15 : Intégration multiple
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Dans ce chapitre, nous étendons le concept d'intégrale définie d'une variable unique aux intégrales doubles et triples des fonctions de deux et trois variables, respectivement. Nous examinons les applications impliquant l'intégration pour calculer les volumes, les masses et les centroïdes de régions plus générales. Nous verrons également comment l'utilisation d'autres systèmes de coordonnées (tels que les coordonnées polaires, cylindriques et sphériques) simplifie le calcul de multiples intégrales sur certains types de régions et de fonctions. Dans le chapitre précédent, nous avons discuté du calcul différentiel avec de multiples variables indépendantes. Nous examinons maintenant le calcul intégral en plusieurs dimensions. Tout comme une dérivée partielle nous permet de différencier une fonction par rapport à une variable tout en maintenant les autres variables constantes, nous verrons qu'une intégrale itérée nous permet d'intégrer une fonction par rapport à une variable tout en maintenant les autres variables constantes.
- 15.0 : Prélude à une intégration multiple
- Dans le chapitre précédent, nous avons discuté du calcul différentiel avec de multiples variables indépendantes. Nous examinons maintenant le calcul intégral en plusieurs dimensions. Tout comme une dérivée partielle nous permet de différencier une fonction par rapport à une variable tout en maintenant les autres variables constantes, nous verrons qu'une intégrale itérée nous permet d'intégrer une fonction par rapport à une variable tout en maintenant les autres variables constantes.
- 15.1 : Intégrales doubles sur des régions rectangulaires
- Dans cette section, nous étudions les intégrales doubles et montrons comment les utiliser pour déterminer le volume d'un solide sur une région rectangulaire du plan xyxy. De nombreuses propriétés des intégrales doubles sont similaires à celles que nous avons déjà discutées pour les intégrales simples.
- 15.2 : Intégrales doubles sur les régions générales
- Dans cette section, nous examinons les intégrales doubles de fonctions définies sur une région délimitée générale D sur le plan. La plupart des résultats précédents s'appliquent également à cette situation, mais certaines techniques doivent être étendues pour couvrir ce cas plus général.
- 15.3 : Intégrales doubles en coordonnées polaires
- Les intégrales doubles sont parfois beaucoup plus faciles à évaluer si nous changeons les coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires. Cependant, avant de décrire comment effectuer ce changement, nous devons établir le concept d'une double intégrale dans une région rectangulaire polaire.
- 15.4 : Intégrales triples
- Dans Double Integrals over Rectangular Regions, nous avons discuté de la double intégrale d'une fonction f (x, y) de deux variables sur une région rectangulaire du plan. Dans cette section, nous définissons l'intégrale triple d'une fonction f (x, y, z) de trois variables sur une boîte pleine rectangulaire dans l'espace, R³. Plus loin dans cette section, nous étendons la définition à des régions plus générales en R³.
- 15.5 : Intégrales triples en coordonnées cylindriques et sphériques
- Dans cette section, nous convertissons des intégrales triples en coordonnées rectangulaires en une intégrale triple en coordonnées cylindriques ou sphériques.
- 15.6 : Calcul des centres de masse et des moments d'inertie
- Dans cette section, nous développons des techniques informatiques pour déterminer le centre de masse et les moments d'inertie de plusieurs types d'objets physiques, en utilisant des intégrales doubles pour une lame (plaque plate) et des intégrales triples pour un objet tridimensionnel à densité variable. La densité est généralement considérée comme un nombre constant lorsque la lame ou l'objet est homogène, c'est-à-dire que l'objet a une densité uniforme.
- 15.7 : Modification des variables dans plusieurs intégrales
- Lorsque nous résolvons des problèmes d'intégration, nous effectuons des substitutions appropriées pour obtenir une intégrale qui devient beaucoup plus simple que l'intégrale d'origine. Nous avons également utilisé cette idée lorsque nous avons transformé des intégrales doubles en coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires et transformé des intégrales triples en coordonnées rectangulaires en coordonnées cylindriques ou sphériques pour simplifier les calculs.
Miniature : double intégrale représentant le volume sous une surface\(z = 10 − x^2 − y^2/8\). La région rectangulaire en bas du corps est le domaine d'intégration, tandis que la surface est le graphe de la fonction à deux variables à intégrer. (Domaine public ; Oleg Alexandrov).