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14.8E : Exercices pour la section 14.8

  • Page ID
    197405
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Dans les exercices 1 à 15, utilisez la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour déterminer les valeurs maximale et minimale de la fonction soumise à la contrainte donnée.

    1) Fonction objective :\(f(x, y) = 4xy\) Contrainte :\(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{16} = 1\)

    Réponse
    Sous réserve de la contrainte donnée, la fonction\(f\) a un minimum relatif\(-24\) à la fois\( \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2}\right) \)\( \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}, -2\sqrt{2}\right) \) et un maximum relatif\(24\) à la fois\( \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}, 2\sqrt{2}\right) \)\( \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}, -2\sqrt{2}\right) \)

    2) Fonction objective :\(f(x, y) = x^2y\) Contrainte :\(x^2 + 2y^2 = 6\)

    3) Fonction objective :\(f(x,y)=x^2 +y^2 +2x−2y+1\) Contrainte :\( g(x,y)= x^2 +y^2 =2 \)

    Réponse
    Sous réserve de la contrainte donnée,\(f\) a un minimum relatif de\(-1\) at\( (-1, 1) \) et un maximum relatif de\(7\) at\( (1,-1) \).

    4) Fonction objective :\(f(x, y) = xy\) Contrainte :\(4x^2 + 8y^2 = 16\)

    5) Fonction objective :\(f(x, y) = x^2 + y^2\) Contrainte :\(xy = 1\)

    Réponse
    \(f\)a un minimum relatif d'\(2\)à la fois\( (-1, -1) \) et\( (1,1) \), sous réserve de la contrainte donnée.

    6) Fonction objective :\(f(x, y) = x^2 - y^2\) Contrainte :\(x−2y+6=0\)

    7) Fonction objective :\(f(x, y) = x^2 + y^2\) Contrainte :\(x+2y−5=0\)

    Réponse
    Sous réserve de la contrainte donnée,\(f\) a un minimum relatif de\( f(1,2)=5\) au point\( (1, 2) \).

    8) Fonction objective :\(f(x, y) = x^2 + y^2\) Contrainte :\((x−1)^2+4y^2=4\)

    9) Fonction objective :\(f(x, y) = 4x^3 + y^2\) Contrainte :\(2x^2 + y^2 = 1\)

    Réponse
    Sous réserve de la contrainte donnée, la fonction\(f\) a un minimum relatif de\(-\sqrt{2}\) at\( \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) \),
    un minimum relatif de\(\frac{25}{27}\) aux deux points\( \left(\frac{1}{3}, -\frac{\sqrt{7}}{3}\right) \) et\( \left(\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{7}}{3}\right) \),
    un maximum relatif de\(\sqrt{2}\) at\( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) \) et un maximum relatif de \(1\)aux deux points\( (0,1) \) et\( (0,-1) \).
    Solution :
    \(g(x,y) = 2x^2 + y^2\)Soyons la fonction de contrainte. Ensuite :

    \(\vecs\nabla f(x,y) = 12x^2 \,\hat{\mathbf i} + 2y \,\hat{\mathbf j}\) et\(\vecs\nabla g(x,y) = 4x \,\hat{\mathbf i} + 2y \,\hat{\mathbf j}\)

    en utilisant l'équation du multiplicateur de Lagrange,\[\vecs\nabla f(x, y) = \lambda\vecs\nabla g(x, y),\nonumber \]
    nous avons : nous\[12x^2 \,\hat{\mathbf i} + 2y \,\hat{\mathbf j} = 4x\lambda \, \hat{\mathbf i} + 2y\lambda \,\hat{\mathbf j}\nonumber \]
    donner le système d'équations :\[12x^2 = 4x\lambda, \quad 2y = 2y\lambda, \quad \text{and the constraint}\quad 2x^2 + y^2 = 1\nonumber \]
    réécrire le premier deux équations sous forme de produits nuls (en passant à un côté et en les factorisant), nous obtenons : Nous examinons
    \[\begin{align*} 4x(3x - \lambda) &= 0 & \text{and} && 2y(1 - \lambda) &= 0 \\ x = 0 \quad \text{or}\quad \lambda &= 3x & & &y = 0 \quad \text{or}\quad \lambda &= 1 \end{align*}\]
    maintenant les combinaisons de ces solutions aux deux équations ci-dessus et intégrons chacune d'elles dans l'équation de contrainte pour résoudre les points de Lagrange correspondants.

    La combinaison\(x = 0\)\(y = 0\) génère une contradiction lorsqu'elle est placée dans l'équation de contrainte, puisque ce point ne se trouve pas sur l'ellipse.

    En prenant la combinaison\(x = 0\) et\(\lambda = 1\), nous mettons\(0\) en place la contrainte et résolvons pour\(y\), obtenir :\( y = \pm 1\).\(x\) Cela nous donne deux points Lagrange :\( (0, 1) \) et\( (0, -1)\).

    En prenant la combinaison\(\lambda = 3x\) et\(y = 0\), nous mettons\(0\) en place la contrainte et résolvons pour\(x\), obtenir :\( x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\).\(y\) Cela nous donne deux points Lagrange :\( \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) \) et\( \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) \).

    En prenant la combinaison\(\lambda = 3x\) et\(\lambda = 1\),\(1\) dans la première équation, nous substituons\(\lambda\), en nous donnant\( 1 = 3x\) ainsi\(x = \frac{1}{3}\). En insérant cette valeur\(x\) dans l'équation de contrainte et en résolvant pour\(y\), nous obtenons\(y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3}\) ce qui nous donne les deux points de Lagrange :\( \left(\frac{1}{3}, -\frac{\sqrt{7}}{3}\right) \) et\( \left(\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{7}}{3}\right) \).

    En évaluant la fonction\(f\) à ces points de Lagrange, nous trouvons :\[\begin{align*} f(0, -1) &= 1 & f(0, 1) &= 1 \\ f\left(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) &= \frac{-4(\sqrt{2})^3}{8} = -\sqrt{2} & f\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) &= \frac{4(\sqrt{2})^3}{8} = \sqrt{2} \\ f\left(\tfrac{1}{3}, -\tfrac{\sqrt{7}}{3}\right) &= \tfrac{25}{27} & f\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{\sqrt{7}}{3}\right) &= \tfrac{25}{27} \end{align*}\]

    En comparant ces valeurs avec l'emplacement des points de Lagrange correspondants sur la courbe de contrainte, nous concluons les résultats indiqués dans la réponse ci-dessus.

    10) Fonction objective :\(f(x,y)=2x^2 +y^2\) Contrainte :\( g(x,y)= x^2 +y^2 =1 \)

    11) Fonction objective :\(f(x,y,z)=x+3y−z\) Contrainte :\( x^2+y^2+z^2=4 \)

    Réponse
    Sous réserve de la contrainte donnée,\(f\) a un minimum relatif de\(-2\sqrt{11}\) au point\( \left(-\frac{2\sqrt{11}}{11}, \, -\frac{6\sqrt{11}}{11}, \, \frac{2\sqrt{11}}{11}\right) \) et un maximum relatif de\(2\sqrt{11}\) au point\( \left(\frac{2\sqrt{11}}{11}, \, \frac{6\sqrt{11}}{11}, \, -\frac{2\sqrt{11}}{11}\right).\)

    12) Fonction objective :\(f(x, y, z) = x + y + z\) Contrainte :\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)

    13) Fonction objective :\(f(x, y, z) = xyz\) Contrainte :\(x^2+2y^2+3z^2=6\)

    Réponse
    Sous réserve de la contrainte donnée,\(f\) a un minimum relatif de\(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\)\( \left( \sqrt{2},\, 1,\, -\frac{\sqrt{6}}{3} \right),\; \left( \sqrt{2},\, -1,\, \frac{\sqrt{6}}{3} \right),\; \left( -\sqrt{2},\, 1,\, \frac{\sqrt{6}}{3} \right),\)\( \left( -\sqrt{2},\, -1,\, -\frac{\sqrt{6}}{3} \right) \) et un maximum relatif d'\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)at\( \left( \sqrt{2},\, 1,\, \frac{\sqrt{6}}{3} \right),\; \left( \sqrt{2},\, -1,\, -\frac{\sqrt{6}}{3} \right),\; \left( -\sqrt{2},\, -1,\, \frac{\sqrt{6}}{3} \right),\) et\( \left( -\sqrt{2},\, 1,\, -\frac{\sqrt{6}}{3} \right) \).

    14) Fonction objective :\(f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2\) Contrainte :\(x^4+y^4+z^4=1\)

    15) Fonction objective :\(f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2\) Contrainte :\(xyz=4\)

    Réponse
    Sous réserve de la contrainte donnée,\(f\) a un minimum relatif de\( 6\sqrt[3]{2}\) points\( \left(\sqrt[3]{4},\,\sqrt[3]{4},\,\sqrt[3]{4}\right),\)\( \left(\sqrt[3]{4},\,-\sqrt[3]{4},\,-\sqrt[3]{4}\right),\)\( \left(-\sqrt[3]{4},\,\sqrt[3]{4},\,-\sqrt[3]{4}\right),\) et\( \left(-\sqrt[3]{4},\,-\sqrt[3]{4},\,\sqrt[3]{4}\right).\)
    Pour voir une visualisation 3D de ce problème, voir : CalcPlot3D pour le problème 15.

    Dans les exercices 16 à 21, utilisez la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour trouver l'extremum demandé de la fonction donnée soumise à la contrainte donnée.

    16) Maximiser\(f(x,y) = \sqrt{6 - x^2 - y^2}\) sous réserve de la contrainte,\( x+y−2=0\).

    17) Maximiser\(f(x,y) = x^2 - y^2\) sous réserve des contraintes,\( g(x,y)=y−x^2=0, \quad x>0,\quad y>0\).

    Réponse
    Sous réserve des contraintes données,\(f\) a un maximum relatif de\( f\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\) au point\( \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{1}{2}\right) \). S'il n'y\(x > 0\) avait pas eu de contrainte, il y aurait eu deux autres points de Lagrange avec des extrêmes relatifs\(f\) soumis aux deux autres contraintes. Cela aurait été le cas\( (0, 0) \) et\( \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{1}{2}\right) .\)

    pour vérifier que cela a\(f\) vraiment un maximum relatif au point,\( \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{1}{2}\right), \) nous aurions besoin de vérifier la valeur de\(f\) chaque côté de ce point sur la courbe de contrainte,\(y−x^2=0.\)

    Si\( x = 0.5\) ce qui est inférieur à\(\frac{\sqrt{2}}{2}\),\(y\) serait\( y = (0.5)^2 = 0.25.\)
    Si\( x = 1\) ce qui est supérieur à\(\frac{\sqrt{2}}{2}\),\(y\) serait\( y = (1)^2 = 1.\)

    Alors nous comparons la valeur de \(f\)au point de Lagrange\(\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{1}{2}\right)\), avec les valeurs\(f\) de ces autres points de la contrainte.
    Nous avons\(f(0.5, 0.25) = (0.5)^2 - (0.25)^2 = 0.25 - 0.0625 = 0.1875 < \frac{1}{4}\) et,\(f(1, 1) = (1)^2 - (1)^2 = 0 < \frac{1}{4}.\)

    par conséquent, nous pouvons conclure qu'il a\(f\) effectivement un maximum relatif de\(\frac{1}{4}\)\(\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{1}{2}\right).\)

    18) Maximiser\(U(x,y) = 8x^{4/5}y^{1/5}\) sous réserve de la contrainte,\( 4x+2y=12\).

    19) Minimiser\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\) sous réserve de la contrainte,\(x+y+z=1\).

    Réponse
    Sous réserve de la contrainte donnée,\(f\) a un minimum relatif de\( f\left(\frac{1}{3},\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}\) au point\( \left(\frac{1}{3},\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{3}\right) \).

    20) Minimisez\(f(x,y)=xy\) sur l'ellipse\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\).

    21) Maximisez\(f(x,y,z)=2x+3y+5z\) sur la sphère\(x^2+y^2+z^2=19\).

    Réponse
    Sous réserve de la contrainte donnée,\(f\) a un maximum relatif de\( 19\sqrt{2} \) au point\( \left( \sqrt{2},\, \frac{3\sqrt{2}}{2},\, \frac{5\sqrt{2}}{2} \right) \).
    Notez que, sous réserve de cette contrainte, a\(f\) également un minimum relatif de\( -19\sqrt{2} \) au point\( \left( -\sqrt{2},\, -\frac{3\sqrt{2}}{2},\, -\frac{5\sqrt{2}}{2} \right) \).
    Pour voir une visualisation 3D de ce problème, voir : CalcPlot3D pour le problème 21.

    Dans les exercices 22 à 23, utilisez la méthode des multiplicateurs de Lagrange avec deux contraintes.

    22) Optimiser\(f(x,y,z)=yz+xy\) sous réserve des contraintes :\(xy=1, \quad y^2+z^2=1\).

    Réponse
    maximum :\(\frac{3}{2}\), minimum :\(\frac{1}{2}\)

    23) Minimiser\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\) quand\(x+y+z=9\) et\(x+2y+3z=20\).

    Réponse
    minimum :\(f(2,3,4)=29\)

    Utilisez la méthode des multiplicateurs de Lagrange pour résoudre les problèmes appliqués suivants.

    24) Un grand contenant en forme de solide rectangulaire doit avoir un volume de 480 m 3. La partie inférieure du conteneur coûte 5 dollars par m 2 à construire, tandis que la partie supérieure et les côtés coûtent 3 dollars par m 2 à construire. Utilisez les multiplicateurs Lagrange pour déterminer les dimensions du contenant de cette taille qui a le coût minimum.

    25) Une boîte rectangulaire sans couvercle (une boîte topless) doit être fabriquée à partir de 12 pieds 2 de carton. Trouvez le volume maximum d'une telle boîte.

    Réponse
    Le volume maximum est de 3\(4\) pieds. Les dimensions sont en\(1×2×2\) pieds.

    26) Détermine la distance minimale entre la parabole et\(y=x^2\) le point\((0,3)\).

    27) Trouvez le point sur la ligne\(y=2x+3\) le plus proche du point\((4,2)\).

    Réponse
    \( (25,195) \)

    29) Trouvez la distance minimale entre le\((0,1)\) point et la parabole\(x^2=4y.\)

    Réponse
    \(1.0\)unité

    30) Déterminez les distances minimale et maximale entre l'ellipse\(x^2+xy+2y^2=1\) et l'origine.

    31) Détermine la distance minimale entre le plan et\(x+y+z=1\) le point\((2,1,1)\).

    Réponse
    \(\sqrt{3}\)unités

    32) Trouvez le point sur le plan\(4x+3y+z=2 \) le plus proche du point\((1,−1,1)\).

    33) Trouvez le point sur la surface le\(x^2−2xy+y^2−x+y=0\) plus proche du point\((1,2,−3).\)

    Réponse
    \( \left(1,\,\frac{1}{2},\,−3\right) \)

    34) Un pentagone est formé en plaçant un triangle isocèle sur un rectangle, comme indiqué sur le schéma. Si le périmètre du pentagone est de 10 pouces, déterminez la longueur des côtés du pentagone qui maximisera la surface du pentagone.

    CNX_Calc_Figure_14_08_201.jpg

    35) [T] En investissant des\(x\) unités de travail et des\(y\) unités de capital, un fabricant de montres peut produire des\(P(x,y)=50x^{0.4}y^{0.6}\) montres. Déterminez le nombre maximum de montres pouvant être produites avec un budget de 20 000$ si la main-d'œuvre coûte 100$ l'unité et le capital 200$ l'unité. Utilisez un graphe tel que CalcPlot3D pour esquisser un diagramme de contour de la fonction.

    Réponse

    Environ 3 365 montres au point critique (\(80,60).\)

    Une série de courbes dans le premier quadrant, la première commençant près de (2, 120), diminuant brusquement jusqu'à près (20, 20), puis diminuant lentement jusqu'à (120, 5). La courbe suivante commence près de (10, 120), diminue brusquement pour atteindre près (40, 40), puis diminue lentement jusqu'à (120, 20). La courbe suivante commence près de (20, 120), diminue brusquement pour atteindre près (60, 60), puis diminue lentement jusqu'à (120, 40). La courbe suivante commence près de (40, 120), diminue jusqu'à environ (80, 80), puis diminue légèrement jusqu'à (120, 60). La dernière courbe commence près de (60, 120) et diminue de manière assez uniforme entre (100, 100) et (120, 90).

    36) Un solide rectangulaire est contenu dans un tétraèdre dont les sommets sont situés à\((1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\) et à l'origine. La base de la boîte a des dimensions\(x\) et\(y\), et la hauteur de la boîte est\(z\). Si la somme de\(x\)\(y\), et\(z\) est égale à\(1\), trouvez les dimensions qui maximisent le volume du solide rectangulaire.

    37) Trouvez la valeur maximale de l'\(f(x,y)=\sin x\sin y,\)endroit où\(x\)\(y\) et indiquez les angles aigus d'un triangle droit. Tracez le diagramme de surface et le diagramme de contour de la fonction à l'aide d'un CAS.

    Réponse

    Sous réserve de cette contrainte,\(f\) a un maximum relatif de\(\frac{1}{2}\) quand\(x = \frac{\pi}{4}\) et\(y = \frac{\pi}{4}\).
    Diagramme de surface et diagramme de contour pour\(f\) :

    Série alternée de collines et de vallées d'amplitude 1 dans l'espace xyz.Diagramme de contour pour f (x, y) = sin x sin y

    38) Montrez que, de tous les triangles inscrits dans un cercle de rayon\(R\) (voir schéma), le triangle équilatéral a le plus grand périmètre.

    Cercle dans lequel est dessiné un triangle équilatéral de telle sorte que chaque sommet du triangle touche le cercle.

    Contributors

    • Template:ContribOpenStaxCalc
    • Paul Seeburger (Monroe Community College) reordered these problems, adding problems 3 and 10 and answers for problems 15 and 17. He also added a full worked-out solution for problem 9 and a link to CalcPlot3D in problems 15, 21 and 35. He also created new images for Problem 37 and expanded the answers for many problems.