14 : Différenciation des fonctions de plusieurs variables
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Lorsqu'il s'agit d'une fonction composée de plusieurs variables indépendantes, plusieurs questions se posent naturellement. Par exemple, comment calculer les limites des fonctions de plusieurs variables ? La définition du dérivé que nous utilisions auparavant impliquait une limite. La nouvelle définition du dérivé comporte-t-elle également des limites ? Les règles de différenciation s'appliquent-elles dans ce contexte ? Pouvons-nous trouver des extrêmes relatifs de fonctions à l'aide de dérivées ? Toutes ces questions trouvent des réponses dans ce chapitre.
- 14.0 : Prélude à la différenciation des fonctions de plusieurs variables
- Supposons toutefois que nous ayons une quantité qui dépend de plusieurs variables. Par exemple, la température peut dépendre du lieu et de l'heure de la journée, ou le modèle de profit d'une entreprise peut dépendre du nombre d'unités vendues et du montant d'argent dépensé en publicité. En fonction de la nature des restrictions, la méthode de solution et la solution elle-même changent.
- 14.1 : Fonctions de plusieurs variables
- Notre première étape consiste à expliquer ce qu'est une fonction de plusieurs variables, en commençant par les fonctions de deux variables indépendantes. Cette étape consiste à identifier le domaine et la gamme de ces fonctions et à apprendre à les représenter graphiquement. Nous examinons également les moyens de relier les graphes de fonctions en trois dimensions à des graphes de fonctions planaires plus familières.
- 14.2 : Limites et continuité
- Nous avons maintenant examiné les fonctions de plusieurs variables et vu comment les représenter graphiquement. Dans cette section, nous verrons comment prendre la limite d'une fonction de plusieurs variables et ce que cela signifie pour une fonction de plusieurs variables d'être continue à un point de son domaine. Il s'avère que ces concepts présentent des aspects qui ne se produisent tout simplement pas avec les fonctions d'une variable.
- 14.3 : Dérives partielles
- Trouver des dérivées de fonctions de deux variables est le concept clé de ce chapitre, avec autant d'applications en mathématiques, en sciences et en génie que la différenciation de fonctions à variable unique. Cependant, nous avons déjà vu que les limites et la continuité des fonctions multivariables soulèvent de nouveaux problèmes et nécessitent une nouvelle terminologie et de nouvelles idées pour les résoudre. Cela se répercute également sur la différenciation.
- 14.4 : Plans tangents et approximations linéaires
- Dans cette section, nous examinons le problème de la détermination du plan tangent à une surface, ce qui est analogue à la détermination de l'équation d'une tangente à une courbe lorsque la courbe est définie par le graphe d'une fonction d'une variable, y=f (x). La pente de la tangente au point x=ax=a est donnée par m=f' (a) ; quelle est la pente d'un plan tangent ? Nous avons découvert l'équation d'un plan dans Équations de lignes et de plans dans l'espace ; dans cette section, nous verrons comment elle peut être appliquée au problème en question.
- 14.5 : La règle de chaîne pour les fonctions multivariables
- Dans le calcul à variable unique, nous avons découvert que l'une des règles de différenciation les plus utiles est la règle de chaîne, qui nous permet de trouver la dérivée de la composition de deux fonctions. Il en va de même pour le calcul multivariable, mais cette fois, nous devons traiter de plus d'une forme de règle en chaîne. Dans cette section, nous étudions les extensions de la règle de chaîne et apprenons à prendre des dérivées de compositions de fonctions de plusieurs variables.
- 14.6 : Les dérivées directionnelles et le gradient
- Une fonction\(z=f(x,y)\) possède deux dérivées partielles :\(∂z/∂x\) et\(∂z/∂y\). Ces dérivées correspondent à chacune des variables indépendantes et peuvent être interprétées comme des taux de variation instantanés (c'est-à-dire comme des pentes d'une droite tangente). De même,\(∂z/∂y\) représente la pente de la tangente parallèle à l'axe y. Nous examinons maintenant la possibilité d'une tangente parallèle à aucun des deux axes.
- 14.8 : Multiplicateurs Lagrange
- La résolution de problèmes d'optimisation pour les fonctions de deux variables ou plus peut être similaire à la résolution de tels problèmes dans le calcul à une seule variable. Cependant, les techniques permettant de traiter de multiples variables nous permettent de résoudre des problèmes d'optimisation plus variés pour lesquels nous devons faire face à des conditions ou des contraintes supplémentaires. Dans cette section, nous examinons l'une des méthodes les plus courantes et les plus utiles pour résoudre les problèmes d'optimisation avec des contraintes.
Thumbnail : fonction réelle de deux variables réelles. (Domaine public ; Maschen).