = 9 comz \leq 0 um queS esteja orientado para fora. Encontre a taxa de fluxo de massa do fluidoS.

Solução

A parametrização da superfície é

\vecs r(\phi, \theta) = \langle 3 \, \cos \theta \, \sin \phi, \, 3 \, \sin \theta \, \sin \phi, \, 3 \, \cos \phi \rangle, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq \phi \leq \pi/2. \nonumber

Como no exemplo, os vetores tangentes são\vecs t_{\theta} = \langle -3 \, \sin \theta \, \sin \phi, \, 3 \, \cos \theta \, \sin \phi, \, 0 \rangle e \vecs t_{\phi} = \langle 3 \, \cos \theta \, \cos \phi, \, 3 \, \sin \theta \, \cos \phi, \, -3 \, \sin \phi \rangle, e seu produto cruzado é

\vecs t_{\phi} \times \vecs t_{\theta} = \langle 9 \, \cos \theta \, \sin^2 \phi, \, 9 \, \sin \theta \, \sin^2 \phi, \, 9 \, \sin \phi \, \cos \phi \rangle. \nonumber

Observe que cada componente do produto cruzado é positivo e, portanto, esse vetor fornece a orientação externa. Portanto, usamos a orientação

\vecs N = \langle 9 \, \cos \theta \, \sin^2 \phi, \, 9 \, \sin \theta \, \sin^2 \phi, \, 9 \, \sin \phi \, \cos \phi \rangle

para a esfera.

Por\ label {surfaceI},

\ [\ begin {align*}\ Iint_s\ rho v\ cdot\, dS &= 80\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^ {\ pi/2} v (r (\ phi,\ theta))\ cdot (t_ {\ phi}\ times t_ {\ theta})\, d\ phi\, d\ theta\
&= 80\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^ {\ pi/2}\ langle 6\,\ cos\ theta\,\ sin\ phi,\, 6\,\ sin\ theta\,\ sin\ phi,\, 3\,\ cos\ phi\ rangle\ cdot\ langle 9\,\ cos\ theta\,\ sin^2\ phi,\, 9\,\ sin\ theta\,\ sin^2\ phi,\, 9\,\ sin\ phi\,\ cos\ phi\ rangle\, d\ phi\, d\ theta\\
&= 80\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^ {\ pi/2} 54\,\ sin^3\ phi + 27\,\ cos^2\ phi\,\ sin\ phi\, d\ phi\, d\ theta\\
&= 80\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^ {\ pi/2} 54 (1 -\ cos^2\ phi)\,\ sin\ phi + 27\ cos^2\ phi\,\ sin\ phi\, d\ phi\, d\ theta\\
&= 80\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^ {\ pi/2} 54\,\ sin\ phi - 27,\ cos^2\ phi\,\ sin\ phi\, d\ phi\, d\ theta\\
&= 80\ int_0^ {2\ pi}\ Grande [-54\,\ cos\ phi + 9\,\ cos^3\ phi\ Big] _ {\ phi =0} ^ {\ phi=2\ pi}\, d\ theta\\
&=80\ int_0^ {2\ pi} 45\, d\ theta\\
&= 7200\ pi. \ end {align*}\ nonumber\]

Portanto, a taxa de fluxo de massa é7200\pi \, \text{kg/sec/m}^2.

Exercício\PageIndex{13}

Deixe\vecs v(x,y,z) = \langle x^2 + y^2, \, z, \, 4y \rangle m/seg representar um campo de velocidade de um fluido com densidade constante de 100 kg/m 3. SSeja o meio cilindro\vecs r(u,v) = \langle \cos u, \, \sin u, \, v \rangle, \, 0 \leq u \leq \pi, \, 0 \leq v \leq 2 orientado para fora. Calcule o fluxo de massa do fluido transversalmenteS.

Dica

Use\ label {surfaceI}.

Responda

400 kg/seg/m

No exemplo\PageIndex{14}, calculamos o fluxo de massa, que é a taxa de fluxo de massa por unidade de área. Se quisermos encontrar a taxa de fluxo (medida em volume por tempo), podemos usar a integral de fluxo

\iint_S \vecs v \cdot \vecs N \, dS, \nonumber

o que deixa de fora a densidade. Como a vazão de um fluido é medida em volume por unidade de tempo, a vazão não leva em consideração a massa. Portanto, temos a seguinte caracterização da taxa de fluxo de um fluido com velocidade\vecs v em uma superfícieS:

\text{Flow rate of fluid across S} = \iint_S \vecs v \cdot dS. \nonumber

Para calcular a taxa de fluxo do fluido no exemplo, simplesmente removemos a constante de densidade, que fornece uma taxa de fluxo de90 \pi \, m^3/sec.

Tanto o fluxo de massa quanto a taxa de fluxo são importantes em física e engenharia. O fluxo de massa mede a quantidade de massa que está fluindo em uma superfície; a taxa de fluxo mede quanto volume de fluido está fluindo em uma superfície.

Além de modelar o fluxo de fluido, as integrais de superfície podem ser usadas para modelar o fluxo de calor. Suponha que a temperatura(x,y,z) no ponto de um objeto sejaT(x,y,z). Então, o fluxo de calor é um campo vetorial proporcional ao gradiente negativo de temperatura no objeto. Para ser preciso, o fluxo de calor é definido como campo vetorialF = - k \nabla T, onde a constante k é a condutividade térmica da substância da qual o objeto é feito (essa constante é determinada experimentalmente). A taxa de fluxo de calor através da superfície S no objeto é dada pela integral de fluxo

\iint_S \vecs F \cdot dS = \iint_S -k \vecs \nabla T \cdot dS. \nonumber

Exemplo\PageIndex{15}: Calculating Heat Flow

Um cilindro sólido de ferro fundido é dado por desigualdadesx^2 + y^2 \leq 1, \, 1 \leq z \leq 4. A temperatura em um ponto(x,y,z) em uma região que contém o cilindro éT(x,y,z) = (x^2 + y^2)z. Dado que a condutividade térmica do ferro fundido é 55, determine o fluxo de calor através do limite do sólido se esse limite estiver orientado para fora.

Solução

VamosS indicar o limite do objeto. Para encontrar o fluxo de calor, precisamos calcular a integral do fluxo.\iint_S -k\vecs \nabla T \cdot dS. \nonumber Observe que nãoS é uma superfície lisa, mas é lisa por partes, poisS é a união de três superfícies lisas (a parte superior e inferior circulares e o lado cilíndrico). Portanto, calculamos três integrais separadas, uma para cada peça lisa deS. Antes de calcular qualquer integral, observe que o gradiente da temperatura é\vecs \nabla T = \langle 2xz, \, 2yz, \, x^2 + y^2 \rangle.

Primeiro, consideramos a parte inferior circular do objeto, que denotamosS_1. Podemos ver queS_1 é um círculo de raio 1 centrado no ponto(0,0,1) sentado no planoz = 1. Esta superfície tem parametrização\vecs r(u,v) = \langle v \, \cos u, \, v \, \sin u, \, 1 \rangle, \, 0 \leq u < 2\pi, \, 0 \leq v \leq 1.

Portanto,

\vecs t_u = \langle -v \, \sin u, \, v \, \cos u, \, 0 \ranglee\vecs t_v = \langle \cos u, \, v \, \sin u, \, 0 \rangle,\vecs t_u \times \vecs t_v = \langle 0, \, 0, -v \, \sin^2 u - v \, \cos^2 u \rangle = \langle 0, \, 0, -v \rangle e.

Como a superfície está orientada para fora eS_1 é a parte inferior do objeto, faz sentido que esse vetor aponte para baixo. Por equação, o fluxo de calorS_1 é

\begin{align*}\iint_{S_1} -k \vecs \nabla T \cdot dS &= - 55 \int_0^{2\pi} \int_0^1 \vecs \nabla T(u,v) \cdot (\vecs t_u \times \vecs t_v) \, dv\, du \\[4pt] &= - 55 \int_0^{2\pi} \int_0^1 \langle 2v \, \cos u, \, 2v \, \sin u, \, v^2 \cos^2 u + v^2 \sin^2 u \rangle \cdot \langle 0,0, -v\rangle \, dv \,du \\[4pt] &= - 55 \int_0^{2\pi} \int_0^1 \langle 2v \, \cos u, \, 2v \, \sin u, \, v^2\rangle \cdot \langle 0, 0, -v \rangle \, dv\, du \\[4pt] &= - 55 \int_0^{2\pi} \int_0^1 -v^3 \, dv\, du \\[4pt] &= - 55 \int_0^{2\pi} -\dfrac{1}{4} du \\[4pt] &= \dfrac{55\pi}{2}.\end{align*}

Agora vamos considerar a parte superior circular do objeto, que denotamosS_2. Vemos queS_2 é um círculo de raio 1 centrado no ponto(0,0,4), sentado no planoz = 4. Esta superfície tem parametrização\vecs r(u,v) = \langle v \, \cos u, \, v \, \sin u, \, 4 \rangle, \, 0 \leq u < 2\pi, \, 0 \leq v \leq 1.

Portanto,\vecs t_u = \langle -v \, \sin u, \, v \, \cos u, \, 0 \rangle e\vecs t_v = \langle \cos u, \, v \, \sin u, \, 0 \rangle ,\vecs t_u \times \vecs t_v = \langle 0, \, 0, -v \, \sin^2 u - v \, \cos^2 u \rangle = \langle 0,0,-v\rangle e.

Como a superfície é orientada para fora eS_1 é a parte superior do objeto, em vez disso, tomamos o vetor\vecs t_v \times \vecs t_u = \langle 0,0,v\rangle. Por equação, o fluxo de calorS_1 é

\ [\ begin {align*}\ iint_ {S_2} -k\ vecs\ nabla T\ cdot dS &= - 55\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^1\ vecs\ nabla T (u, v)\ cdot\, (\ vecs t_u\ times\ vecs t_v)\, dv\, du\\ [4pt]
&= - 55\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^1\ langle 8v\,\ cos u,\, 8v\,\ sin u,\, v^2\ cos^2 u + v^2\ sin^2 u\ rangle\ cdot\ langle 0,0, -v\ rangle\, dv\, du\\ [4pt]
&= - 55\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^1\ langle 8v\,\ cos u,\, 8v\,\ sin u,\, v^2\ rangle\ cdot\ langle 0, 0, -v\ rangle\,\, dv\, du\\ [4 pt]
&= - 55\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^1 -v^3\, dv\, du = - 55\ int_0^ {2\ pi} -\ dfrac {1} {4}\, du = -\ dfrac {55\ pi} {2}. \ end {align*}\]

Por último, vamos considerar o lado cilíndrico do objeto. Essa superfície tem parametrização\vecs r(u,v) = \langle \cos u, \, \sin u, \, v \rangle, \, 0 \leq u < 2\pi, \, 1 \leq v \leq 4. Por exemplo, sabemos disso\vecs t_u \times \vecs t_v = \langle \cos u, \, \sin u, \, 0 \rangle. Por equação,

\ [\ begin {align*}\ iint_ {S_3} -k\ vecs\ nabla T\ cdot dS &= - 55\ int_0^ {2\ pi}\ int_1^4\ vecs\ nabla T (u, v)\ cdot (\ vecs t_u\ times\ vecs t_v)\, dv\, du\\ [4pt]
= - 55\ int_0^ {2\ pi}\ int_1^4\ langle 2v\,\ cos u,\, 2v\,\ sin u,\ cos^2 u +\ sin^2 u\ rangle\ cdot\ langle\ cos u,\,\ sin u,\, 0\ rangle\, dv\, du\\ [4pt]
&= - 55\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^1\ langle 2v\,\ cos^2 u,\, 2v\,\ sin u,\, 1\ rangle\ cdot\ langle\ cos u,\,\ sin u,\, 0\ rangle\, dv\,\, du\\ [4pt]
&= - 55\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^1 (2v\,\ cos^2 u + 2v\,\ sin^2 u)\, dv\, du\\ [4pt]
&= - 55\ int_0^ {2\ pi}\ int_0^1 2v\, dv\, du\\ [4pt]
&= -55\ int_0^ {2\ pi} du\\ [4pt]
&= -110\ pi. \ end {align*}\]

Portanto, a taxa de fluxo de calorS é

\dfrac{55\pi}{2} - \dfrac{55\pi}{2} - 110\pi = -110\pi. \nonumber

Exercício\PageIndex{14}

Uma bola sólida de ferro fundido é dada pela desigualdadex^2 + y^2 + z^2 \leq 1. A temperatura em um ponto em uma região que contém a bola éT(x,y,z) = \dfrac{1}{3}(x^2 + y^2 + z^2). Encontre o fluxo de calor através do limite do sólido se esse limite estiver orientado para fora.

Dica

Siga as etapas do Exemplo\PageIndex{15}.

Responda

-\dfrac{440\pi}{3}

Conceitos-chave

  • As superfícies podem ser parametrizadas, assim como as curvas podem ser parametrizadas. Em geral, as superfícies devem ser parametrizadas com dois parâmetros.
  • Às vezes, as superfícies podem ser orientadas, assim como as curvas podem ser orientadas. Algumas superfícies, como uma faixa de Möbius, não podem ser orientadas.
  • Uma integral de superfície é como uma integral de linha em uma dimensão superior. O domínio de integração de uma integral de superfície é uma superfície em um plano ou espaço, em vez de uma curva em um plano ou espaço.
  • O integrando de uma integral de superfície pode ser uma função escalar ou um campo vetorial. Para calcular uma integral de superfície com um integrando que é uma função, use Equação. Para calcular uma integral de superfície com um integrando que é um campo vetorial, use Equação.
  • SeS for uma superfície, então a área deS é\iint_S \, dS. \nonumber

Equações-chave

  • Uma superfície calar integral

\iint_S f(x,y,z) \,dS = \iint_D f (\vecs r(u,v)) ||\vecs t_u \times \vecs t_v||\,dA \nonumber

  • Fluxo integral

\iint_S \vecs F \cdot \vecs N \, dS = \iint_S \vecs F \cdot dS = \iint_D \vecs F (\vecs r (u,v)) \cdot (\vecs t_u \times \vecs t_v) \, dA \nonumber

Glossário

integral de fluxo
outro nome para uma superfície integral de um campo vetorial; o termo preferido em física e engenharia
curvas de grade
curvas em uma superfície que são paralelas às linhas de grade em um plano coordenado
fluxo de calor
um campo vetorial proporcional ao gradiente negativo de temperatura em um objeto
fluxo de massa
a taxa de fluxo de massa de um fluido por unidade de área, medida em massa por unidade de tempo por unidade de área
orientação de uma superfície
se uma superfície tem um lado “interno” e um lado “externo”, então uma orientação é uma escolha do lado interno ou externo; a superfície também pode ter orientações “para cima” e “para baixo”
domínio de parâmetros (espaço de parâmetros)
a região douv plano -sobre a qual os parâmetrosuv variam para parametrização\vecs r(u,v) = \langle x(u,v), \, y(u,v), \, z(u,v)\rangle
superfície parametrizada (superfície paramétrica)
uma superfície dada por uma descrição do formulário\vecs r(u,v) = \langle x(u,v), \, y(u,v), \, z(u,v)\rangle, em queu os parâmetrosv variam em um domínio de parâmetros nouv plano -
parametrização regular
parametrização de\vecs r(u,v) = \langle x(u,v), \, y(u,v), \, z(u,v)\rangle forma que nãor_u \times r_v seja zero para o ponto(u,v) no domínio do parâmetro
área de superfície
a área da superfícieS dada pela integral da superfície\iint_S \,dS \nonumber
superfície integral
uma integral de uma função sobre uma superfície
integral de superfície de uma função de valor escalar
uma integral de superfície na qual o integrando é uma função escalar
integral de superfície de um campo vetorial
uma integral de superfície na qual o integrando é um campo vetorial