16 : Calcul vectoriel
- Page ID
- 197792
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
Dans ce chapitre, nous apprenons à modéliser de nouveaux types d'intégrales sur des champs tels que les champs magnétiques, les champs gravitationnels ou les champs de vitesse. Nous apprenons également à calculer le travail effectué sur une particule chargée se déplaçant dans un champ magnétique, le travail effectué sur une particule dont la masse se déplace dans un champ gravitationnel et le volume par unité de temps d'eau s'écoulant à travers un filet jeté dans une rivière. Toutes ces applications sont basées sur le concept d'un champ vectoriel.
- 16.0 : Prélude au calcul vectoriel
- Les champs vectoriels ont de nombreuses applications car ils peuvent être utilisés pour modéliser des champs réels tels que des champs électromagnétiques ou gravitationnels. Une compréhension approfondie de la physique ou de l'ingénierie est impossible sans une compréhension des champs vectoriels. De plus, les champs vectoriels possèdent des propriétés mathématiques qui méritent d'être étudiées en tant que telles. En particulier, les champs vectoriels peuvent être utilisés pour développer plusieurs versions plus dimensionnelles du théorème fondamental du calcul.
- 16.1 : Champs vectoriels
- Les champs vectoriels constituent un outil important pour décrire de nombreux concepts physiques, tels que la gravitation et l'électromagnétisme, qui influent sur le comportement des objets sur une grande région d'un plan ou de l'espace. Ils sont également utiles pour faire face à des comportements à grande échelle tels que les tempêtes atmosphériques ou les courants océaniques profonds. Dans cette section, nous examinons les définitions de base et les graphiques des champs vectoriels afin de pouvoir les étudier plus en détail dans la suite de ce chapitre.
- 16.2 : Intégrales de ligne
- Les intégrales linéaires ont de nombreuses applications en ingénierie et en physique. Ils nous permettent également de faire plusieurs généralisations utiles du théorème fondamental du calcul. De plus, ils sont étroitement liés aux propriétés des champs vectoriels, comme nous le verrons.
- 16.3 : Champs vectoriels conservateurs
- Dans cette section, nous poursuivons l'étude des champs vectoriels conservateurs. Nous examinons le théorème fondamental des intégrales linéaires, qui est une généralisation utile du théorème fondamental du calcul aux intégrales linéaires de champs vectoriels conservateurs. Nous découvrons également comment tester si un champ vectoriel donné est conservateur et comment construire une fonction potentielle pour un champ vectoriel connu pour être conservateur.
- 16.4 : Théorème de Green
- Le théorème de Green est une extension du théorème fondamental du calcul à deux dimensions. Il a deux formes : une forme de circulation et une forme de flux, qui nécessitent toutes deux qu'une\(D\) région de la double intégrale soit simplement connectée. Cependant, nous étendrons le théorème de Green aux régions qui ne sont pas simplement connectées. Le théorème de Green met en relation une droite intégrale autour d'une courbe plane simplement fermée\(C\) et une intégrale double sur la région délimitée par\(C\).
- 16.5 : Divergence et courbure
- La divergence et la courbure sont deux opérations importantes sur un champ vectoriel. Ils sont importants dans le domaine du calcul pour plusieurs raisons, notamment l'utilisation de la courbure et de la divergence pour développer certaines versions plus dimensionnelles du théorème fondamental du calcul. De plus, la courbure et la divergence apparaissent dans les descriptions mathématiques de la mécanique des fluides, de l'électromagnétisme et de la théorie de l'élasticité, qui sont des concepts importants en physique et en ingénierie.
- 16.6 : Intégrales de surface
- Si nous voulons nous intégrer sur une surface (un objet bidimensionnel) plutôt que sur un chemin (un objet unidimensionnel) dans l'espace, nous avons besoin d'un nouveau type d'intégrale. Nous pouvons étendre le concept d'une ligne intégrale à une intégrale de surface pour nous permettre de réaliser cette intégration. Les intégrales de surface sont importantes pour les mêmes raisons que les intégrales linéaires. Ils ont de nombreuses applications en physique et en génie, et ils nous permettent d'étendre le théorème fondamental du calcul à des dimensions supérieures.
- 16.7 : Théorème de Stokes
- Dans cette section, nous étudions le théorème de Stokes, une généralisation dimensionnelle supérieure du théorème de Green. Ce théorème, comme le théorème fondamental des intégrales linéaires et le théorème de Green, est une généralisation du théorème fondamental du calcul à des dimensions supérieures. Le théorème de Stokes met en relation une intégrale de surface vectorielle au-dessus de la surface S dans l'espace à une intégrale droite autour de la limite de S.
- 16.8 : Le théorème de divergence
- Nous avons examiné plusieurs versions du théorème fondamental du calcul en dimensions supérieures qui relient l'intégrale autour d'une limite orientée d'un domaine à une « dérivée » de cette entité sur le domaine orienté. Dans cette section, nous exposons le théorème de divergence, qui est le théorème final de ce type que nous allons étudier.
Miniature : Surface\(Σ\) avec limite fermée\(∂Σ\). \(\vec{F}\)il peut s'agir des\(\vec{B}\) champs\(\vec{E}\) ou. \(n\)est-ce que l'unité est normale. (Domaine public ; Maschen).