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14.0 : Prélude à la différenciation des fonctions de plusieurs variables

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
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    Dans Introduction aux applications des dérivés, nous avons étudié comment déterminer le maximum et le minimum d'une fonction d'une variable sur un intervalle fermé. Cette fonction peut représenter la température sur un intervalle de temps donné, la position d'une voiture en fonction du temps ou l'altitude d'un avion à réaction lorsqu'il se déplace de New York à San Francisco. Dans chacun de ces exemples, la fonction possède une variable indépendante.

    Une photo de nombreuses balles de golf.
    Figure\(\PageIndex{1}\) : Les Américains utilisent (et perdent) des millions de balles de golf par an, ce qui permet aux fabricants de balles de golf de poursuivre leurs activités. Dans ce chapitre, nous étudions un modèle de profit et apprenons des méthodes pour calculer les niveaux de production optimaux pour une entreprise de fabrication de balles de golf typique. (crédit : modification de l'œuvre par oatsy40, Flickr)

    Supposons toutefois que nous ayons une quantité qui dépend de plusieurs variables. Par exemple, la température peut dépendre du lieu et de l'heure de la journée, ou le modèle de profit d'une entreprise peut dépendre du nombre d'unités vendues et du montant d'argent dépensé en publicité. Dans ce chapitre, nous examinons une entreprise qui produit des balles de golf. Nous développons un modèle de profit et, sous réserve de diverses restrictions, nous constatons que le niveau optimal de production et de publicité dépensé détermine le profit maximum possible. En fonction de la nature des restrictions, la méthode de solution et la solution elle-même changent.

    Lorsqu'il s'agit d'une fonction composée de plusieurs variables indépendantes, plusieurs questions se posent naturellement. Par exemple, comment calculer les limites des fonctions de plusieurs variables ? La définition du dérivé que nous utilisions auparavant impliquait une limite. La nouvelle définition du dérivé comporte-t-elle également des limites ? Les règles de différenciation s'appliquent-elles dans ce contexte ? Pouvons-nous trouver des extrêmes relatifs de fonctions à l'aide de dérivées ? Toutes ces questions trouvent des réponses dans ce chapitre.