14.9 : Exercices de révision du chapitre 14

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Pour les exercices suivants, déterminez si l'énoncé est vrai ou faux. Justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple.

1. Le domaine de$f(x,y)=x^3\arcsin(y)$ est$ \big\{ (x,y) \, | \, x \in \mathbb R\text{ and }−\pi≤y≤\pi \big\}.$

2. Si la fonction$f(x,y)$ est continue partout, alors$f_{xy}(x,y) =f_{yx}(x,y).$

Réponse: C'est vrai, selon le théorème de Clairaut

3. L'approximation linéaire de la fonction de$f(x,y)=5x^2+x\tan y$ au point$(2,π)$ est donnée par$L(x,y)=22+21(x−2)+(y−π).$

4. $(34,916)$est un point critique de$g(x,y)=4x^3−2x^2y+y^2−2.$

Réponse: Faux

Pour les exercices suivants, esquissez la fonction dans un graphique et, dans un second, esquissez plusieurs courbes de niveau.

5. $f(x,y)=e^{−\left(x^2+2y^2\right)}$

6. $f(x,y)=x+4y^2$

Réponse: $Diagramme de contour pour la fonction z = x + 4y^2$

Pour les exercices suivants, évaluez les limites suivantes, si elles existent. S'ils n'existent pas, prouvez-le.

7. $\displaystyle \lim_{(x,y)→(1,1)}\frac{4xy}{x−2y^2}$

8. $\displaystyle \lim_{(x,y)→(0,0)}\frac{4xy}{x−2y^2}$

Réponse: N'existe pas.

Pour les exercices suivants, déterminez le plus grand intervalle de continuité pour la fonction.

9. $f(x,y)=x^3\arcsin y$

10. $g(x,y)=\ln(4−x^2−y^2)$

Réponse: Continu en tous points du$xy$ plan, sauf là où$x^2 + y^2 > 4.$

Pour les exercices suivants, trouvez toutes les premières dérivées partielles.

11. $f(x,y)=x^2−y^2$

12. $u(x,y)=x^4−3xy+1,$avec$x=2t$ et$y=t^3$

Réponse: $\dfrac{∂u}{∂x}=4x^3−3y,$

$ \dfrac{∂u}{∂y}=−3x,$

$\dfrac{dx}{dt} = 2$et$\dfrac{dy}{dt} = 3t^2$

\ (\ begin {align*} \ dfrac {du} {dt} &= \ dfrac {tra-u} {δx} \ cdot \ dfrac {dx} {dt} + \ dfrac
{ 8x^3 -6y -9xt^2 \ \ [4 points]
&= 8 \ gros (2 t \ gros) ^3 - 6 (t^3) - 9 (2 t) t^2 \ \ [4 points]
&= 64 t^3 - 6 t^3 - 18 t^3 \ \ [4 points]
&= 40t^3 \ end {align*} \)

Pour les exercices suivants, trouvez toutes les dérivées partielles secondaires.

13. $g(t,x)=3t^2−\sin(x+t)$

14. $h(x,y,z)=\dfrac{x^3e^{2y}}{z}$

Réponse: $h_{xx}(x,y,z) = \dfrac{6xe^{2y}}{z},$
$h_{xy}(x,y,z) = \dfrac{6x^2e^{2y}}{z},$
$h_{xz}(x,y,z) = −\dfrac{3x^2e^{2y}}{z^2},$
$h_{yx}(x,y,z) = \dfrac{6x^2e^{2y}}{z},$
$h_{yy}(x,y,z) = \dfrac{4x^3e^{2y}}{z},$
$h_{yz}(x,y,z) = −\dfrac{2x^3e^{2y}}{z^2},$
$h_{zx}(x,y,z) = −\dfrac{3x^2e^{2y}}{z^2},$
$h_{zy}(x,y,z) = −\dfrac{2x^3e^{2y}}{z^2},$
$h_{zz}(x,y,z) = \dfrac{2x^3e^{2y}}{z^3}$

Pour les exercices suivants, trouvez l'équation du plan tangent à la surface spécifiée au point donné.

15. $z=x^3−2y^2+y−1$au point$(1,1,−1)$

16. $z=e^x+\dfrac{2}{y}$au point$(0,1,3)$

Réponse: $z = x - 2y + 5$

17. Approximative$f(x,y)=e^{x^2}+\sqrt{y}$ à$(0.1,9.1).$ Notez votre fonction d'approximation linéaire$L(x,y).$ Quelle est la précision de l'approximation de la réponse exacte, arrondie à quatre chiffres ?

18. Trouvez le différentiel$dz$ de$h(x,y)=4x^2+2xy−3y$ et$Δz$ approximez le point$(1,−2).$$Δx=0.1$ Let et$Δy=0.01.$

Réponse: $dz=4\,dx−dy, \; dz(0.1,0.01)=0.39, \; Δz = 0.432$

19. Trouvez la dérivée directionnelle de$f(x,y)=x^2+6xy−y^2$ dans la direction$\vecs v=\mathbf{\hat i}+4\,\mathbf{\hat j}.$

20. Trouvez la magnitude et la direction dérivées directionnelles maximales pour la fonction$f(x,y)=x^3+2xy−\cos(πy)$ au point$(3,0).$

Réponse: $3\sqrt{85}\langle 27, 6\rangle$

Pour les exercices suivants, trouvez le dégradé.

21. $c(x,t)=e(t−x)^2+3\cos t$

22. $f(x,y)=\dfrac{\sqrt{x}+y^2}{xy}$

Réponse: $\vecs \nabla f(x, y) = -\dfrac{\sqrt{x}+2y^2}{2x^2y}\,\mathbf{\hat i} + \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}y^2} \right) \,\mathbf{\hat j}$

Pour l'exercice suivant, trouvez et classez les points critiques.

23. $z=x^3−xy+y^2−1$

Pour les exercices suivants, utilisez les multiplicateurs de Lagrange afin de déterminer les valeurs maximale et minimale des fonctions avec les contraintes données.

24. $f(x,y)=x^2y,$sous réserve de la contrainte :$x^2+y^2=4$

Réponse: maximum :$\dfrac{16}{3\sqrt{3}},$ minimum :$-\dfrac{16}{3\sqrt{3}},$

25. $f(x,y)=x^2−y^2,$sous réserve de la contrainte :$x+6y=4$

26. Un machiniste construit un cône circulaire droit à partir d'un bloc d'aluminium. La machine donne une erreur$5\%$ de hauteur et$2\%$ de rayon. Trouvez l'erreur maximale dans le volume du cône si le machiniste crée un cône de hauteur$6$ cm et de rayon$2$ cm.

Réponse: $2.3228$³ cm

27. Un compacteur de déchets a la forme d'un cuboïde. Supposons que le compacteur de déchets soit rempli de liquide incompressible. La longueur et la largeur diminuent à des vitesses de$2$ pieds par seconde et de$3$ pieds par seconde, respectivement. Déterminez la vitesse à laquelle le niveau du liquide augmente lorsque la longueur est de$14$ pieds, la largeur est de$10$ pieds et la hauteur est de$4$ pieds.