15.7 : Modification des variables dans plusieurs intégrales
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- Déterminez l'image d'une région sous une transformation donnée de variables.
- Calculez le jacobien d'une transformation donnée.
- Evaluez une intégrale double à l'aide d'un changement de variables.
- Evaluez une triple intégrale à l'aide d'un changement de variables.
Rappelons dans Règle de substitution la méthode d'intégration par substitution. Lors de l'évaluation d'une intégrale telle que
\[\int_2^3 x(x^2 - 4)^5 dx, \nonumber \]
nous les substituons\(u = g(x) = x^2 - 4\). Ensuite,\(du = 2x \, dx\) ou\(x \, dx = \frac{1}{2} du\) et les limites deviennent\(u = g(2) = 2^2 - 4 = 0\) et\(u = g(3) = 9 - 4 = 5\). Ainsi, l'intégrale devient
\[\int_0^5 \frac{1}{2}u^5 du \nonumber \]
et cette intégrale est beaucoup plus simple à évaluer. En d'autres termes, lors de la résolution de problèmes d'intégration, nous effectuons des substitutions appropriées pour obtenir une intégrale qui devient beaucoup plus simple que l'intégrale d'origine.
Nous avons également utilisé cette idée lorsque nous avons transformé des intégrales doubles en coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires et transformé des intégrales triples en coordonnées rectangulaires en coordonnées cylindriques ou sphériques pour simplifier les calculs. Plus généralement,
\[\int_a^b f(x) dx = \int_c^d f(g(u))g'(u) du, \nonumber \]
Où\(x = g(u), \, dx = g'(u) du\), et\(u = c\) et\(u = d\) satisfaire\(c = g(a)\) et\(d = g(b)\).
Un résultat similaire se produit dans les intégrales doubles lorsque nous substituons
- \(x = f (r,\theta) = r \, \cos \, \theta\)
- \( y = g(r, \theta) = r \, \sin \, \theta\), et
- \(dA = dx \, dy = r \, dr \, d\theta\).
Ensuite, nous obtenons
\[\iint_R f(x,y) dA = \iint_S (r \, \cos \, \theta, \, r \, \sin \, \theta)r \, dr \, d\theta \nonumber \]
où le domaine\(R\) est remplacé par le domaine\(S\) en coordonnées polaires. En général, la fonction que nous utilisons pour modifier les variables afin de simplifier l'intégration est appelée transformation ou mappage.
Transformations planaires
Une transformation planaire\(T\) est une fonction qui transforme une région\(G\) d'un plan en une région\(R\) d'un autre plan par un changement de variables. Les deux\(G\) et\(R\) sont des sous-ensembles de\(R^2\). Par exemple, la figure\(\PageIndex{1}\) montre une région\(G\) du\(uv\) plan -transformée en une région\(R\) du\(xy\) plan -par le changement de variables\(x = g(u,v)\) et\(y = h(u,v)\), parfois, nous écrivons\(x = x(u,v)\) et\(y = y(u,v)\). Nous supposerons généralement que chacune de ces fonctions possède des premières dérivées partielles continues, ce qui signifie qu'elles\(h_v\) existent\(g_u, \, g_v, \, h_u,\) et sont également continues. La nécessité de cette exigence deviendra bientôt évidente.
Une transformation\(T: \, G \rightarrow R\), définie comme\(T(u,v) = (x,y)\), est considérée comme une transformation biunivoque si aucun point ne correspond au même point de l'image.
Pour montrer qu'il s'\(T\)agit d'une transformation biunivoque, nous supposons\(T(u_1,v_1) = T(u_2, v_2)\) et montrons que, par conséquent, nous obtenons\((u_1,v_1) = (u_2, v_2)\). Si la transformation\(T\) est biunivoque dans le domaine\(G\), alors l'inverse\(T^{-1}\) existe avec le domaine\(R\) tel que\(T^{-1} \circ T\) et\(T \circ T^{-1}\) sont des fonctions d'identité.
La figure\(\PageIndex{2}\) montre la cartographie\(T(u,v) = (x,y)\) où\(x\) et\(y\) sont liés aux\(u\) équations\(x = g(u,v)\) et\(v\) par\(y = h(u,v)\). La région\(G\) est le domaine\(T\) et la région\(R\) est la gamme de\(T\), également connue sous le nom d'image de\(G\) la transformation\(T\).
Supposons qu'une transformation\(T\) soit définie comme l'\(T(r,\theta) = (x,y)\)endroit où\(x = r \, \cos \, \theta, \, y = r \, \sin \, \theta\). Trouvez l'image du rectangle polaire\(G = \{(r,\theta) | 0 \leq r \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq \pi/2\}\) dans le\(r\theta\) plan -par rapport à une région\(R\) du\(xy\) plan. Montrez qu'\(T\)il s'agit d'une transformation individuelle\(G\) et trouvez\(T^{-1} (x,y)\).
Solution
Comme il\(r\) varie de 0 à 1 dans le\(r\theta\) plan, nous avons un disque circulaire de rayon 0 à 1 dans le\(xy\) plan. Comme elle\(\theta\) varie de 0 à\(\pi/2\) dans le\(r\theta\) plan, nous obtenons un quart de cercle de rayon\(1\) dans le premier quadrant du\(xy\) plan (Figure\(\PageIndex{2}\)). D'où\(R\) un quart de cercle délimité par\(x^2 + y^2 = 1\) dans le premier quadrant.
Afin de montrer qu'il\(T\) s'agit d'une transformation biunivoque, supposez\(T(r_1,\theta_1) = T(r_2, \theta_2)\) et montrez en conséquence que\((r_1,\theta_1) = (r_2, \theta_2)\). Dans ce cas, nous avons
\[T(r_1,\theta_1) = T(r_2, \theta_2), \nonumber \]
\[(x_1,y_1) = (x_1,y_1), \nonumber \]
\[(r_1 \cos \, \theta_1, r_1 \sin \, \theta_1) = (r_2 \cos \, \theta_2, r_2 \sin \, \theta_2), \nonumber \]
\[r_1 \cos \, \theta_1 = r_2 \cos \, \theta_2, \, r_1 \sin \, \theta_1 = r_2 \sin \, \theta_2. \nonumber \]
En divisant, on obtient
\[\frac{r_1 \cos \, \theta_1}{r_1 \sin \, \theta_1} = \frac{ r_2 \cos \, \theta_2}{ r_2 \sin \, \theta_2} \nonumber \]
\[\frac{\cos \, \theta_1}{\sin \, \theta_1} = \frac{\cos \, \theta_2}{\sin \, \theta_2} \nonumber \]
\[\tan \, \theta_1 = \tan \, \theta_2 \nonumber \]
\[\theta_1 = \theta_2 \nonumber \]
puisque la fonction tangente est une fonction univoque dans l'intervalle\(0 \leq \theta \leq \pi/2\). De plus, depuis\(0 \leq r \leq 1\), nous avons\(r_1 = r_2, \, \theta_1 = \theta_2\). Par conséquent,\((r_1,\theta_1) = (r_2, \theta_2)\) et\(T\) est une transformation biunivoque de\(G\) à\(R\).
Pour trouver\(T^{-1}(x,y)\) une solution\(r,\theta\) en termes de\(x,y\). Nous le savons déjà\(r^2 = x^2 + y^2\) et\(\tan \, \theta = \frac{y}{x}\). Ainsi\(T^{-1}(x,y) = (r,\theta)\) est défini comme\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) et\(\tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right)\).
Laissez la transformation\(T\) être définie par\(T(u,v) = (x,y)\) où\(x = u^2 - v^2\) et\(y = uv\). Trouvez l'image du triangle dans le\(uv\) plan -avec les sommets\((0,0), \, (0,1)\), et\((1,1)\).
Solution
Le triangle et son image sont illustrés sur la figure\(\PageIndex{3}\). Pour comprendre comment les côtés du triangle se transforment, appelez le côté qui rejoint\((0,0)\) et\((0,1)\) côté\(A\), le côté qui rejoint\((0,0)\) et\((1,1)\) côté\(B\), et le côté qui rejoint\((1,1)\) et\((0,1)\) côté\(C\).
- Car le côté\(A: \, u = 0, \, 0 \leq v \leq 1\) se transforme en\(x = -v^2, \, y = 0\) sorte que c'est le côté\(A'\) qui rejoint\((-1,0)\) et\((0,0)\).
- Car le côté\(B: \, u = v, \, 0 \leq u \leq 1\) se transforme en\(x = 0, \, y = u^2\) sorte que c'est le côté\(B'\) qui rejoint\((0,0)\) et\((0,1)\).
- Car le côté\(C: \, 0 \leq u \leq 1, \, v = 1\) se transforme en\(x = u^2 - 1, \, y = u\) (\(x = y^2 - 1\)donc c'est le côté\(C'\) qui relie la moitié supérieure de l'arc parabolique\((-1,0)\) et\((0,1)\).
Tous les points de la région entière du triangle dans le\(uv\) plan -sont cartographiés à l'intérieur de la région parabolique du\(xy\) plan.
Laissez une transformation\(T\) être définie comme\(T(u,v) = (x,y)\) où\(x = u + v, \, y = 3v\). Trouvez l'image du rectangle\(G = \{(u,v) : \, 0 \leq u \leq 1, \, 0 \leq v \leq 2\}\) à partir du\(uv\) plan -après la transformation en une région\(R\) du\(xy\) plan. Montrez qu'\(T\)il s'agit d'une transformation individuelle et trouvez\(T^{-1} (x,y)\).
- Allusion
-
Suivez les étapes de l'exemple\(\PageIndex{1B}\).
- Réponse
-
\(T^{-1} (x,y) = (u,v)\)où\(u = \frac{3x-y}{3}\) et\(v = \frac{y}{3}\)
En utilisant la définition, nous avons
\[\Delta A \approx J(u,v) \Delta u \Delta v = \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right| \Delta u \Delta v. \nonumber \]
Notez que le jacobien est souvent désigné simplement par
\[J(u,v) = \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}. \nonumber \]
Notez également que
\[ \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial u} \nonumber \\ \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right) = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \nonumber \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} . \nonumber \]
La notation\(J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\) suggère donc que nous pouvons écrire le déterminant jacobien avec des partiels de\(x\) dans la première rangée et des partiels de\(y\) dans la deuxième rangée.
Trouvez le jacobien de la transformation donnée dans l'exemple\(\PageIndex{1A}\).
Solution
Dans l'exemple, la transformation indique\(T(r,\theta) = ( r \, \cos \, \theta, \, r \, \sin \, \theta)\) où\(x = r \, \cos \, \theta\) et\(y = r \, \sin \, \theta\). Ainsi, le Jacobien est
\[J(r, \theta) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\ \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r \, \cos^2\theta + r \, \sin^2\theta = r ( \cos^2\theta + \sin^2\theta) = r. \nonumber \]
Trouvez le jacobien de la transformation donnée dans l'exemple\(\PageIndex{1B}\).
Solution
Dans l'exemple, la transformation indique\(T(u,v) = (u^2 - v^2, uv)\) où\(x = u^2 - v^2\) et\(y = uv\). Ainsi, le Jacobien est
\[J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2u & -2v \\ v & u \end{vmatrix} = 2u^2 + 2v^2. \nonumber \]
Trouvez le jacobien de la transformation donnée au point de contrôle précédent :\(T(u,v) = (u + v, 2v)\).
- Allusion
-
Suivez les étapes des deux exemples précédents.
- Réponse
-
\[J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \nonumber \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \nonumber \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \nonumber \]
Modification des variables pour les intégrales doubles
Nous avons déjà vu que, lors du changement de variables\(T(u,v) = (x,y)\) où\(x = g(u,v)\) et\(y = h(u,v)\), une petite région\(\Delta A\) du\(xy\) plan -est liée à la surface formée par le produit\(\Delta u \Delta v\) dans le\(uv\) plan -par l'approximation
\[\Delta A \approx J(u,v) \Delta u, \, \Delta v. \nonumber \]
Revenons maintenant à la définition de la double intégrale pendant une minute :
\[\iint_R f(x,y)fA = \lim_{m,n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}, y_{ij}) \Delta A. \nonumber \]
En vous référant à la Figure\(\PageIndex{5}\), observez que nous avons divisé la région\(S\) du\(uv\) plan en petits sous-rectangles\(S_{ij}\) et que nous laissons les sous-rectangles\(R_{ij}\) du\(xy\) plan -être les images de\(S_{ij}\) la transformation\(T(u,v) = (x,y)\).
Ensuite, la double intégrale devient
\[\iint_R = f(x,y)dA = \lim_{m,n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}, y_{ij}) \Delta A = \lim_{m,n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(g(u_{ij}, v_{ij}), \, h(u_{ij}, v_{ij})) | J(u_{ij}, v_{ij})| \Delta u \Delta v. \nonumber \]
Remarquez que c'est exactement la double somme de Riemann pour l'intégrale
\[\iint_S f(g(u,v), \, h(u,v)) \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right| du \, dv. \nonumber \]
Supposons\(T(u,v) = (x,y)\) où\(x = g(u,v)\) et\(y = h(u,v)\) soyez une\(C^1\) transformation biunivoque, avec un jacobien non nul à l'intérieur de la région dans le plan -qu' il mappe\(S\) dans la région dans le\(uv\) plan -il mappe\(S\)\(R\) dans la région dans le\(xy\) plan. S'il\(f\) est allumé en continu\(R\), alors
\[\iint_R f(x,y) dA = \iint_S f(g(u,v), \, h(u,v)) \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\right| du \, dv. \nonumber \]
Avec ce théorème des intégrales doubles, nous pouvons changer les variables de\((x,y)\) à\((u,v)\) dans une double intégrale simplement en remplaçant
\[dA = dx \, dy = \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right| du \, dv \nonumber \]
lorsque nous utilisons les substitutions\(x = g(u,v)\)\(y = h(u,v)\) et que nous modifions ensuite les limites de l'intégration en conséquence. Ce changement de variables simplifie souvent les calculs.
Considérez l'intégrale
\[\int_0^2 \int_0^{\sqrt{2x-x^2}} \sqrt{x^2 + y^2} dy \, dx. \nonumber \]
Utilisez la modification des variables\(x = r \, \cos \, \theta\)\(y = r \, \sin \, \theta\) et trouvez l'intégrale résultante.
Solution
Nous devons d'abord trouver la région d'intégration. Cette région est délimitée en dessous\(y = 0\) et au-dessus de\(y = \sqrt{2x - x^2}\) (Figure\(\PageIndex{6}\)).
En quadrillant et en collectant les termes, nous constatons que la région est la moitié supérieure du cercle\(x^2 + y^2 - 2x = 0\), c'est-à-dire\(y^2 + ( x - 1)^2 = 1\). En coordonnées polaires, le cercle est\(r = 2 \, cos \, \theta\) tel que la région d'intégration en coordonnées polaires est délimitée par\(0 \leq r \leq \cos \, \theta\) et\(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\).
Le Jacobien est\(J(r, \theta) = r\), comme le montre l'exemple\(\PageIndex{2A}\). Depuis\(r \geq 0\), nous avons\(|J(r,\theta)| = r\).
L'integrand se\(\sqrt{x^2 + y^2}\) transforme\(r\) en coordonnées polaires, de sorte que l'intégrale à double itération est
\[\int_0^2 \int_0^{\sqrt{2x-x^2}} \sqrt{x^2 + y^2} dy \, dx = \int_0^{\pi/2} \int_0^{2 \, cos \, \theta} r | j(r, \theta)|dr \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \int_0^{2 \, cos \, \theta} r^2 dr \, d\theta. \nonumber \]
En considérant l'intégrale,\(\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} (x^2 + y^2) dy \, dx,\) utilisez le changement de variables\(x = r \, cos \, \theta\)\(y = r \, sin \, \theta\) et trouvez l'intégrale résultante.
- Allusion
-
Suivez les étapes de l'exemple précédent.
- Réponse
-
\[\int_0^{\pi/2} \int_0^1 r^3 dr \, d\theta \nonumber \]
Remarquez dans l'exemple suivant que la région dans laquelle nous devons nous intégrer peut suggérer une transformation appropriée pour l'intégration. Il s'agit d'une situation courante et importante.
Considérez l'intégrale\[\iint_R (x - y) dy \, dx, \nonumber \] où\(R\) se trouve le parallélogramme joignant les points\((1,2), \, (3,4), \, (4,3)\), et\((6,5)\) (Figure\(\PageIndex{7}\)). Apportez les modifications appropriées aux variables et écrivez l'intégrale résultante.
Solution
Tout d'abord, nous devons comprendre la région dans laquelle nous voulons nous intégrer. Les côtés du parallélogramme sont\(x - y + 1, \, x - y - 1 = 0, \, x - 3y + 5 = 0\) et\(x - 3y + 9 = 0\) (Figure\(\PageIndex{8}\)). Une autre façon de les regarder est\(x - y = -1, \, x - y = 1, \, x - 3y = -5\), et\(x - 3y = 9\).
Il est clair que le parallélogramme est délimité par les lignes\(y = x + 1, \, y = x - 1, \, y = \frac{1}{3}(x + 5)\), et\(y = \frac{1}{3}(x + 9)\).
Remarquez que si nous devions créer\(u = x - y\) et\(v = x - 3y\), alors les limites de l'intégrale seraient\(-1 \leq u \leq 1\) et\(-9 \leq v \leq -5\).
Pour résoudre\(x\) et\(y\), nous multiplions la première équation par\(3\) et soustrayons la deuxième équation,\(3u - v = (3x - 3y) - (x - 3y) = 2x\). Alors nous l'avons fait\(x = \frac{3u-v}{2}\). De plus, si nous soustrayons simplement la deuxième équation de la première, nous obtenons\(u - v = (x - y) - (x - 3y) = 2y\) et\(y = \frac{u-v}{2}\).
Ainsi, nous pouvons choisir la transformation
\[T(u,v) = \left( \frac{3u - v}{2}, \, \frac{u - v}{2} \right) \nonumber \]et calculez le jacobien\(J(u,v)\). Nous avons
\[J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3/2 & -1/2 \nonumber \\ 1/2 & -1/2 \end{vmatrix} = -\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{2} \nonumber \]
Par conséquent,\(|J(u,v)| = \frac{1}{2}\). De plus, l'integrand original devient
\[x - y = \frac{1}{2} [3u - v - u + v] = \frac{1}{2} [3u - u] = \frac{1}{2}[2u] = u. \nonumber \]
Par conséquent, en utilisant la transformation\(T\), l'intégrale devient
\[\iint_R (x - y) dy \, dx = \int_{-9}^{-5} \int_{-1}^1 J (u,v) u \, du \, dv = \int_{-9}^{-5} \int_{-1}^1\left(\frac{1}{2}\right) u \, du \, dv, \nonumber \]ce qui est beaucoup plus simple à calculer.
Apportez les modifications appropriées aux variables de l'intégrale\[\iint_R \frac{4}{(x - y)^2} dy \, dx, \nonumber \] où se\(R\) trouve le trapèze délimité par les lignes\(x - y = 2, \, x - y = 4, \, x = 0\), et\(y = 0\). Écrivez l'intégrale résultante.
- Allusion
-
Suivez les étapes de l'exemple précédent.
- Réponse
-
\(x = \frac{1}{2}(v + u)\)et\(y = \frac{1}{2} (v - u)\)
et
\[\int_{2}^4 \int_{-u}^u \left(\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{4}{u^2} \,dv \, du. \nonumber \]
Nous sommes prêts à proposer une stratégie de résolution de problèmes pour le changement de variables.
- Esquissez la région donnée par le problème dans le\(xy\) plan, puis écrivez les équations des courbes qui forment la limite.
- En fonction de la région ou de l'integrand, choisissez les transformations\(x = g(u,v)\) et\(y = h(u,v)\).
- Déterminez les nouvelles limites d'intégration dans le\(uv\) plan.
- Trouvez le Jacobien\(J (u,v)\).
- Dans l'integrand, remplacez les variables pour obtenir le nouvel integrand.
- Remplacez\(dy \, dx\) ou\(dx \, dy\), selon ce qui se produit, par\(J(u,v) du \, dv\).
Dans l'exemple suivant, nous trouvons une substitution qui rend l'integrand beaucoup plus simple à calculer.
En utilisant le changement de variables\(u = x - y\) et\(v = x + y\) évaluez l'intégrale\[\iint_R (x - y)e^{x^2-y^2} dA, \nonumber \] où\(R\) est la région délimitée par les lignes\(x + y = 1\)\(x + y = 3\) et les courbes\(x^2 - y^2 = -1\) et\(x^2 - y^2 = 1\) (voir la première région de la figure\(\PageIndex{9}\)).
Solution
Comme précédemment, trouvez d'abord la région\(R\) et imaginez la transformation afin qu'il soit plus facile d'obtenir les limites de l'intégration une fois les transformations effectuées (Figure\(\PageIndex{9}\)).
Étant donné\(u = x - y\) et\(v = x + y\), nous avons\(x = \frac{u+v}{2}\)\(y = \frac{v-u}{2}\) et donc la transformation à utiliser est\(T(u,v) = \left(\frac{u+v}{2}, \, \frac{v-u}{2}\right)\). Les lignes\(x + y = 1\) et\(x + y = 3\) deviennent\(v = 1\) et\(v = 3\), respectivement. Les courbes\(x^2 - y^2 = 1\) et\(x^2 - y^2 = -1\) deviennent\(uv = 1\) et\(uv = -1\), respectivement.
Ainsi, nous pouvons décrire la région\(S\) (voir la deuxième figure de la région\(\PageIndex{9}\)) comme
\[S = \left\{ (u,v) | 1 \leq v \leq 3, \, \frac{-1}{v} \leq u \leq \frac{1}{v}\right\}. \nonumber \]
Le jacobien pour cette transformation est
\[J(u,v) = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{vmatrix} = \frac{1}{2}. \nonumber \]
Par conséquent, en utilisant la transformation\(T\), l'intégrale devient
\[\iint_R (x - y)e^{x^2-y^2} dA = \frac{1}{2} \int_1^3 \int_{-1/v}^{1/v} ue^{uv} du \, dv. \nonumber \]
En faisant l'évaluation, nous avons
\[\frac{1}{2} \int_1^3 \int_{-1/v}^{1/v} ue^{uv} du \, dv = \frac{2}{3e} \approx 0.245. \nonumber \]
À l'aide des substitutions\(x = v\) et\(y = \sqrt{u + v}\), évaluez l'intégrale\(\displaystyle\iint_R y \, \sin (y^2 - x) \,dA,\) où\(R\) se trouve la région délimitée par les lignes\(y = \sqrt{x}, \, x = 2\) et\(y = 0\).
- Allusion
-
Esquissez un tableau et trouvez les limites de l'intégration.
- Réponse
-
\(\frac{1}{2} (\sin 2 - 2)\)
Modification des variables pour les intégrales triples
La modification des variables dans les intégrales triples fonctionne exactement de la même manière. Les substitutions de coordonnées cylindriques et sphériques sont des cas particuliers de cette méthode, que nous démontrons ici.
Supposons qu'il\(G\) s'agisse d'une région dans\(uvw\) l'espace et qu'elle soit\(xyz\) mappée\(D\) dans l'espace (Figure\(\PageIndex{10}\)) par une\(C^1\) transformation biunivoque\(T(u,v,w) = (x,y,z)\) où\(x = g(u,v,w), \, y = h(u,v,w)\), et\(z = k(u,v,w)\).
Ensuite, toute fonction\(F(x,y,z)\) définie sur\(D\) peut être considérée comme une autre fonction\(H(u,v,w)\) définie sur\(G\) :
\[F(x,y,z) = F(g(u,v,w), \, h(u,v,w), \, k(u,v,w)) = H (u,v,w). \nonumber \]
Nous devons maintenant définir le jacobien pour trois variables.
Le déterminant jacobien\(J(u,v,w)\) de trois variables est défini comme suit :
\[J(u,v,w) = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial u} \\ \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial v} \\ \dfrac{\partial x}{\partial w} & \dfrac{\partial y}{\partial w} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}. \nonumber \]
C'est également la même chose que
\[J(u,v,w) = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w} \\ \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}. \nonumber \]
Le jacobien peut également être simplement désigné comme\(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\).
Avec les transformations et le jacobien pour trois variables, nous sommes prêts à établir le théorème qui décrit le changement des variables pour les intégrales triples.
Soit\(T(u,v,w) = (x,y,z)\) où et\(x = g(u,v,w), \, y = h(u,v,w)\)\(z = k(u,v,w)\), être une\(C^1\) transformation biunivoque, avec un jacobien différent de zéro, qui mappe la région\(G\) de\(uvw\) l'espace dans la région\(D\) de l'\(xyz\)espace. Comme dans le cas bidimensionnel, s'il\(F\) est allumé en continu\(D\), alors
\[\begin{align} \iiint_D F(x,y,z) dV = \iiint_G f(g(u,v,w) \, h(u,v,w), \, k(u,v,w)) \left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right| du \, dv \, dw \\ = \iiint_G H(u,v,w) | J (u,v,w) | du \, dv \, dw. \end{align} \nonumber \]
Voyons maintenant comment les modifications des intégrales triples pour les coordonnées cylindriques et sphériques sont affectées par ce théorème. Nous nous attendons à obtenir les mêmes formules que pour les intégrales triples en coordonnées cylindriques et sphériques.
Dérivez la formule en intégrales triples pour
- cylindrique et
- coordonnées sphériques.
Solution
UN.
Pour les coordonnées cylindriques, la transformation se fait\(T (r, \theta, z) = (x,y,z)\) de l'\(r\theta z\)espace cartésien vers l'\(xyz\)espace cartésien (Figure\(\PageIndex{11}\)). Ici\(x = r \, \cos \, \theta, \, y = r \, \sin \theta\) et\(z = z\). Le jacobien pour la transformation est
\[J(r,\theta,z) = \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,z)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z} \end{vmatrix} \nonumber \]
\[ \begin{vmatrix} \cos \theta & -r\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = r \, \cos^2 \theta + r \, \sin^2 \theta = r. \nonumber \]
Nous le savons\(r \geq 0\) donc\(|J(r,\theta,z)| = r\). Alors la triple intégrale est\[\iiint_D f(x,y,z)dV = \iiint_G f(r \, \cos \theta, \, r \, \sin \theta, \, z) r \, dr \, d\theta \, dz. \nonumber \]
B.
Pour les coordonnées sphériques, la transformation se fait\(T(\rho,\theta,\varphi)\) de l'\(\rho\theta\varphi\)espace cartésien vers l'\(xyz\)espace cartésien (Figure\(\PageIndex{12}\)). Ici\(x = \rho \, \sin \varphi \, \cos \theta, \, y = \rho \, \sin \varphi \, \sin \theta\), et\(z = \rho \, \cos \varphi\). Le jacobien pour la transformation est
\[J(\rho,\theta,\varphi) = \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho,\theta,\varphi)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial z}{\partial \rho} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \varphi} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \sin \varphi \cos \theta & -\rho \sin \varphi \sin \theta & \rho \cos \varphi \cos \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & \rho \sin \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \sin \theta \\ \cos \varphi & 0 & -\rho \sin \varphi \end{vmatrix}. \nonumber \]
Élargir le déterminant par rapport à la troisième ligne :
\ [\ begin {align*} &= \ cos \ varphi \ begin {vmatrix} - \ rho \ sin \ sin \ theta & \ rho \ cos \ varphi \ cos \ theta \ \ \ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta & \ rho \ cos \ cos \ varphi \ sin \ theta \ end {vmatrix} - \ rho \ sin \ varphi \ begin {vmatrix} \ sin \ varphi \ cos \ thêta & - \ rho \ sin \ varphi \ sin \ thêta \ \ \ sin \ varphi \ sin \ theta & \ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta \ end {vmatrix} \ \ [4pt]
&= \ cos \ varphi (- \ rho^2 \ sin \ varphi \, \ cos \ varphi \, \ sin^2 \ theta - \ rho^2 \ thêta - \ rho^2 \, \ sin \ varphi \, \ cos^2 \ theta) \ \ & \ quad - \ rho \ sin \ varphi (\ rho \ sin^2 \ varphi \ cos^2 \ thêta + \ rho \ sin^2 \ varphi \ sin^2 \ thêta) \ \ [4pt]
&=- \ rho^2 \ sin \ varphi \ cos^2 \ varphi (\ sin^2 \ thêta + \ cos^2 \ thêta) - \ rho^2 \ sin \ varphi \ sin^2 \ varphi (\ sin^2 \ thêta + \ cos^2 \ thêta) \ \ [4 points]
&= - \ rho^2 \ thêta 2 \ sin \ varphi \ cos^2 \ varphi - \ rho^2 \ sin \ varphi \ sin^2 \ varphi \ \ [4 points]
&= - \ rho \ sin \ varphi (\ cos^2 \ varphi + \ sin^2 \ varphi) = - \ rho^2 \ sin \ varphi. \ end {align*} \]
Depuis\(0 \leq \varphi \leq \pi\), il le faut\(\sin \varphi \geq 0\). Ainsi\(|J(\rho,\theta, \varphi)| = |-\rho^2 \sin \varphi| = \rho^2 \sin \varphi.\)
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Ensuite, la triple intégrale devient
\[\iiint_D f(x,y,z) dV = \iiint_G f(\rho \, \sin \varphi \, \cos \theta, \, \rho \, \sin \varphi \, \sin \theta, \rho \, \cos \varphi) \rho^2 \sin \varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta. \nonumber \]
Essayons un autre exemple avec une substitution différente.
Évaluez la triple intégrale
\[\int_0^3 \int_0^4 \int_{y/2}^{(y/2)+1} \left(x + \frac{z}{3}\right) dx \, dy \, dz \nonumber \]
Dans\(xyz\) l'espace en utilisant la transformation
\(u = (2x - y) /2, \, v = y/2\), et\(w = z/3\).
Intégrez ensuite sur une région appropriée dans\(uvw\) -space.
Solution
Comme précédemment, une sorte d'esquisse de la région\(G\) dans\(xyz\) l'espace sur laquelle nous devons effectuer l'intégration peut aider à identifier la région\(D\) dans\(uvw\) l'espace (Figure\(\PageIndex{13}\)). Il est clair que\(G\)\(xyz\) l'espace est délimité par les plans\(x = y/2, \, x = (y/2) + 1, \, y = 0, \, y = 4, \, z = 0\), et\(z = 4\). Nous savons également que nous devons utiliser\(u = (2x - y) /2, \, v = y/2\), et\(w = z/3\) pour les transformations. Nous devons résoudre pour\(x,y\) et\(z\). Nous trouvons ici que\(x = u + v, \, y = 2v\), et\(z = 3w\).
À l'aide de l'algèbre élémentaire, nous pouvons trouver les surfaces correspondantes pour la région\(G\) et les limites d'intégration dans\(uvw\) l'espace. Il est pratique de répertorier ces équations dans un tableau.
| Équations\(xyz\) pour la région\(D\) | Équations correspondantes\(uvw\) pour la région\(G\) | Limites d'intégration dans\(uvw\) |
|---|---|---|
| \ (xyz \) pour la région\(D\) « style="vertical-align:middle ;" >\(x = y/2\) | \ (uvw \) pour la région\(G\) « style="vertical-align:middle ;" >\(u + v = 2v/2 = v\) | \ (uvw \) » style="vertical-align:middle ; « >\(u = 0\) |
| \ (xyz \) pour la région\(D\) « style="vertical-align:middle ;" >\(x = y/2\) | \ (uvw \) pour la région\(G\) « style="vertical-align:middle ;" >\(u + v = (2v/2) + 1 = v + 1\) | \ (uvw \) » style="vertical-align:middle ; « >\(u = 1\) |
| \ (xyz \) pour la région\(D\) « style="vertical-align:middle ;" >\(y = 0\) | \ (uvw \) pour la région\(G\) « style="vertical-align:middle ;" >\(2v = 0\) | \ (uvw \) » style="vertical-align:middle ; « >\(v = 0\) |
| \ (xyz \) pour la région\(D\) « style="vertical-align:middle ;" >\(y = 4\) | \ (uvw \) pour la région\(G\) « style="vertical-align:middle ;" >\(2v = 4\) | \ (uvw \) » style="vertical-align:middle ; « >\(v = 2\) |
| \ (xyz \) pour la région\(D\) « style="vertical-align:middle ;" >\(z = 0\) | \ (uvw \) pour la région\(G\) « style="vertical-align:middle ;" >\(3w = 0\) | \ (uvw \) » style="vertical-align:middle ; « >\(w = 0\) |
| \ (xyz \) pour la région\(D\) « style="vertical-align:middle ;" >\(z = 3\) | \ (uvw \) pour la région\(G\) « style="vertical-align:middle ;" >\(3w = 3\) | \ (uvw \) » style="vertical-align:middle ; « >\(w = 1\) |
Nous pouvons maintenant calculer le jacobien pour la transformation :
\[J(u,v,w) = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w} \\ \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 6. \nonumber \]
La fonction à intégrer devient
\[f(x,y,z) = x + \frac{z}{3} = u + v + \frac{3w}{3} = u + v + w. \nonumber \]
Nous sommes maintenant prêts à tout rassembler et à régler le problème.
\ [\ begin {align*} \ int_0^3 \ int_0^4 \ int_ {y/2} ^ {(y/2) +1} \ gauche (x + \ frac {z} {3} \ droite) dx \, dy \, dz &= \ int_0^1 \ int_0^2 \ int_0^1 (u + v + w) |J (u, v, w) |du \, dv \, dw \ \ [4 points]
&= \ int_0^1 \ int_0^2 \ int_0^1 (u + v + w) |6|du \, dv \, dw \ \ [4 points]
&= 6 \ int_0^1 \ int_0^2 \ int_ 0^1 (u + v + w) \, du \, dv \, dw \ \ [4 points]
&= 6 \ int_0^1 \ int_0^2 \ left [\ frac {u^2} {2} + vu + wu \ right] _0^1 \, dv \, dw \ \ [4 points]
&= 6 \ int_0^1 \ int_0^2 \ left (\ frac {1} {2} + v + u \ right) dv \, dw \ \ [4pt]
&= 6 \ int_0^1 \ left [\ frac {1} {2} v + \ frac {v^2} {2} + wv \ droite] _0^2 dw \ \ [4 points]
&= 6 \ int_0^1 (3 + 2 w) \, dw = 6 \ Big [3 w + w^2 \ Big] _0^1 = 24. \ end {align*} \]
\(D\)Soit la région dans\(xyz\) l'espace définie par\(1 \leq x \leq 2, \, 0 \leq xy \leq 2\), et\(0 \leq z \leq 1\).
Évaluez\(\iiint_D (x^2 y + 3xyz) \, dx \, dy \, dz\) en utilisant la transformation\(u = x, \, v = xy\), et\(w = 3z\).
- Allusion
-
Créez un tableau pour chaque surface des régions et déterminez les limites, comme indiqué dans l'exemple.
- Réponse
-
\[\int_0^3 \int_0^2 \int_1^2 \left(\frac{v}{3} + \frac{vw}{3u}\right) du \, dv \, dw = 2 + \ln 8 \nonumber \]
Concepts clés
- Une transformation\(T\) est une fonction qui transforme une région\(G\) d'un plan (espace) en région\(R\). Dans un autre plan (espace) par une modification de variables.
- Une transformation\(T: G \rightarrow R\) définie comme\(T(u,v) = (x,y)\) (ou\(T(u,v,w) = (x,y,z))\) est dite) une transformation biunivoque si aucun point ne correspond au même point de l'image.
- S'il\(f\) est allumé en continu\(R\), alors\[\iint_R f(x,y) dA = \iint_S f(g(u,v), \, h(u,v)) \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}\right| du \, dv. \nonumber \]
- S'il\(F\) est allumé en continu\(R\), alors\[\begin{align*}\iiint_R F(x,y,z) \, dV &= \iiint_G F(g(u,v,w), \, h(u,v,w), \, k(u,v,w) \left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right| \,du \, dv \, dw \\[4pt] &= \iiint_G H(u,v,w) |J(u,v,w)| \, du \, dv \, dw. \end{align*}\]
[T] Les ovales (ou superellipses) de Lamé sont des courbes planes d'équations\(\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left( \frac{y}{b}\right)^n = 1\), où a, b et n sont des nombres réels positifs.
a. Utilisez un CAS pour représenter graphiquement les régions\(R\) délimitées par les ovales de Lamé pour\(a = 1, \, b = 2, \, n = 4\) et\(n = 6\) respectivement.
b. Trouvez les transformations qui cartographient la région\(R\) délimitée par l'ovale de Lamé,\(x^4 + y^4 = 1\) également appelé écureuil et représentée graphiquement dans la figure suivante, dans le disque unitaire.
c. Utilisez un CAS pour trouver une approximation de la zone\(A (R)\) of the region \(R\) bounded by \(x^4 + y^4 = 1\). Round your answer to two decimal places.
[T] Lamé ovals have been consistently used by designers and architects. For instance, Gerald Robinson, a Canadian architect, has designed a parking garage in a shopping center in Peterborough, Ontario, in the shape of a superellipse of the equation \(\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left( \frac{y}{b}\right)^n = 1\) with \(\frac{a}{b} = \frac{9}{7}\) and \(n = e\). Use a CAS to find an approximation of the area of the parking garage in the case \(a = 900\) yards, \(b = 700\) yards, and \(n = 2.72\) yards.
[Hide Solution]
\(A(R) \simeq 83,999.2\)
Chapter Review Exercises
True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.
\[\int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \, dy \, dx \nonumber \]
Fubini’s theorem can be extended to three dimensions, as long as \(f\) is continuous in all variables.
[Hide solution]
True.
The integral \[\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^1 dz \, dr \, d\theta \nonumber \] represents the volume of a right cone.
The Jacobian of the transformation for \(x = u^2 - 2v, \, y = 3v - 2uv\) is given by \(-4u^2 + 6u + 4v\).
[Hide Solution]
False.
Evaluate the following integrals.
\[\iint_R (5x^3y^2 - y^2) \, dA, \, R = \{(x,y)|0 \leq x \leq 2, \, 1 \leq y \leq 4\} \nonumber \]
\[\iint_D \frac{y}{3x^2 + 1} dA, \, D = \{(x,y) |0 \leq x \leq 1, \, -x \leq y \leq x\} \nonumber \]
[Hide Solution]
\(0\)
\[\iint_D \sin (x^2 + y^2) dA \nonumber \] where \(D\) is a disk of radius \(2\) centered at the origin \[\int_0^1 \int_0^1 xye^{x^2} dx \, dy \nonumber \]
[Hide Solution]
\(\frac{1}{4}\)
\[\int_{-1}^1 \int_0^z \int_0^{x-z} 6dy \, dx \, dz \nonumber \]
\[\iiint_R 3y \, dV, \nonumber \] where \(R = \{(x,y,z) |0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq x, \, 0 \leq z \leq \sqrt{9 - y^2}\}\)
[Hide Solution]
\(1.475\)
\[\int_0^2 \int_0^{2\pi} \int_r^1 r \, dz \, d\theta \, dr \nonumber \]
\[\int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_1^3 \rho^2 \, \sin(\varphi) d\rho \, d\varphi, \, d\theta \nonumber \]
[Hide Solution]
\(\frac{52}{3} \pi\)
\[\int_0^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}} dz \, dy \, sx \nonumber \]
For the following problems, find the specified area or volume.
The area of region enclosed by one petal of \(r = \cos (4\theta)\).
[Hide Solution]
\(\frac{\pi}{16}\)
The volume of the solid that lies between the paraboloid \(z = 2x^2 + 2y^2\) and the plane \(z = 8\).
The volume of the solid bounded by the cylinder \(x^2 + y^2 = 16\) and from \(z = 1\) to \(z + x = 2\).
[Hide Solution]
\(93.291\)
The volume of the intersection between two spheres of radius 1, the top whose center is \((0,0,0.25)\) and the bottom, which is centered at \((0,0,0)\).
For the following problems, find the center of mass of the region.
\(\rho(x,y) = xy\) on the circle with radius \(1\) in the first quadrant only.
[Hide Solution]
\(\left(\frac{8}{15}, \frac{8}{15}\right)\)
\(\rho(x,y) = (y + 1) \sqrt{x}\) in the region bounded by \(y = e^x, \, y = 0\), and \(x = 1\).
\(\rho(x,y,z) = z\) on the inverted cone with radius \(2\) and height \(2\).
\(\left(0,0,\frac{8}{5}\right)\)
The volume an ice cream cone that is given by the solid above \(z = \sqrt{(x^2 + y^2)}\) and below \(z^2 + x^2 + y^2 = z\).
The following problems examine Mount Holly in the state of Michigan. Mount Holly is a landfill that was converted into a ski resort. The shape of Mount Holly can be approximated by a right circular cone of height \(1100\) ft and radius \(6000\) ft.
If the compacted trash used to build Mount Holly on average has a density \(400 \, lb/ft^3\), find the amount of work required to build the mountain.
[Hide Solution]
\(1.452 \pi \times 10^{15} \) ft-lb
In reality, it is very likely that the trash at the bottom of Mount Holly has become more compacted with all the weight of the above trash. Consider a density function with respect to height: the density at the top of the mountain is still density \(400 \, lb/ft^3\) and the density increases. Every \(100\) feet deeper, the density doubles. What is the total weight of Mount Holly?
The following problems consider the temperature and density of Earth’s layers.
[T] The temperature of Earth’s layers is exhibited in the table below. Use your calculator to fit a polynomial of degree \(3\) to the temperature along the radius of the Earth. Then find the average temperature of Earth. (Hint: begin at \(0\) in the inner core and increase outward toward the surface)
| Layer | Depth from center (km) | Temperature \(^oC\) |
| Rocky Crust | 0 to 40 | 0 |
| Upper Mantle | 40 to 150 | 870 |
| Mantle | 400 to 650 | 870 |
| Inner Mantel | 650 to 2700 | 870 |
| Molten Outer Core | 2890 to 5150 | 4300 |
| Inner Core | 5150 to 6378 | 7200 |
Source: http://www.enchantedlearning.com/sub...h/Inside.shtml
[Hide Solution]
\(y = -1.238 \times 10^{-7} x^3 + 0.001196 x^2 - 3.666x + 7208\); average temperature approximately \(2800 ^oC\)
[T] The density of Earth’s layers is displayed in the table below. Using your calculator or a computer program, find the best-fit quadratic equation to the density. Using this equation, find the total mass of Earth.
| Layer | Depth from center (km) | Density \((g/cm^3)\) |
| Inner Core | 0 | 12.95 |
| Outer Core | 1228 | 11.05 |
| Mantle | 3488 | 5.00 |
| Upper Mantle | 6338 | 3.90 |
| Crust | 6378 | 2.55 |
Source: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...rthstruct.html
The following problems concern the Theorem of Pappus (see Moments and Centers of Mass for a refresher), a method for calculating volume using centroids. Assuming a region \(R\), when you revolve around the \(x\)-axis the volume is given by \(V_x = 2\pi A \bar{y}\), and when you revolve around the \(y\)-axis the volume is given by \(V_y = 2\pi A \bar{x}\), where \(A\) is the area of \(R\). Consider the region bounded by \(x^2 + y^2 = 1\) and above \(y = x + 1\).
Find the volume when you revolve the region around the \(x\)-axis.
[Hide Solution]
\(\frac{\pi}{3}\)
Find the volume when you revolve the region around the \(y\)-axis.
Glossary
- Jacobian
-
the Jacobian \(J (u,v)\) in two variables is a \(2 \times 2\) determinant:
\[J(u,v) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial u} \nonumber \\ \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}; \nonumber \]
the Jacobian \(J (u,v,w)\) in three variables is a \(3 \times 3\) determinant:
\[J(u,v,w) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial u} \nonumber \\ \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial z}{\partial v} \nonumber \\ \frac{\partial x}{\partial w} \frac{\partial y}{\partial w} \frac{\partial z}{\partial w}\end{vmatrix} \nonumber \]
- one-to-one transformation
- a transformation \(T : G \rightarrow R\) defined as \(T(u,v) = (x,y)\) is said to be one-to-one if no two points map to the same image point
- planar transformation
- a function \(T\) that transforms a region \(G\) in one plane into a region \(R\) in another plane by a change of variables
- transformation
- a function that transforms a region GG in one plane into a region RR in another plane by a change of variables
Jacobiens
Rappelons que nous avons mentionné au début de cette section que chacune des fonctions constitutives doit avoir des premières dérivées partielles continues, ce qui signifie qu'elles\(h_v\) existent\(g_u, g_v, h_u\) et sont également continues. Une transformation qui possède cette propriété est appelée\(C^1\) transformation (ici\(C\) désigne une transformation continue). Laissez\(T(u,v) = (g(u,v), \, h(u,v))\), où\(x = g(u,v)\) et\(y = h(u,v)\) soyez une\(C^1\) transformation individuelle. Nous voulons voir comment il transforme une petite région rectangulaire\(S, \, \Delta u\) unités par\(\Delta v\) unités, dans le\(uv\) plan (Figure\(\PageIndex{4}\)).
Depuis\(x = g(u,v)\) et\(y = h(u,v)\), nous avons le vecteur\(r(u,v) = g(u,v)i + h(u,v)j\) de position de l'image du point\((u,v)\). Supposons que\((u_0,v_0)\) c'est la coordonnée du point dans le coin inférieur gauche mappé à\((x_0,y_0) = T(u_0,v_0)\) La ligne correspond\(v = v_0\) à la courbe de l'image avec la fonction vectorielle\(r(u,v_0)\), et que le vecteur tangent\((x_0,y_0)\) à la courbe de l'image est
\[r_u = g_u (u_0,v_0)i + h_v (u_0,v_0)j = \frac{\partial x}{\partial u}i + \frac{\partial y}{\partial u}j. \nonumber \]
De même, la ligne\(u = u_0\) correspond à la courbe de l'image avec une fonction vectorielle\(r(u_0,v)\), et le vecteur tangent\((x_0,y_0)\) à la courbe de l'image est
\[r_v = g_v (u_0,v_0)i + h_u (u_0,v_0)j = \frac{\partial x}{\partial v}i + \frac{\partial y}{\partial v}j. \nonumber \]
Maintenant, notez que
\[r_u = \lim_{\Delta u \rightarrow 0} \frac{r (u_0 + \Delta u, v_0) - r ( u_0,v_0)}{\Delta u}\, so \, r (u_0 + \Delta u,v_0) - r(u_0,v_0) \approx \Delta u r_u. \nonumber \]
De même,
\[r_v = \lim_{\Delta v \rightarrow 0} \frac{r (u_0,v_0 + \Delta v) - r ( u_0,v_0)}{\Delta v}\, so \, r (u_0,v_0 + \Delta v) - r(u_0,v_0) \approx \Delta v r_v. \nonumber \]
Cela nous permet d'estimer la surface\(\Delta A\) de l'image\(R\) en trouvant l'aire du parallélogramme formée par les côtés\(\Delta vr_v\) et\(\Delta ur_u\). En utilisant le produit croisé de ces deux vecteurs en ajoutant le k ième composant as\(0\), la surface\(\Delta A\) de l'image\(R\) (voir Le produit croisé) est approximativement\(|\Delta ur_u \times \Delta v r_v| = |r_u \times r_v|\Delta u \Delta v\). Sous forme déterminante, le produit croisé est
\[r_u \times r_v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & 0 \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial u} \\ \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} k = \left(\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right)k \nonumber \]
Puisque\(|k| = 1,\) nous avons
\(\Delta A \approx |r_u \times r_v| \Delta u \Delta v = \left( \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right) \Delta u \Delta v.\)
Définition : jacobien
Le jacobien de la\(C^1\) transformation\(T(u,v) = (g(u,v), \, h(u,v))\) est désigné par\(J(u,v)\) et est défini par le\(2 \times 2\) déterminant
\[J(u,v) = \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right| = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial u} \\ \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}\right). \nonumber \]