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15.8 : Exercices de révision du chapitre 15

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    Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple.

    1. \(\displaystyle ∫_a^b∫_c^d f(x,y) \, dy \, dx = ∫_c^d∫_a^b f(x,y) \, dy \, dx\)

    2. Le théorème de Fubini peut être étendu à trois dimensions, à condition qu'\(f\)il soit continu dans toutes les variables.

    Réponse
    Vrai

    3. L'intégrale\(\displaystyle ∫_0^{2π}∫_0^1∫_r^1 \,dz \, dr \, dθ\) représente le volume d'un cône droit.

    4. Le jacobien de la transformation pour\(x=u^2−2v, \, y=3v−2uv\) est donné par\(−4u^2+6u+4v.\)

    Réponse
    Faux

    Évaluez les intégrales suivantes.

    5. \(\displaystyle \iint_R (5x^3y^2−y^2) \, dA,\)où\(R=\big\{(x,y) \,|\, 0≤x≤2,\, 1≤y≤4\big\}\)

    6. \(\displaystyle \iint_D \dfrac{y}{3x^2+1} \, dA,\)où\( D=\big\{(x,y) \,|\, 0≤x≤1, \, −x≤y≤x\big\}\)

    Réponse
    \(0\)

    7. \(\displaystyle \iint_D \sin(x^2+y^2) \, dA\)où\(D\) est un disque de rayon\(2\) centré à l'origine.

    8. \(\displaystyle \int_0^1\int_y^1 xye^{x^2}\,dx \, dy\)

    Réponse
    \(\frac{1}{4}\)

    9. \(\displaystyle \int_{−1}^1\int_0^z\int_0^{x−z} 6 \, dy \, dx\, dz\)

    10. \(\displaystyle \iiint_R 3y \, dV,\)où\(R=\big\{(x,y,z) \,|\, 0≤x≤1, \, 0≤y≤x, \, 0≤z≤9−y^2\big\}\)

    Réponse
    \(1.475\)

    11. \(\displaystyle \int_0^2\int_0^{2π}\int_r^1 r \, dz \, dθ \, dr\)

    12. \(\displaystyle \int_0^{2π}\int_0^{π/2}\int_1^3 ρ^2\sin(φ) \, dρ \, dφ \, dθ\)

    Réponse
    \(\frac{52\pi}{3}\)

    13. \(\displaystyle \int_0^1\int_{−\sqrt{1−x^2}}^{\sqrt{1−x^2}}\int_{−\sqrt{1−x^2−y^2}}^{\sqrt{1−x^2−y^2}} \, dz \, dy \, dx\)

    Pour les problèmes suivants, recherchez la zone ou le volume spécifié.

    14. La zone de région entourée par un pétale de\(r=\cos(4θ).\)

    Réponse
    \(\frac{\pi}{16} \text{ units}^3\)

    15. Le volume du solide situé entre le paraboloïde\(z=2x^2+2y^2\) et le plan\(z=8.\)

    16. Le volume du solide délimité par le cylindre\(x^2+y^2=16\) et compris entre\(z=1\) et\(z+x=2.\)

    Réponse
    \(93.291 \text{ units}^3\)

    17. Le volume de l'intersection entre deux sphères de rayon,\(1,\) la plus haute dont le centre est\((0,\,0,\,0.25)\) et la partie inférieure, qui est centrée sur\((0,\,0,\,0).\)

    Pour les problèmes suivants, trouvez le centre de gravité de la région.

    18. \(ρ(x,y)=xy\)sur le cercle dont le rayon\(1\) se trouve dans le premier quadrant uniquement.

    Réponse
    \( \left( \frac{8}{15}, \, \frac{8}{15} \right) \)

    19. \(ρ(x,y)=(y+1)\sqrt{x}\)dans la région délimitée par\(y=e^x, \, y=0,\) et\(x=1.\)

    20. \(ρ(x,y,z)=z\)sur le cône inversé avec rayon\(2\) et hauteur\(2.\)

    Réponse
    \( \left( 0, \, 0, \, \frac{8}{5} \right) \)

    21. Le volume d'un cornet de crème glacée qui est donné par le solide au-dessus\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) et en dessous\(z^2+x^2+y^2=z.\)

    Les problèmes suivants examinent le mont Holly dans l'État du Michigan. Mount Holly est une décharge qui a été convertie en station de ski. La forme du mont Holly peut être approximée par un cône circulaire droit d'une hauteur de 1 100 pieds et d'un rayon de 6 000 pieds.

    22. Si les déchets compactés utilisés pour construire le mont Holly ont une densité moyenne,\(400\text{ lb/ft}^3,\) trouvez la quantité de travail requise pour construire la montagne.

    Réponse
    \(1.452\pi \times 10^{15}\)pied-lb

    23. En réalité, il est fort probable que les déchets au pied du mont Holly soient devenus plus compacts avec tout le poids des déchets ci-dessus. Considérons une fonction de densité par rapport à la hauteur : la densité au sommet de la montagne est toujours de la densité\(400\text{ lb/ft}^3,\) et la densité augmente. Tous les 100 pieds de profondeur, la densité double. Quel est le poids total du mont Holly ?

    Les problèmes suivants concernent la température et la densité des couches de la Terre.

    24. [T] La température des couches de la Terre est présentée dans le tableau ci-dessous. Utilisez votre calculatrice pour ajuster un polynôme de degré 3 à la température le long du rayon de la Terre. Déterminez ensuite la température moyenne de la Terre. (Conseil : commencez à 0 dans le noyau interne et augmentez vers l'extérieur en direction de la surface)

    Une source : http://www.enchantedlearning.com/sub...h/Inside.shtml
    Couche Profondeur à partir du centre (km) Température °C
    Croûte rocheuse 0 à 40 0
    Manteau supérieur 40 à 150 870
    Manteau 400 à 650 870
    Manteau intérieur 650 à 2700 870
    Noyau extérieur fondu 290 à 5150 4300
    Noyau intérieur 5150 à 6378 7200
    Réponse
    \(y=−1.238×10^{−7}x^3+0.001196x^2−3.666x+7208\);
    La température moyenne est d'environ 2800 °C.

    25. [T] La densité des couches de la Terre est affichée dans le tableau ci-dessous. À l'aide de votre calculatrice ou d'un programme informatique, trouvez l'équation quadratique la mieux adaptée à la densité. À l'aide de cette équation, déterminez la masse totale de la Terre.

    Une source : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...rthstruct.html
    Couche Profondeur à partir du centre (km) Densité (\(\text{g/cm}^3\))
    Noyau intérieur 0 \ (\ text {g/cm} ^3 \)) » validation des données = « top">12,95
    Noyau extérieur 1228 \ (\ text {g/cm} ^3 \)) » validation des données = « top">11.05
    Manteau 3488 \ (\ text {g/cm} ^3 \)) » validation des données = « top">5.00
    Manteau supérieur 6338 \ (\ text {g/cm} ^3 \)) » validation des données = « top">3,90
    Croûte 6378 \ (\ text {g/cm} ^3 \)) » validation des données = « top">2.55

    Les problèmes suivants concernent le théorème de Pappus (voir Moments et centres de masse pour un rappel), une méthode de calcul du volume à l'aide de centroïdes. En supposant une région\(R,\) lorsque vous tournez autour de l'\(x\)axe -par laquelle le volume est donné\(V_x=2πA\overline{y},\) et lorsque vous tournez autour de l'\(y\)axe -, le volume est donné par\(V_y=2πA\overline{x},\) où se\(A\) trouve la zone de\(R.\) Considérez la région délimitée par\(x^2+y^2=1\) et au-dessus\(y=x+1.\)

    26. Trouvez le volume lorsque vous faites pivoter la région autour de l'\(x\)axe.

    Réponse
    \(\frac{\pi}{3} \text{ units}^3\)

    27. Trouvez le volume lorsque vous faites pivoter la région autour de l'\(y\)axe.