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16.1 : Champs vectoriels

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objectifs d'apprentissage
  • Reconnaissez un champ vectoriel dans un plan ou dans l'espace.
  • Esquissez un champ vectoriel à partir d'une équation donnée.
  • Identifier un champ conservateur et sa fonction potentielle associée.

Les champs vectoriels constituent un outil important pour décrire de nombreux concepts physiques, tels que la gravitation et l'électromagnétisme, qui influent sur le comportement des objets sur une grande région d'un plan ou de l'espace. Ils sont également utiles pour faire face à des comportements à grande échelle tels que les tempêtes atmosphériques ou les courants océaniques profonds. Dans cette section, nous examinons les définitions de base et les graphiques des champs vectoriels afin de pouvoir les étudier plus en détail dans la suite de ce chapitre.

Exemples de champs vectoriels

Comment modéliser la force gravitationnelle exercée par de multiples objets astronomiques ? Comment modéliser la vitesse des particules d'eau à la surface d'une rivière ? La figure16.1.1 donne des représentations visuelles de tels phénomènes.

Deux images, étiquetées A et B. L'image A montre le champ gravitationnel exercé par deux corps astronomiques sur un petit objet. La terre est à gauche et la lune à droite. La Terre est entourée de longues flèches pointant vers son centre disposées en cercles concentriques. Il y a une rupture dans le cercle sur la droite, en face de la lune. La lune est entourée de petites flèches qui se courbent vers l'extérieur et vers la droite. L'image B montre le champ de vitesse vectorielle de l'eau à la surface d'une rivière avec un gros rocher au milieu. Les flèches ont tendance à pointer dans le même angle que la rive. Là où la rivière rencontre le rocher, les flèches pointent autour du rocher. Après le rocher, les flèches pointent vers l'avant, tandis que d'autres retournent vers le rocher. L'eau coule le plus rapidement vers le milieu de la rivière et autour du rocher et le plus lentement le long de la rive.
Figure16.1.1 (a) Le champ gravitationnel exercé par deux corps astronomiques sur un petit objet. (b) Le champ de vitesse vectorielle de l'eau à la surface d'une rivière indique les différentes vitesses de l'eau. Le rouge indique que l'amplitude du vecteur est plus grande, de sorte que l'eau s'écoule plus rapidement ; le bleu indique une amplitude moindre et une vitesse d'écoulement plus lente.

La figure16.1.1a montre un champ gravitationnel exercé par deux objets astronomiques, tels qu'une étoile et une planète ou une planète et une lune. En tout point de la figure, le vecteur associé à un point donne la force gravitationnelle nette exercée par les deux objets sur un objet d'unité de masse. Les vecteurs de plus grande magnitude sur la figure sont les vecteurs les plus proches de l'objet le plus grand. L'objet le plus gros a une masse plus grande, de sorte qu'il exerce une force gravitationnelle plus importante que l'objet plus petit.

La figure16.1.1b montre la vitesse d'une rivière à certains points de sa surface. Le vecteur associé à un point donné de la surface de la rivière donne la vitesse de l'eau à ce point. Comme les vecteurs situés à gauche de la figure sont de faible amplitude, l'eau s'écoule lentement sur cette partie de la surface. Lorsque l'eau se déplace de gauche à droite, elle rencontre des rapides autour d'un rocher. La vitesse de l'eau augmente et un tourbillon se produit dans une partie des rapides.

Chaque figure illustre un exemple de champ vectoriel. Intuitivement, un champ vectoriel est une carte de vecteurs. Dans cette section, nous étudions les champs vectoriels dans2 et3.

DÉFINITION : champ vectoriel
  • Un champ vectorielF dans2 est l'affectation d'un vecteur bidimensionnelF(x,y) à chaque point(x,y) d'un sous-ensembleD de2. Le sous-ensembleD est le domaine du champ vectoriel.
  • Un champ vectorielF dans3 est l'affectation d'un vecteur tridimensionnelF(x,y,z) à chaque point(x,y,z) d'un sous-ensembleD de3. Le sous-ensembleD est le domaine du champ vectoriel.

Champs vectoriels dans2

Un champ vectoriel dans2 peut être représenté de deux manières équivalentes. La première méthode consiste à utiliser un vecteur dont les composantes sont des fonctions à deux variables :

F(x,y)=P(x,y),Q(x,y)

La deuxième méthode consiste à utiliser les vecteurs unitaires standard :

F(x,y)=P(x,y)ˆi+Q(x,y)ˆj.

Un champ vectoriel est dit continu si les fonctions qui le composent sont continues.

Exemple16.1.1: Finding a Vector Associated with a Given Point

F(x,y)=(2y2+x4)ˆi+cos(x)ˆjSoit un champ vectoriel dans2. Notez qu'il s'agit d'un exemple de champ vectoriel continu puisque les deux fonctions des composants sont continues. Quel vecteur est associé au point(0,1) ?

Solution

Remplacez les valeurs en points parx ety :

F(0,1)=(2(1)2+04)ˆi+cos(0)ˆj=2ˆi+ˆj.

Exercice16.1.1

G(x,y)=x2yˆi(x+y)ˆjSoit un champ vectoriel dans2. Quel vecteur est associé au point(2,3) ?

Allusion

Substituez les valeurs des points dans la fonction vectorielle.

Réponse

G(2,3)=12ˆiˆj

Dessiner un champ vectoriel

Nous pouvons désormais représenter un champ vectoriel en termes de composants de fonctions ou de vecteurs unitaires, mais le représenter visuellement en le dessinant est plus complexe car le domaine d'un champ vectoriel se trouve dans2, tout comme la plage. Par conséquent, le « graphe » d'un champ vectoriel2 vit dans un espace quadridimensionnel. Comme nous ne pouvons pas représenter visuellement un espace quadridimensionnel, nous dessinons des champs vectoriels2 dans un plan lui-même. Pour ce faire, dessinez le vecteur associé à un point donné au point d'un plan. Supposons, par exemple, que le vecteur associé au point(4,1) soit3,1. Ensuite, nous dessinerions un vecteur3,1 par point(4,1).

Nous devons tracer suffisamment de vecteurs pour voir la forme générale, mais pas trop pour que l'esquisse devienne un désordre. Si nous devions tracer le vecteur de l'image à chaque point de la région, cela remplirait complètement la région et serait inutile. Au lieu de cela, nous pouvons choisir des points aux intersections des lignes de la grille et tracer un échantillon de plusieurs vecteurs de chaque quadrant d'un système de coordonnées rectangulaires dans2.

Ce chapitre se concentre2 sur deux types de champs vectoriels : les champs radiaux et les champs rotatifs. Les champs radiaux modélisent certains champs gravitationnels et sources d'énergie, et les champs rotatifs modélisent le mouvement d'un fluide dans un vortex. Dans un champ radial, tous les vecteurs pointent directement vers ou loin de l'origine. De plus, l'amplitude d'un vecteur dépend uniquement de sa distance par rapport à l'origine. Dans un champ radial, le vecteur situé au point(x,y) est perpendiculaire au cercle centré à l'origine qui contient le point(x,y), et tous les autres vecteurs de ce cercle ont la même amplitude.

Exemple16.1.2: Drawing a Radial Vector Field

Esquissez le champ vectorielF(x,y)=x2ˆi+y2ˆj.

Solution

Pour esquisser ce champ vectoriel, choisissez un échantillon de points dans chaque quadrant et calculez le vecteur correspondant. Le tableau suivant donne un échantillon représentatif de points dans un plan et les vecteurs correspondants.

, (2,0), <1,0>, (1,1), <1/2,1/2>. La troisième ligne contient les valeurs (0,1), <0,1/2>, (0,2), <0,1>, (-1,1), <-1/2,1/2>. La quatrième ligne contient les valeurs (-1,0), <-1/2,0>, (-2,0), <-1,0>, (-1, -1), <-1/2, -1/2>. La cinquième ligne contient les valeurs (0, -1), <0, -1/2>, (0, -2), <0, -1>, (1, -1), <1/2, -1/2>.">
Tableau16.1.1
(x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y)
\ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,0) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >12,0 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(2,0) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >1,0 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >12,12
\ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(0,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >0,12 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(0,2) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >0,1 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >12,12
\ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,0) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >12,0 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(2,0) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >1,0 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >12,12
\ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(0,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >0,12 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(0,2) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >0,1 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >12,12

La figure16.1.2a montre le champ vectoriel. Pour vérifier que chaque vecteur est perpendiculaire au cercle correspondant, la figure16.1.2b montre des cercles superposés sur le champ vectoriel.

Représentation visuelle du champ vectoriel donné dans un plan de coordonnées avec deux diagrammes supplémentaires avec notation. La première représentation montre le champ vectoriel. Les flèches font le tour de l'origine dans le sens des aiguilles d'une montre. La deuxième représentation montre des cercles concentriques, mettant en évidence le motif radial. La troisième représentation montre les cercles concentriques. Il montre également des flèches pour le vecteur radial <a, b pour tous les points (a, b). Chacune est perpendiculaire aux flèches dans le champ vectoriel donné." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...01_003.jpg.png">
Figure16.1.2 : (a) Représentation visuelle du champ vectoriel radialF(x,y)=x2ˆi+y2ˆj. (b) Le champ vectoriel radialF(x,y)=x2ˆi+y2ˆj avec des cercles superposés. Notez que chaque vecteur est perpendiculaire au cercle sur lequel il se trouve.
Exercice16.1.2

Dessine le champ radialF(x,y)=x3ˆiy3ˆj.

Allusion

Esquissez suffisamment de vecteurs pour vous faire une idée de la forme.

Réponse

Représentation visuelle du champ radial donné dans un plan de coordonnées. Les magnitudes augmentent en s'éloignant de l'origine. La flèche semble s'éloigner de l'origine et prendre une forme rectangulaire.

Contrairement aux champs radiaux, dans un champ de rotation, le vecteur au point(x,y) est tangent (et non perpendiculaire) à un cercle de rayonr=x2+y2. Dans un champ de rotation standard, tous les vecteurs pointent soit dans le sens des aiguilles d'une montre, soit dans le sens antihoraire, et l'amplitude d'un vecteur dépend uniquement de sa distance par rapport à l'origine. Les deux exemples suivants sont des champs rotatifs dans le sens des aiguilles d'une montre, et leurs représentations visuelles montrent que les vecteurs semblent pivoter autour de l'origine.

Exemple16.1.3: Drawing a Rotational Vector Field

Esquissez le champ vectorielF(x,y)=y,x.

Solution

Créez un tableau (voir celui qui suit) en utilisant un échantillon représentatif de points dans un plan et leurs vecteurs correspondants. La figure16.1.3 montre le champ vectoriel obtenu.

, (2,0), <0, -2>, (1,1), <1, -1>. La troisième ligne contient les valeurs (0,1), <1,0>, (0,2), <2,0>, (-1,1), <1,1>. La quatrième ligne contient les valeurs (-1,0), <0,1>, (-2,0), <0,2>, (-1, -1), <-1,1>. La cinquième ligne contient les valeurs (0, -1), <-10>, (0, -2), <-2,0>, (1, -1), <-1, -1>.">
Tableau16.1.2
(x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y)
\ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,0) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >0,1 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(2,0) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >0,2 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >1,1
\ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(0,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >1,0 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(0,2) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >2,0 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >1,1
\ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,0) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >0,1 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(2,0) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >0,2 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >1,1
\ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(0,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >1,0 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(0,2) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >2,0 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >1,1
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Figure16.1.3 : (a) Représentation visuelle du champ vectorielF(x,y)=y,x. (b) Champ vectorielF(x,y)=y,x avec des cercles centrés à l'origine. (c)F(a,b) Le vecteur est perpendiculaire au vecteur radiala,b au point(a,b).

Analyse

Notez que le vecteurF(a,b)=b,a pointe dans le sens des aiguilles d'une montre et est perpendiculaire au vecteur radiala,b. (Nous pouvons vérifier cette assertion en calculant le produit scalaire des deux vecteurs :a,b·b,a=ab+ab=0.) De plus, le vecteurb,a a une longueurr=a2+b2. Nous avons donc une description complète de ce champ vectoriel de rotation : le vecteur associé au point(a,b) est le vecteur de longueur r tangent au cercle de rayon r, et il pointe dans le sens des aiguilles d'une montre.

Des croquis tels que celui de la figure16.1.3 sont souvent utilisés pour analyser les principaux systèmes orageux, y compris les ouragans et les cyclones. Dans l'hémisphère nord, les tempêtes tournent dans le sens antihoraire ; dans l'hémisphère sud, les tempêtes tournent dans le sens des aiguilles d'une montre. (Il s'agit d'un effet provoqué par la rotation de la Terre autour de son axe et s'appelle l'effet de Coriolis.)

Photographie d'un ouragan, montrant la rotation autour de son œil.
Figure16.1.4 : (source : modification des travaux par la NASA)
Exemple16.1.4: Sketching a Vector Field

Champ vectoriel d'esquisseF(x,y)=yx2+y2ˆi,xx2+y2ˆj.

Solution

Pour visualiser ce champ vectoriel, notez d'abord que le produit scalaireF(a,b)·(aˆi+bˆj) est nul pour n'importe quel point(a,b). Chaque vecteur est donc tangent au cercle sur lequel il se trouve. De plus, comme(a,b)(0,0), la magnitude deF(a,b) passe à l'infini. Pour voir cela, notez que

||F(a,b)||=a2+b2(a2+b2)2=1a2+b2.

Depuis1a2+b2(a,b)(0,0), puis||F(a,b)|| comme(a,b)(0,0). Ce champ vectoriel ressemble au champ vectoriel de l'exemple16.1.3, mais dans ce cas, les magnitudes des vecteurs proches de l'origine sont grandes. Le tableau16.1.3 montre un échantillon de points et les vecteurs correspondants, et la figure16.1.5 montre le champ vectoriel. Notez que ce champ vectoriel modélise le mouvement du tourbillon de la rivière dans la Figure16.1.5 (b). Le domaine de ce champ vectoriel est entièrement égal2 à l'exception du point(0,0).

, (2,0), <0, -1/2>, (1,1), <1/2, -1/2>. La troisième ligne contient les valeurs (0,1), <1,0>, (0,2), <1/2, 0>, (-1,1), <1/2,1/2>. La quatrième ligne contient les valeurs (-1,0), <0,1>, (-2,0), <0,1/2>, (-1, -1), <-1/2,1/2>. La cinquième ligne contient les valeurs (0, -1), <-1,0>, (0, -2), <-1/2,0>, (1, -1), <-1/2, -1/2>.">
Tableau16.1.3
(x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y) (x,y) F(x,y)
\ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,0) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >0,1 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(2,0) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >0,12 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >12,12
\ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(0,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >1,0 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(0,2) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >12,0 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >12,12
\ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,0) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >0,1 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(2,0) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >0,12 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >12,12
\ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(0,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >1,0 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(0,2) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >12,0 \ ((x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >(1,1) \ (\ vecs {F} (x, y) \) » style="vertical-align:middle ; « >12,12
Représentation visuelle du champ vectoriel donné dans un plan de coordonnées. L'amplitude est plus grande plus près de l'origine. Les flèches font pivoter l'origine dans le sens horaire. Il peut être utilisé pour modéliser le mouvement d'un fluide en tourbillon.
Figure16.1.5 : Représentation visuelle d'un champ vectorielF(x,y)=yx2+y2ˆixx2+y2ˆj. Ce champ vectoriel pourrait être utilisé pour modéliser le mouvement tourbillonnaire d'un fluide.
Exercice16.1.4

Champ vectoriel d'esquisseF(x,y)=2y,2x. Le champ vectoriel est-il radial, rotationnel ou aucun des deux ?

Allusion

Remplacez suffisamment de pointsF pour vous faire une idée de la forme.

Réponse

Rotationnel

Représentation visuelle d'un champ vectoriel de rotation dans un plan de coordonnées. Les flèches encerclent l'origine dans le sens antihoraire.

Exemple16.1.5: Velocity Field of a Fluid

Supposons quev(x,y)=2yx2+y2ˆi+2xx2+y2ˆj c'est le champ de vitesse d'un fluide. À quelle vitesse le fluide se déplace-t-il au point(1,1) ? (Supposons que les unités de vitesse soient des mètres par seconde.)

Solution

Pour déterminer la vitesse du fluide à un point(1,1), remplacez le point parv :

v(1,1)=2(1)1+1ˆi+2(1)1+1ˆj=ˆi+ˆj.

La vitesse du fluide à(1,1) est l'amplitude de ce vecteur. Par conséquent, la vitesse est de||ˆi+ˆj||=2 m/sec.

Exercice16.1.5

Le champ vectorielv(x,y)=4|x|,1 modélise la vitesse de l'eau à la surface d'une rivière. Quelle est la vitesse de l'eau au point(2,3) ? Utilisez les mètres par seconde comme unités.

Allusion

N'oubliez pas que la vitesse est l'amplitude de la vitesse.

Réponse

65m/sec

Nous avons examiné des champs de vecteurs contenant des vecteurs de différentes magnitudes, mais tout comme nous avons des vecteurs unitaires, nous pouvons également avoir un champ de vecteurs unitaires. Un champ vectorielF est un champ vectoriel unitaire si l'amplitude de chaque vecteur du champ est de 1. Dans un champ de vecteurs unitaires, la seule information pertinente est la direction de chaque vecteur.

Exemple16.1.6: A Unit Vector Field

Afficher que le champ vectorielF(x,y)=yx2+y2,xx2+y2 est un champ vectoriel unitaire.

Solution

Pour montrer qu'ilF s'agit d'un champ unitaire, nous devons montrer que l'amplitude de chaque vecteur est1. Notez que

(yx2+y2)2+(xx2+y2)2=y2x2+y2+x2x2+y2=x2+y2x2+y2=1

Il s'Fagit donc d'un champ vectoriel unitaire.

Exercice16.1.6

Le champ vectoriel est-ilF(x,y)=y,x un champ vectoriel unitaire ?

Allusion

Calculez la magnitude deF à un point arbitraire(x,y).

Réponse

Non.

Pourquoi les champs vectoriels unitaires sont-ils importants ? Supposons que nous étudions l'écoulement d'un fluide et que nous nous intéressions uniquement à la direction dans laquelle le fluide s'écoule à un point donné. Dans ce cas, la vitesse du fluide (qui est l'amplitude du vecteur de vitesse correspondant) n'est pas pertinente, car tout ce qui compte, c'est la direction de chaque vecteur. Par conséquent, le champ vectoriel unitaire associé à la vitesse est le champ que nous étudierions.

S'il s'F=P,Q,Ragit d'un champ vectoriel, alors le champ vectoriel unitaire correspondant estP||F||,Q||F||,R||F||. Notez que s'il s'F(x,y)=y,xagit du champ vectoriel de l'exemple16.1.6, alors l'amplitude deF estx2+y2, et donc le champ vectoriel unitaire correspondant est le champG de l'exemple précédent.

S'il s'Fagit d'un champ vectoriel, le processus de divisionF par sa magnitude pour former un champ vectoriel unitaireF/||F|| est appelé normalisation du champF.

Champs vectoriels dans3

Nous avons vu plusieurs exemples de champs vectoriels dans2 ; tournons maintenant notre attention vers les champs vectoriels dans3. Ces champs vectoriels peuvent être utilisés pour modéliser des champs gravitationnels ou électromagnétiques, et ils peuvent également être utilisés pour modéliser le flux de fluide ou le flux de chaleur en trois dimensions. Un champ vectoriel bidimensionnel ne peut réellement modéliser le mouvement de l'eau que sur une tranche bidimensionnelle d'une rivière (telle que la surface de la rivière). Comme une rivière traverse trois dimensions spatiales, pour modéliser le débit sur toute la profondeur de la rivière, nous avons besoin d'un champ vectoriel en trois dimensions.

La dimension supplémentaire d'un champ tridimensionnel peut rendre les champs vectoriels3 plus difficiles à visualiser, mais l'idée est la même. Pour visualiser un champ vectoriel dans3, tracez suffisamment de vecteurs pour montrer la forme globale. Nous pouvons utiliser une méthode similaire pour visualiser un champ vectoriel en2 choisissant des points dans chaque octant.

Tout comme pour les champs vectoriels dans2, nous pouvons représenter des champs vectoriels3 avec des fonctions de composants. Nous avons simplement besoin d'une fonction de composant supplémentaire pour la dimension supplémentaire. Nous écrivons soit

F(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)

ou

F(x,y,z)=P(x,y,z)ˆi+Q(x,y,z)ˆj+R(x,y,z)ˆk.

Exemple16.1.7: Sketching a Vector Field in Three Dimensions

Décrivez le champ vectorielF(x,y,z)=1,1,z.

Solution

Pour ce champ vectoriel, lesy composantesx - et - sont constantes, de sorte que chaque point dans3 est associé à un vecteur avec desy composantesx - et - égales à un. Pour visualiserF, nous examinons d'abord à quoi ressemble le champ dans lexy plan. Dans lexy plan,z=0. Ainsi, chaque point du formulaire(a,b,0) est1,1,0 associé à un vecteur. Pour les points situés hors duxy plan mais légèrement au-dessus de celui-ci, le vecteur associé possède unez composante petite mais positive, et le vecteur associé pointe donc légèrement vers le haut. Pour les points situés bien au-dessus duxy plan, laz composante -est grande, de sorte que le vecteur est presque vertical. La figure16.1.6 montre ce champ vectoriel.

Figure16.1.6 : Représentation visuelle d'un champ vectorielF(x,y,z)=1,1,z.

Exercice16.1.7

Champ vectoriel d'esquisseG(x,y,z)=2,z2,1.

Allusion

Substituez suffisamment de points dans le champ vectoriel pour avoir une idée de la forme générale.

Réponse

Dans l'exemple suivant, nous explorons l'un des cas classiques d'un champ vectoriel tridimensionnel : un champ gravitationnel.

Exemple16.1.8: Describing a Gravitational Vector Field

La loi de la gravitation de Newton indique queF=Gm1m2r2ˆr, où G est la constante gravitationnelle universelle. Il décrit le champ gravitationnel exercé par un objet (objet 1) de massem1 situé à l'origine sur un autre objet (objet 2) de massem2 situé au point(x,y,z). Le champF indique la force gravitationnelle que l'objet 1 exerce sur l'objet 2,r est la distance entre les deux objets etˆr indique le vecteur unitaire du premier objet au second. Le signe moins indique que la force gravitationnelle s'attire vers l'origine, c'est-à-dire que la force de l'objet 1 est attractive. Esquissez le champ vectoriel associé à cette équation.

Solution

Puisque l'objet 1 est situé à l'origine, la distance entre les objets est donnée parr=x2+y2+z2. Le vecteur unitaire de l'objet 1 à l'objet 2 estˆr=x,y,z||x,y,z||, et doncˆr=xr,yr,zr. Par conséquent, le champ vectoriel gravitationnelF exercé par l'objet 1 sur l'objet 2 est

F=Gm1m2xr3,yr3,zr3.

Voici un exemple de champ vectoriel radial dans3.

La figure16.1.7 montre à quoi ressemble ce champ gravitationnel pour une masse importante à l'origine. Notez que les magnitudes des vecteurs augmentent à mesure que les vecteurs se rapprochent de l'origine.

Représentation visuelle du champ vectoriel gravitationnel donné en trois dimensions. Les magnitudes des vecteurs augmentent à mesure que les vecteurs se rapprochent de l'origine. Les flèches pointent vers l'intérieur, vers la masse à l'origine.
Figure16.1.7 : Représentation visuelle du champ vectoriel gravitationnelF=Gm1m2xr3,yr3,zr3 pour une masse importante à l'origine.
Exercice16.1.8

La masse de l'astéroïde 1 est de 750 000 kg et celle de l'astéroïde 2 est de 130 000 kg. Supposons que l'astéroïde 1 est situé à l'origine et que l'astéroïde 2 est situé à(15,5,10), en unités de 10 à 8 kilomètres de puissance. Étant donné que la constante gravitationnelle universelle estG=6.67384×1011m3kg1s2, trouvez le vecteur de force gravitationnelle que l'astéroïde 1 exerce sur l'astéroïde 2.

Allusion

Suivez l'exemple16.1.8 et calculez d'abord la distance entre les astéroïdes.

Réponse

1.49063×1018,4.96876×1019,9.93752×1019 N

Champs de gradient (champs conservateurs)

Dans cette section, nous étudions un type spécial de champ vectoriel appelé champ de gradient ou champ conservateur. Ces champs vectoriels sont extrêmement importants en physique car ils peuvent être utilisés pour modéliser des systèmes physiques dans lesquels l'énergie est conservée. Les champs gravitationnels et les champs électriques associés à une charge statique sont des exemples de champs de gradient.

Rappelez-vous que sif est une fonction (scalaire) dex ety, alors le gradient def est

gradf=f(x,y)=fx(x,y)ˆi+fy(x,y)ˆj.

Nous pouvons voir dans la forme dans laquelle le dégradé est écrit qu'ilf s'agit d'un champ vectoriel2. De même, sif est fonction dexy, etz, alors le gradient def est

gradf=f(x,y,z)=fx(x,y,z)ˆi+fy(x,y,z)ˆj+fz(x,y,z)ˆk.

Le gradient d'une fonction à trois variables est un champ vectoriel dans3. Un champ de dégradé est un champ vectoriel qui peut être écrit comme le dégradé d'une fonction, et nous avons la définition suivante.

DÉFINITION : Champ dégradé

Un champ vectorielF dans2 ou dans3 est un champ de gradient s'il existe une fonction scalairef telle quef=F.

Exemple16.1.9: Sketching a Gradient Vector Field

Utilisez la technologie pour tracer le champ vectoriel du gradient def(x,y)=x2y2.

Solution

Le gradient def estf(x,y)=2xy2,2x2y. Pour esquisser le champ vectoriel, utilisez un système d'algèbre informatique tel que Mathematica. La figure16.1.8 le montref.

Représentation visuelle du champ vectoriel de gradient donné en deux dimensions. Les flèches pointent vers le haut au-dessus de l'axe x et vers le bas en dessous de l'axe x, et pointent vers la gauche sur le côté gauche de l'axe y et vers la droite sur le côté droit de l'axe des y. Plus les flèches sont éloignées de zéro, plus elles sont verticales, et plus les flèches sont proches de zéro, plus elles sont horizontales.
Figure16.1.8 : Le champ vectoriel du dégradé estf, oùf(x,y)=x2y2.
Exercice16.1.9

Utilisez la technologie pour tracer le champ vectoriel du gradient def(x,y)=sinxcosy.

Allusion

Trouvez le dégradé def.

Réponse

Représentation visuelle du vecteur donné en deux dimensions. Les flèches semblent former plusieurs ovales. La première se situe autour de l'origine, là où les flèches se courbent vers la droite au-dessus et en dessous de l'axe X. Plus les flèches sont proches de l'axe X, plus elles sont plates. Il semble y avoir six autres ovales, trois de chaque côté de l'ovale central. Les vecteurs s'allongent à mesure qu'ils s'éloignent de l'origine, puis ils recommencent à se raccourcir.

Considérez la fonctionf(x,y)=x2y2 de l'exemple16.1.9. La figure16.1.9 montre les courbes de niveau de cette fonction superposées au champ vectoriel de gradient de la fonction. Les vecteurs de gradient sont perpendiculaires aux courbes de niveau, et leurs magnitudes augmentent à mesure que les courbes de niveau se rapprochent, car des courbes de niveau étroitement groupées indiquent que le graphe est abrupt et que l'amplitude du vecteur de gradient est la plus grande valeur de la dérivée directionnelle. Par conséquent, vous pouvez voir la pente locale d'un graphe en étudiant le champ de gradient de la fonction correspondante.

Représentation visuelle du champ de dégradé donné. Les flèches sont plates au fur et à mesure qu'elles sont proches de l'axe x et plus elles sont verticales à mesure qu'elles s'éloignent de l'axe X. Les flèches pointent de gauche à gauche de l'axe y et pointent de droite à droite de l'axe y. Ils pointent vers le haut au-dessus de l'axe x et vers le bas en dessous de l'axe X. Plusieurs courbes de niveau sont tracées, chacune se rapprochant asymptotiquement des axes. À mesure que les courbes de niveau se rapprochent, l'amplitude des facteurs de gradient augmente.
Figure16.1.9 : Le champ de gradientf(x,y)=x2y2 et plusieurs courbes de niveau def. Notez qu'à mesure que les courbes de niveau se rapprochent, l'amplitude des vecteurs de gradient augmente.

Comme nous l'avons appris précédemment, un champ vectorielF est un champ vectoriel conservateur, ou un champ de gradient s'il existe une fonction scalairef telle quef=F. Dans ce cas,f on parle de fonction potentielle pourF. Les champs vectoriels conservateurs apparaissent dans de nombreuses applications, notamment en physique. La raison pour laquelle ces champs sont qualifiés de conservateurs est qu'ils modélisent les forces des systèmes physiques dans lesquels l'énergie est conservée. Nous étudions les champs vectoriels conservateurs plus en détail plus loin dans ce chapitre.

Vous remarquerez peut-être que, dans certaines applications, une fonction potentiellef pourF est définie à la place comme une fonction telle quef=F. C'est le cas pour certains contextes en physique, par exemple.

Exemple16.1.10: Verifying a Potential Function

Estf(x,y,z)=x2yzsin(xy) une fonction potentielle pour le champ vectoriel

F(x,y,z)=2xyzycos(xy),x2zxcos(xy),x2y?

Solution

Nous devons confirmer sif=F. Nous avons

fx(x,y)=2xyzycos(xy)fy(x,y)=x2zxcos(xy)fz(x,y)=x2y.

Par conséquent,f=F etf est une fonction potentielle pourF.

Exercice16.1.10

Est-cef(x,y,z)=x2cos(yz)+y2z2 qu'une fonction potentielle est pourF(x,y,z)=2xcos(yz),x2zsin(yz)+2yz2,y2 ?

Allusion

Calculez le gradient def.

Réponse

Non

Exemple16.1.11: Verifying a Potential Function

La vitesse d'un fluide est modélisée par champv(x,y)=xy,x22y. Vérifiez qu'ilf(x,y)=x2y2y22 s'agit d'une fonction potentielle pourv.

Solution

Pour montrer qu'ilf s'agit d'une fonction potentielle, nous devons la montrerf=v. Notez quefx(x,y)=xy etfy(x,y)=x22y. Par conséquent,f(x,y)=xy,x22y etf est une fonction potentielle pourv (Figure16.1.10).

Représentation visuelle du champ directionnel donné en deux dimensions. Les flèches du quadrant 1 pointent vers la droite. Plus près de l'axe y, elles pointent vers le bas, mais elles se courbent rapidement et pointent rapidement vers le haut à un angle d'environ 90 degrés. Plus les flèches sont proches de l'axe x, plus elles sont verticales. Le quadrant 2 est le reflet du quadrant 1. Dans le quadrant 3, les flèches sont d'autant plus verticales qu'elles sont proches des axes x et y. Ils pointent vers le haut et vers la droite. Plus elles sont éloignées des axes, plus les flèches sont proches d'un angle de 90 degrés. Le quadrant 4 est le reflet du quadrant 3.
Figure16.1.10 :v(x,y) Le champ de vitesse a une fonction potentielle et est un champ conservateur.
Exercice16.1.11

Vérifiez qu'ilf(x,y)=x3y2+x s'agit d'une fonction potentielle pour le champ de vitessev(x,y)=3x2y2+1,2x3y.

Allusion

Calculez le dégradé.

Réponse

f(x,y)=v(x,y)

S'il s'Fagit d'un champ vectoriel conservateur, il existe au moins une fonction potentiellef telle quef=F. Mais pourrait-il y avoir plus d'une fonction potentielle ? Dans l'affirmative, existe-t-il une relation entre deux fonctions potentielles pour le même champ vectoriel ? Avant de répondre à ces questions, rappelons quelques faits du calcul à variable unique pour guider notre intuition. Rappelons que c'k(x)est une fonction intégrable,k elle possède alors une infinité d'antidérivés. De plus, siF etG sont tous deux antidérivés dek, alorsF et neG diffèrent que par une constante. C'est-à-dire qu'il y en a unC certain nombreF(x)=G(x)+C.

FSoyons maintenant un champ vectoriel conservateur et laissezf etg soyez des fonctions potentielles pourF. Puisque le gradient est comme un dérivé,F être conservateur signifie qu'ilF est « intégrable » aux « antidérivés »f etg. Par conséquent, si l'analogie avec le calcul à variable unique est valide, nous nous attendons à ce qu'il y ait une constanteC telle quef(x)=g(x)+C. Le théorème suivant indique que c'est bien le cas.

Pour énoncer le théorème suivant avec précision, nous devons supposer que le domaine du champ vectoriel est connecté et ouvert. Être connecté signifie s'ilP1P2 y a deux points dans le domaine, alors vous pouvez marcher deP1 à piedP2 le long d'un chemin qui reste entièrement à l'intérieur du domaine.

CARACTÈRE UNIQUE DES FONCTIONS POTENTIELLES

FSoyons un champ vectoriel conservateur sur un domaine ouvert et connecté et laissezf etg soyez des fonctions telles quef=F etg=F. Ensuite, il existe une constanteC telle quef=g+C.

Une preuve

Puisquef etg sont tous deux des fonctions potentielles pourF, alors(fg)=fg=FF=0. Nous avons donch=0. Nous aimerions montrer queh c'est une fonction constante.h=fg

hSuppose est fonction dex ety (la logique de cette preuve s'étend à n'importe quel nombre de variables indépendantes). Depuish=0, nous avonshx(x,y)=0 ethy(x,y)=0. L'expressionhx(x,y)=0 implique qu'ilh s'agit d'une fonction constante par rapport àx — c'est-à-direh(x,y)=k1(y) pour certaines fonctionsk1. De même,hy(x,y)=0 impliqueh(x,y)=k2(x) pour une certaine fonctionk2. Par conséquent, la fonction neh dépend que dey et ne dépend que dex. Ainsi,h(x,y)=C pour une certaine constanteC sur le domaine connecté deF. Notez que nous avons vraiment besoin de connectivité à ce stade ; si le domaine deF venait en deux parties distinctes, alorsk pourrait être une constanteC1 sur une pièce mais pourrait être une constante différenteC2 sur l'autre pièce. Depuisfg=h=C, nous l'avonsf=g+C, comme vous le souhaitez.

Les champs vectoriels conservateurs possèdent également une propriété spéciale appelée propriété partielle croisée. Cette propriété permet de tester si un champ vectoriel donné est conservateur.

LA PROPRIÉTÉ PARTIELLE CROISÉE DES CHAMPS VECTORIELS CONSERVATEURS

FSoit un champ vectoriel en deux ou trois dimensions de telle sorte que les fonctions constitutives deF aient des dérivées partielles mixtes continues du second ordre sur le domaine deF.

S'il s'F(x,y)=P(x,y),Q(x,y)agit d'un champ vectoriel conservateur dans2, alors

Py=Qx.

S'il s'F(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)agit d'un champ vectoriel conservateur dansR3, alors

Py=QxQz=RyRx=Pz.

Une preuve

PuisqueF c'est conservateur, il existe une fonctionf(x,y) telle quef=F. Par conséquent, par la définition du gradient,fx=P etfy=Q. Par le théorème de Clairautfxy=fyx, Mais,fxy=Py etfyx=Qx, et doncPy=Qx.

Le théorème de Clairaut fournit une preuve rapide de la propriété partielle croisée des champs vectoriels conservateurs dans3, tout comme il l'a fait pour les champs vectoriels dans2.

La propriété partielle croisée des champs vectoriels conservateurs montre que la plupart des champs vectoriels ne sont pas conservateurs. La propriété des partiels croisés est difficile à satisfaire en général, de sorte que la plupart des champs vectoriels n'auront pas de partiels croisés égaux.

Montrez que le champ vectoriel de rotation n'F(x,y)=y,xest pas conservateur.

Solution

LaissezP(x,y)=y etQ(x,y)=x. SiF c'est conservateur, alors les partiels croisés seraient égaux, c'est-à-dire égauxQx. Par conséquent,Py pour montrer que ce n'Fest pas conservateur, cochez cette casePyQx. DepuisPy=1 etQx=1, le champ vectoriel n'est pas conservateur.

Exercice16.1.12

Afficher que le champ vectoriel n'F(x,y)=xyˆix2yˆjest pas conservateur.

Allusion

Vérifiez les partiels croisés.

Réponse

Py(x,y)=xetQx(x,y)=2xy. PuisquePy(x,y)Qx(x,y), n'Fest pas conservateur.

Exemple16.1.13: Showing a Vector Field Is Not Conservative

Le champ vectoriel est-ilF(x,y,z)=7,2,x3 conservateur ?

Solution

LaissezP(x,y,z)=7Q(x,y,z)=2, etR(x,y,z)=x3. Si elleF est conservatrice, les trois équations partielles croisées seront satisfaites, c'est-à-dire que si elleF est conservatrice, alorsPy serait égaleQx,Qz serait égaleRy etRx serait égalePz. Notez que

Py=Qx=Ry=Qz=0

les deux premières égalités nécessaires sont donc valables. Cependant,Rx(x,y,z)=x3 et ainsi dePz(x,y,z)=0 suiteRxPz. Par conséquent, n'Fest pas conservateur.

Exercice16.1.13

Le champ vectoriel est-ilG(x,y,z)=y,x,xyz conservateur ?

Allusion

Vérifiez les partiels croisés.

Réponse

Non

Nous concluons cette section par un mot d'avertissement : La propriété partielle croisée des champs vectoriels conservateurs indique que si elleF est conservatrice, elleF possède alors la propriété partielle croisée. Le théorème ne dit pas que, s'ilF possède la propriété partielle croisée, ilF est conservateur (l'inverse d'une implication n'est pas logiquement équivalent à l'implication initiale). En d'autres termes, la propriété partielle croisée des champs vectoriels conservateurs ne peut qu'aider à déterminer qu'un champ n'est pas conservateur ; elle ne vous permet pas de conclure qu'un champ vectoriel est conservateur.

Par exemple, considérez le champ vectorielF(x,y)=x2y,x33. Ce champ possède la propriété partielle croisée, il est donc naturel d'essayer d'utiliser la propriété transversale des champs vectoriels conservateurs pour conclure que ce champ vectoriel est conservateur. Cependant, il s'agit d'une mauvaise application du théorème. Nous apprendrons plus tard comment conclure queF c'est conservateur.

Concepts clés

  • Un champ vectoriel attribue un vecteurF(x,y) à chaque point(x,y) d'un sous-ensembleD de2 ou3. F(x,y,z)à chaque point(x,y,z) d'un sous-ensembleD de3.
  • Les champs vectoriels peuvent décrire la distribution de quantités vectorielles telles que les forces ou les vitesses sur une région du plan ou de l'espace. Ils sont couramment utilisés dans des domaines tels que la physique, l'ingénierie, la météorologie et l'océanographie.
  • Nous pouvons esquisser un champ de vecteurs en examinant son équation de définition pour déterminer les magnitudes relatives à divers emplacements, puis en dessinant suffisamment de vecteurs pour déterminer un motif.
  • Un champ vectorielF est dit conservateur s'il existe une fonction scalairef telle quef=F.

Équations clés

  • Champ vectoriel dans2
    F(x,y)=P(x,y),Q(x,y)
    ou
    F(x,y)=P(x,y)ˆi+Q(x,y)ˆj
  • Champ vectoriel dans3
    F(x,y,z)=P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)
    ou
    F(x,y,z)=P(x,y,z)ˆi+Q(x,y,z)ˆj+R(x,y,z)ˆk

Lexique

domaine conservateur
un champ vectoriel pour lequel il existe une fonction scalairef telle quef=F
champ dégradé
un champ vectorielF pour lequel il existe une fonction scalairef telle quef=F, en d'autres termes, un champ vectoriel qui est le gradient d'une fonction ; de tels champs vectoriels sont également appelés conservateurs
fonction potentielle
une fonction scalairef telle quef=F
champ radial
un champ vectoriel dans lequel tous les vecteurs pointent directement vers ou loin de l'origine ; l'amplitude de tout vecteur dépend uniquement de sa distance par rapport à l'origine
champ de rotation
un champ vectoriel dans lequel le vecteur au point(x,y) est tangent à un cercle de rayonr=x2+y2 ; dans un champ de rotation, tous les vecteurs circulent dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens antihoraire, et l'amplitude d'un vecteur dépend uniquement de sa distance par rapport à l'origine
champ vectoriel unitaire
un champ de vecteurs dans lequel la magnitude de chaque vecteur est de 1
champ vectoriel
mesurée en2, une affectation d'un vecteurF(x,y) à chaque point(x,y) d'un sous-ensembleD de2 ; dans3, une affectation d'un vecteurF(x,y,z) à chaque point(x,y,z) d'un sous-ensembleD de3

Contributeurs et attributions